【2022高中数学精品教案】3.1.1 椭圆及其标准方程 教学设计-人教A版高中数学选择性必修第一册.docx
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1、 3.1.1椭圆及其标准方程 本节课选自2019人教A版高中数学选择性必修第一册第二章直线和圆的方程,本节课主要学习椭圆及其标准方程从知识上讲,椭圆的标准方程是解析法的进一步运用,同时它也是进一步研究椭圆几何性质的基础;从方法上讲,它为我们研究双曲线、抛物线这两种圆锥曲线提供了基本模式和理论基础;从教材编排上讲,现行教材中把三种圆锥曲线独编一章,更突出了椭圆的重要地位.因此本节课有承前启后的作用,是本章和本节的重点内容.是几何的研究实现了代数化。数与形的有机结合,在本章中得到了充分体现。课程目标学科素养A.理解椭圆的定义及椭圆的标准方程B.掌握用定义法和待定系数法求椭圆的标准方程C.理解椭圆标
2、准方程的推导过程,并能运用标准方程解决相关问题1.数学抽象:曲线与方程的关系2.逻辑推理:曲线的方程与方程的曲线的关系3.数学运算: 根据条件求曲线的方程4.数学建模:运用方程研究曲线的性质重点:椭圆的定义及椭圆的标准方程 难点:运用标准方程解决相关问题 多媒体教学过程教学设计意图核心素养目标一、 情境导学椭圆是圆锥曲线的一种具有丰富的几何性质,在科研生产和人类生活中具有广泛的应用,那么椭圆到底有怎样的几何性质,我们该如何利用这些特征建立椭圆的方程,从而为研究椭圆的几何性质奠定基础。二、探究新知 取一条定长的细线,把它的两端都固定在图板的同一点套上铅笔拉紧绳子,移动笔尖,这时笔尖(动点)画出的
3、轨迹是一个圆。如果把细绳的两端拉开一段距离,分别固定在图板中的两点F1,F2 ,套上铅笔,拉紧绳子,移动笔尖,画出的轨迹是什么曲线? 在这一过程中,移动的笔尖(动点)满足的几何条件是什么?1椭圆的定义把平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于_的点的轨迹叫做椭圆,这_叫做椭圆的焦点,_叫做椭圆的焦距,焦距的_称为半焦距常数(大于|F1F2|) ;两个定点 ;两焦点间的距离 ;一半 思考:(1)椭圆定义中将“大于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”的常数,其他条件不变,点的轨迹是什么?(2)椭圆定义中将“大于|F1F2|”改为“小于|F1F2|”的常数,其他条件不变,动点的轨迹是什么?提示(1
4、)点的轨迹是线段F1F2.(2)当距离之和小于|F1F2|时,动点的轨迹不存在观察椭圆的形状,你认为怎样建立坐标系可能使所得的椭圆方程形式简单?一般地,如果椭圆的焦点为F1和F2,焦距为2c,而且椭圆上的 动点P满足,PF1+PF2=2a其中ac0. 以F1F2 所在直线为x轴,线段的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系,如图所示,此时,椭圆的焦点分别为F1(-c,0)和F2( c,0)椭圆的标准方程(x+c)2+y2+(x-c)2+y2=2a. 为了化简方程,我们将其左边一个根式移到右边,得得(x+c)2+y2=2a-(x-c)2+y2.对方程两边平方,得(x+c)2+y2=4a2 -4ax
5、-c2+y2+(x-c)2+y2整理,得a2-cx=ax-c2+y2 对方程两边平方,得a4-2a2cx+c2x2=a2x2-2a2cx+a2c2+a2y2整理得 a2-c2x2+a2y2= a2a2-c2 将方程两边同除以a2a2-c2,得x2a2+y2a2-c2=1 由椭圆的定义可知2a2c0 ,即ac0,所以a2-c20.观察图,你能从中找出表示a,c,a2-c2的线段吗?问题思考由图可知,PF1=PF2=a,OF1=OF2=c, PO=a2-c2令b=PO=a2-c2,那么方程就是;x2a2+y2b2=1 (ab0) 称焦点在x轴上的椭圆方程.设椭圆的焦点为F1和F2,焦距为2c,而且
6、椭圆上的动点P满足PF1+PF2=2a,其中ac0. 以F1F2 所在直线为y轴,线段的垂直平分线为x轴,建立平面直角坐标系,如图所示,此时:(1)椭圆焦点的坐标分别是什么?(2)能否通过x2a2+y2b2=1 (ab0) 来得到此时椭圆方程的形式?y2a2+x2b2=1 (ab0),称焦点在y轴上的椭圆方程.2.椭圆的标准方程 焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程图形焦点坐标F1(-c,0),F2(c,0)F1(0,-c),F2(0,c)a,b,c的关系b2=a2-c21. a=6,c=1的椭圆的标准方程是()A.x236+y235=1 B.y236+x235=1 C.x236+y21=1D.x
7、236+y235=1或y236+x235=12. 椭圆x225+y2=1上一点P到一个焦点的距离为2,则点P到另一个焦点的距离为()A.5B.6 C.7D.83. 椭圆4x2+9y2=1的焦点坐标是()A.(5,0) B.(0,5) C.56,0D.536,0解析: (1) 易得为D选项.(2)设椭圆的左、右焦点分别为F1,F2,若|PF1|=2,结合椭圆定义|PF2|+|PF1|=10,可得|PF2|=8.(3)椭圆的标准方程为x214+y219=1,a2=14,b2=19,c2=a2-b2=14-19=536,且焦点在x轴上,焦点坐标为56,0.(3)椭圆的标准方程为x214+y219=1
8、,a2=14,b2=19,c2=a2-b2=14-19=536,且焦点在x轴上,焦点坐标为56,0.三、典例解析例1求满足下列条件的椭圆的标准方程:(1)两个焦点的坐标分别为F1(4,0),F2(4,0),并且椭圆上一点P与两焦点的距离的和等于10;(2)焦点坐标分别为(0,2),(0,2),经过点(4,3);(3)经过两点(2,),.解(1)因为椭圆的焦点在x轴上,且c4,2a10,所以a5,b3,所以椭圆的标准方程为1.(2)因为椭圆的焦点在y轴上,所以可设它的标准方程为1(ab0)法一:由椭圆的定义知2a12,解得a6.又c2,所以b4.所以椭圆的标准方程为1.法二:因为所求椭圆过点(4
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