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1、二、二、函数的间断点函数的间断点 一、一、函数连续性的概念函数连续性的概念第三节机动 目录 上页 下页 返回 结束 函数的连续性 第一章 三、连续函数的运算性质三、连续函数的运算性质四、初等函数的连续性四、初等函数的连续性可见可见,函数函数在点在点一、一、函数连续性的概念函数连续性的概念定义定义2.6:在点在点 的的某邻域内有定义某邻域内有定义,则称则称函数函数(1)在点在点即即(2)极限极限(3)设函数设函数连续必须具备下列条件连续必须具备下列条件:存在存在;若若有定义有定义,存在存在;机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 极限值函数值极限值函数值对自变量的增量对自变量
2、的增量有有函数的增量函数的增量左连续左连续右连续右连续当当时时,有有函数函数在点在点连续有下列连续有下列等价命题等价命题:机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 定义定义2.7;continue若若在在某区间上每一点都连续某区间上每一点都连续,则称它在该则称它在该区间上区间上连续连续,或称它为该或称它为该区间上的区间上的连续函数连续函数.例如例如,在在上上连续连续.(有理整函数有理整函数)又如又如,有理分式函数有理分式函数在其在其定义域内连续定义域内连续.在在闭区间闭区间上的连续函数的集合记作上的连续函数的集合记作只要只要都有都有机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回
3、返回 结束结束 例例1.证明函数证明函数在在内内连续连续.证证:即即这这说明说明在内内连续连续.同样可证同样可证:函数函数在内内连续连续.机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2.问问a为何值时为何值时,f(x)在在x=0连续连续.解解:f(0)=3=3.为使为使f(x)在在x=0连续连续,必须必须即即,a=3.故当故当 a=3时时,f(x)在在x=0连续连续.=a在在在在二、二、函数的间断点函数的间断点(1)函数函数(2)函数函数不不存在存在;(3)函数函数存在存在,但但定义定义2.9 如果函数如果函数f(x)在点在点a处不满足连续性条件,处不满足连续性条件,则称则称f(x)在点在点a不连
4、续(间断),不连续(间断),点点 a 称为函数称为函数 f(x)虽有定义虽有定义,但但虽有定义虽有定义,且且在在无定义无定义;机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 的间断点的间断点.间断点分类间断点分类:第一类间断点第一类间断点:及及均存在均存在,若若称称若若称称第二类间断点第二类间断点:及及中至少一个不存在中至少一个不存在,称称若若其中有一个为振荡其中有一个为振荡,称称若若其中有一个为其中有一个为为为可去间断点可去间断点.为为跳跃间断点跳跃间断点.为为无穷间断点无穷间断点.为为振荡间断点振荡间断点.机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 为其为其无穷
5、间断点无穷间断点.为其为其振荡间断点振荡间断点.为为可去间断点可去间断点.例如例如:机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 显然显然为其为其可去间断点可去间断点.(4)(5)为为其跳跃间断点其跳跃间断点.机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例3.求求的的间断点间断点,并判别其类型并判别其类型.解解:x=1 为第一类为第一类可去间断点可去间断点 x=1 为第二类为第二类无穷间断点无穷间断点 x=0 为第一类为第一类跳跃间断点跳跃间断点机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 在其在其定义域内连续定义域内连续三、连续函数的运算性质三、连续函数的运算性质 1.
6、在某点连续的在某点连续的有限个有限个函数经函数经有限次有限次和和,差差,积积,(利用极限的四则运算法则证明利用极限的四则运算法则证明)商商(分母不为分母不为 0)运算运算,结果仍是一个在该点连续的函数结果仍是一个在该点连续的函数.例如例如,机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 定理定理2.8.连续函数的复合函数是连续的连续函数的复合函数是连续的.设函数设函数则复合函数则复合函数且且即即机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 简言之:简言之:连续函数的符号和极限符号可以换序。连续函数的符号和极限符号可以换序。3.连续单调递增连续单调递增 函数的反函数也连
7、续单调函数的反函数也连续单调例如例如,在在上上连续单调递增,连续单调递增,其其反函数反函数(递减递减).在在 1,1 上也连续单调递增上也连续单调递增.递增递增(递减递减)机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例如例如,是由连续函数链是由连续函数链因此因此在在上连续上连续.复合而成复合而成,机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 四、初等函数的连续性四、初等函数的连续性基本初等函数在定义域内连续基本初等函数在定义域内连续连续函数经四则运算仍连续连续函数经四则运算仍连续连续函数的复合函数连续连续函数的复合函数连续一切初等函数一切初等函数在在定义区间内定义区间内连续连续例如例如,的的连续区间为连续区间为(端点为单侧连续端点为单侧连续)的的连续区间为连续区间为的的定义域为定义域为因此它无连续点。因此它无连续点。而而机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 利用函数连续性求函数极限举例利用函数连续性求函数极限举例 解解 因为函数在点因为函数在点x=1处连续,所以处连续,所以机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例4.求求例例5.求求解解:原式原式 作作 业业P52-53 20(2,6);21;22(2,4,6,8);
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