矩阵相似对角化.ppt
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1、矩阵相似对角化 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life,there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望主要内容主要内容一、矩阵相似的概念一、矩阵相似的概念二、矩阵相似对角形二、矩阵相似对角形三、小结三、小结四、思考与练习四、思考与练习2一一.相似矩阵的概念相似矩阵的概念定义定义:设设 都是都是 阶矩阵,若存在可逆矩阵阶矩阵,若存在可逆矩阵 ,使得,使得则称矩阵则称矩阵 是矩阵是矩阵 的的相似矩阵,相似矩阵,对对 进行运算进行运算 称为对称为对 进行进行相似变换,相似变换,可逆矩阵可逆矩阵 称为把矩阵称为
2、把矩阵 变成矩阵变成矩阵 的的相似变换矩阵。相似变换矩阵。或称矩阵或称矩阵 与矩阵与矩阵 相似,相似,记作记作注:注:1 矩阵相似是一种等价关系矩阵相似是一种等价关系(1)反身性:)反身性:(2)对称性:若)对称性:若 则则(3)传递性:若)传递性:若 则则3分析分析:,则存在可逆矩阵则存在可逆矩阵 ,使使2.若若 与与 相似相似,则则 与与 相似相似(为正整数为正整数).3.若若,则则其中其中 是任意常数是任意常数.分析分析:4定理定理1:阶方阵阶方阵 相似相似,则有则有和和 的特征多项式相同的特征多项式相同,即即从而从而 和和 的特征值相同的特征值相同注注:满足满足(1),(2),(3)时
3、时A和和B不一定相似不一定相似5推论:推论:若矩阵若矩阵 与对角阵与对角阵 相似,相似,则则 是是 的的 个特征值。个特征值。6例例1:设矩阵设矩阵 与与 相似相似,求求.解解:利用利用得到方程得到方程,再利用再利用得到得到7利用对角矩阵计算矩阵的方幂利用对角矩阵计算矩阵的方幂若若则则k个个的多项式的多项式8特别地特别地,若可逆矩阵若可逆矩阵 ,使使为对角矩阵为对角矩阵,则则对于对角矩阵对于对角矩阵 ,有有9二二.矩阵相似对角形矩阵相似对角形对对 阶方阵阶方阵 ,如果可以找到可逆矩阵,如果可以找到可逆矩阵 ,使得使得 为对角阵,就称为为对角阵,就称为把方阵把方阵 对角化。对角化。定义定义:定理
4、定理2:阶矩阵阶矩阵 可对角化(与对角阵相似)可对角化(与对角阵相似)有有 个线性无关的特征向量。个线性无关的特征向量。(逆命题不成立逆命题不成立)推论推论1:若若 阶方阵阶方阵 有有 个互不相同的特征值个互不相同的特征值,则则 可对角化。(与对角阵相似)可对角化。(与对角阵相似)10推论推论2:阶方阵相似于对角阵的充要条件是的阶方阵相似于对角阵的充要条件是的每一个每一个重特征值对应个线性无关的特征向量重特征值对应个线性无关的特征向量说明:说明:如果的特征方程有重根,此时不一定有个线性如果的特征方程有重根,此时不一定有个线性无关的特征向量,从而矩阵不一定能对角化无关的特征向量,从而矩阵不一定能
5、对角化11例例1:1:判断下列实矩阵能否化为对角阵?判断下列实矩阵能否化为对角阵?解解:得得12得基础解系得基础解系当当 时,齐次线性方程组为时,齐次线性方程组为当当 时,齐次线性方程组为时,齐次线性方程组为13得基础解系得基础解系线性无关线性无关即即A有有3个线性无关的特征向量,所以个线性无关的特征向量,所以A可以对角化。可以对角化。14得基础解系得基础解系所以所以 不能化为对角矩阵不能化为对角矩阵.当当 时,齐次线性方程组为时,齐次线性方程组为15三小结三小结相似矩阵相似矩阵相似是矩阵之间的一种关系,它具有很多良好相似是矩阵之间的一种关系,它具有很多良好的性质,除了课堂内介绍的以外,还有:
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- 矩阵 相似 角化
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