数值微分.ppt
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1、第三章 数值积分与数值微分 1 数值微分数值微分差商与数值微分差商与数值微分I I:向前差商:向前差商由泰勒展式由泰勒展式知向前差商的截断误差知向前差商的截断误差II II:向后差商:向后差商向后差商的截断误差向后差商的截断误差中心差商中心差商中心差商的截断误差中心差商的截断误差利用中心差商逼近微分所得的数值微分公式利用中心差商逼近微分所得的数值微分公式精度较高,应用较广。精度较高,应用较广。数值微分公式的外推方法数值微分公式的外推方法上面误差分析表明,理论上步长上面误差分析表明,理论上步长h h越小,精度越高。越小,精度越高。实际计算中,由于出现相近实际计算中,由于出现相近2 2数相减,并且
2、用较小数相减,并且用较小的步长去除,数值上不稳定。提高数值微分公式的步长去除,数值上不稳定。提高数值微分公式精度的一个方法是利用数值微分公式余项展开,精度的一个方法是利用数值微分公式余项展开,利用几个不同步长进行外推利用几个不同步长进行外推由泰勒展式由泰勒展式外外推推公公式式记为G(h)插值型求导公式插值型求导公式-(1)对对(1)式两边求导式两边求导,有有-(2)-(2)-(3)(2)(2)式称为式称为插值型求导公式插值型求导公式,(3)(3)式为相应产生的式为相应产生的误差误差由于公式由于公式(2)(2)采取的是采取的是n n次次LagrangeLagrange插值多项式插值多项式,而高次
3、而高次插值会产生插值会产生RungeRunge现象现象,因此实际应用中多采用低次插因此实际应用中多采用低次插值型求导公式值型求导公式二、低阶插值型求导公式二、低阶插值型求导公式1.两点公式-(4)-(5)(4)(5)(4)(5)式称为带余项的式称为带余项的两点求导公式两点求导公式即精度1阶2.三点公式-(6)-(7)-(8)(6)(7)(8)(6)(7)(8)式称为带余项的式称为带余项的三点求导公式三点求导公式其中其中(7)(7)式又称为中点公式式又称为中点公式,其精度稍高其精度稍高在分段求导公式中有着重要的地位在分段求导公式中有着重要的地位精度2阶3.五点公式-(9)组(9)称为带余项的五点
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