数值计算方法第2版 第7章 常微分方程初值问题的数值解法.ppt
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1、第第7章章 常微分方程初值问题的数值解法常微分方程初值问题的数值解法微分方程微分方程常微分方程常微分方程一阶常微分方程一阶常微分方程 定阶条件:初值问题定阶条件:初值问题数值解法:数值解法:给定点给定点a=x0 x1xn=b,将初值问题离散化为将初值问题离散化为差分方程差分方程,求出解函数求出解函数(积分曲线积分曲线)y(x)在这些点的近似值在这些点的近似值y1,y2,yn。所求得的近似值所求得的近似值y1,y2,yn称为称为微分方程微分方程数数值解。解。第第第第7 7 7 7 章章章章 常微分方程初值问题的数值解法常微分方程初值问题的数值解法常微分方程初值问题的数值解法常微分方程初值问题的数
2、值解法7.1 7.1 7.1 7.1 欧拉法欧拉法欧拉法欧拉法7.2 7.2 7.2 7.2 龙格龙格龙格龙格-库塔法库塔法库塔法库塔法7.3 7.3 7.3 7.3 线性多步法线性多步法线性多步法线性多步法7.4 7.4 7.4 7.4 收敛性与稳定性收敛性与稳定性收敛性与稳定性收敛性与稳定性7.5 7.5 7.5 7.5 微分方程组和高阶微分方程微分方程组和高阶微分方程微分方程组和高阶微分方程微分方程组和高阶微分方程7.1 7.1 欧拉法和改进的欧拉法欧拉法和改进的欧拉法7.1.1 欧拉公式欧拉公式7.1.2 局部截断误差和阶局部截断误差和阶7.1.3 隐式(后退)欧拉公式和两步欧拉公式隐
3、式(后退)欧拉公式和两步欧拉公式7.1.4 梯形公式梯形公式7.1.5 改进的欧拉法改进的欧拉法(预报预报-校正公式校正公式)7.1 欧拉法欧拉法7.1.1 欧拉公式欧拉公式3 欧拉法欧拉法数值微分推导数值微分推导 用差商代替导数用差商代替导数 设设 等距,步长等距,步长 令令x=xn,x+h=xn+1,y(xn)yn ,y(xn+1)yn+1,初值问题离散化为初值问题离散化为 初值问题初值问题(欧拉公式欧拉公式),局部截断误差和阶:数值公式的精度局部截断误差和阶:数值公式的精度 定义定义 局部截断误差:假设第局部截断误差:假设第n n步是准确的,即步是准确的,即y y(x xn n )=)=
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