全国各地2014年中考数学真题分类解析汇编 49运动变化类的压轴题.doc
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1、运动变化类的压轴题运动变化类的压轴题2014 年运动变化类的压轴题,题目展示涉及:单一(双)动点在三角形、四边形上运动;在直线、抛物线上运动;几何图形整体运动问题.知识点涉及:全等三角形的判定与性质;特殊四边形形的判定和性质;圆的相关性质;解直角三角形,勾股定理,相似三角形的性质.数学思想涉及:分类讨论;数形结合;方程思想. 解答这类问题的关键是正确分类画出直观图形.现选取部分省市的 2014 年中考题展示,以飨读者.一、单动点问题一、单动点问题【题 1】(2014 年江苏徐州第 28 题)如图,矩形ABCD的边AB=3cm,AD=4cm,点E从点A出发,沿射线AD移动,以CE为直径作圆O,点
2、F为圆O与射线BD的公共点,连接EF、CF,过点E作EGEF,EG与圆O相交于点G,连接CG(1)试说明四边形EFCG是矩形;(2)当圆O与射线BD相切时,点E停止移动,在点E移动的过程中,矩形EFCG的面积是否存在最大值或最小值?若存在,求出这个最大值或最小值;若不存在,说明理由;求点G移动路线的长【考点】:圆的综合题;垂线段最短;直角三角形斜边上的中线;矩形的判定与性质;圆周角定理;切线的性质;相似三角形的判定与性质【专题】:压轴题;运动变化型【分析】:(1)只要证到三个内角等于 90即可(2)易证点D在O上,根据圆周角定理可得FCE=FDE,从而证到CFEDAB,根据相似三角形的性质可得
3、到S矩形ABCD=2SCFE=然后只需求出CF的范围就可求出S矩形ABCD的范围根据圆周角定理和矩形的性质可证到GDC=FDE=定值,从而得到点G的移动的路线是线段,只需找到点G的起点与终点,求出该线段的长度即可【解答】:解:(1)证明:如图 1,CE为O的直径,CFE=CGE=90EGEF,FEG=90CFE=CGE=FEG=90四边形EFCG是矩形(2)存在连接OD,如图 2,四边形ABCD是矩形,A=ADC=90点O是CE的中点,OD=OC点D在O上FCE=FDE,A=CFE=90,CFEDAB=()2AD=4,AB=3,BD=5,SCFE=()2SDAB= 34=S矩形ABCD=2SC
4、FE=四边形EFCG是矩形,FCEGFCE=CEGGDC=CEG,FCE=FDE,GDC=FDEFDE+CDB=90,GDC+CDB=90GDB=90当点E在点A(E)处时,点F在点B(F)处,点G在点D(G处,如图 2所示此时,CF=CB=4当点F在点D(F)处时,直径FGBD,如图 2所示,此时O与射线BD相切,CF=CD=3当CFBD时,CF最小,此时点F到达F,如图 2所示SBCD=BCCD=BDCF43=5CFCF=CF4S矩形ABCD=, ()2S矩形ABCD 42S矩形ABCD12矩形EFCG的面积最大值为 12,最小值为GDC=FDE=定值,点G的起点为D,终点为G,点G的移动
5、路线是线段DGGDC=FDE,DCG=A=90,DCGDAB= =DG=点G移动路线的长为【点评】:本题考查了矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、圆周角定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、垂线段定理等知识,考查了动点的移动的路线长,综合性较强而发现CDG=ADB及FCE=ADB是解决本题的关键【题 2】 (2014湖州第 24 题)已知在平面直角坐标系xOy中,O是坐标原点,以P(1,1)为圆心的P与x轴,y轴分别相切于点M和点N,点F从点M出发,沿x轴正方向以每秒 1 个单位长度的速度运动,连接PF,过点PEPF交y轴于点E,设点F运动的时间是t秒(t0)(1)若点E在y轴的负
6、半轴上(如图所示) ,求证:PE=PF;(2)在点F运动过程中,设OE=a,OF=b,试用含a的代数式表示b;(3)作点F关于点M的对称点F,经过M、E和F三点的抛物线的对称轴交x轴于点Q,连接QE在点F运动过程中,是否存在某一时刻,使得以点Q、O、E为顶点的三角形与以点P、M、F为顶点的三角形相似?若存在,请直接写出t的值;若不存在,请说明理由【分析】:(1)连接PM,PN,运用PMFPNE证明,(2)分两种情况当t1 时,点E在y轴的负半轴上,0t1 时,点E在y轴的正半轴或原点上,再根据(1)求解,(3)分两种情况,当 1t2 时,当t2 时,三角形相似时还各有两种情况,根据比例式求出时
7、间t【解答】:证明:(1)如图,连接PM,PN,P与x轴,y轴分别相切于点M和点N,PMMF,PNON且PM=PN,PMF=PNE=90且NPM=90,PEPF,NPE=MPF=90MPE,在PMF和PNE中,PMFPNE(ASA) ,PE=PF,(2)解:当t1 时,点E在y轴的负半轴上,如图,由(1)得PMFPNE,NE=MF=t,PM=PN=1,b=OF=OM+MF=1+t,a=NEON=t1,ba=1+t(t1)=2,b=2+a,0t1 时,如图 2,点E在y轴的正半轴或原点上,同理可证PMFPNE,b=OF=OM+MF=1+t,a=ONNE=1t,b+a=1+t+1t=2,b=2a,
8、(3)如图 3, ()当 1t2 时,F(1+t,0) ,F和F关于点M对称,F(1t,0)经过M、E和F三点的抛物线的对称轴交x轴于点Q,Q(1t,0)OQ=1t,由(1)得PMFPNE NE=MF=t,OE=t1当OEQMPF=,解得,t=,当OEQMFP时,=,=,解得,t=,()如图 4,当t2 时,F(1+t,0) ,F和F关于点M对称,F(1t,0)经过M、E和F三点的抛物线的对称轴交x轴于点Q,Q(1t,0)OQ=t1,由(1)得PMFPNE NE=MF=t,OE=t1当OEQMPF=,无解,当OEQMFP时,=,=,解得,t=2,所以当t=,t=,t=2时,使得以点Q、O、E为
9、顶点的三角形与以点P、M、F为顶点的三角形相似【点评】:本题主要考查了圆的综合题,解题的关键是把圆的知识与全等三角形与相似三角形相结合找出线段关系【题 3】 (2014 年四川省绵阳市第 24 题)如图 1,矩形ABCD中,AB=4,AD=3,把矩形沿直线AC折叠,使点B落在点E处,AE交CD于点F,连接DE(1)求证:DECEDA;(2)求DF的值;(3)如图 2,若P为线段EC上一动点,过点P作AEC的内接矩形,使其定点Q落在线段AE上,定点M、N落在线段AC上,当线段PE的长为何值时,矩形PQMN的面积最大?并求出其最大值【考点】:四边形综合题【分析】:(1)由矩形的性质可知ADCCEA
10、,得出AD=CE,DC=EA,ACD=CAE,从而求得DECEDA;(2)根据勾股定理即可求得(3) )有矩形PQMN的性质得PQCA,所以,从而求得PQ,由PNEG,得出=,求得PN,然后根据矩形的面积公式求得解析式,即可求得【解答】:(1)证明:由矩形的性质可知ADCCEA,AD=CE,DC=EA,ACD=CAE,在ADE与CED中DECEDA(SSS) ;(2)解:如图 1,ACD=CAE,AF=CF,设DF=x,则AF=CF=4x,在RTADF中,AD2+DF2=AF2,即 32+x2=(4x)2,解得;x= ,即DF= (3)解:如图 2,由矩形PQMN的性质得PQCA又CE=3,A
11、C=5设PE=x(0x3) ,则,即PQ=过E作EGAC 于G,则PNEG,=又在RtAEC中,EGAC=AECE,解得EG=,即PN= (3x)设矩形PQMN的面积为S则S=PQPN=x2+4x=+3(0x3)所以当x= ,即PE= 时,矩形PQMN的面积最大,最大面积为 3【点评】:本题考查了全等三角形的判定和性质,勾股定理的应用,平行线分线段成比例定理【题 4】(2014 年浙江绍兴第 25 题)如图,在平面直角坐标系中,直线l平行x轴,交y轴于点A,第一象限内的点B在l上,连结OB,动点P满足APQ=90,PQ交x轴于点C(1)当动点P与点B重合时,若点B的坐标是(2,1) ,求PA的
12、长(2)当动点P在线段OB的延长线上时,若点A的纵坐标与点B的横坐标相等,求PA:PC的值(3)当动点P在直线OB上时,点D是直线OB与直线CA的交点,点E是直线CP与y轴的交点,若ACE=AEC,PD=2OD,求PA:PC的值【考点】:相似形综合题;全等三角形的判定与性质;角平分线的性质;等腰三角形的判定与性质;勾股定理;矩形的判定与性质;平行线分线段成比例;相似三角形的判定与性质【专题】:压轴题【分析】:(1)易得点P的坐标是(2,1) ,即可得到PA的长(2)易证AOB=45,由角平分线的性质可得PA=PC,然后通过证明ANPCMP即可求出PA:PC的值(3)可分点P在线段OB的延长线上
13、及其反向延长线上两种情况进行讨论易证PA:PC=PN:PM,设OA=x,只需用含x的代数式表示出PN、PM的长,即可求出PA:PC的值【解答】:解:(1)点P与点B重合,点B的坐标是(2,1) ,点P的坐标是(2,1) PA的长为 2(2)过点P作PMx轴,垂足为M,过点P作PNy轴,垂足为N,如图 1 所示点A的纵坐标与点B的横坐标相等,OA=ABOAB=90,AOB=ABO=45AOC=90,POC=45PMx轴,PNy轴,PM=PN,ANP=CMP=90NPM=90APC=90APN=90APM=CPM在ANP和CMP中,APN=CPM,PN=PM,ANP=CMP,ANPCMPPA=PC
14、PA:PC的值为 1:1(3)若点P在线段OB的延长线上,过点P作PMx轴,垂足为M,过点P作PNy轴,垂足为N,PM与直线AC的交点为F,如图 2 所示APN=CPM,ANP=CMP,ANPCMP ACE=AEC,AC=AEAPPC,EP=CPPMy轴,AF=CF,OM=CMFM=OA设OA=x,PFOA,PDFODAPD=2OD,PF=2OA=2x,FM=xPM=xAPC=90,AF=CF,AC=2PF=4xAOC=90,OC=xPNO=NOM=OMP=90,四边形PMON是矩形PN=OM=xPA:PC=PN:PM=x:x=若点P在线段OB的反向延长线上,过点P作PMx轴,垂足为M,过点P
15、作PNy轴,垂足为N,PM与直线AC的交点为F,如图 3 所示同理可得:PM=x,CA=2PF=4x,OC=xPN=OM=OC=xPA:PC=PN:PM=x:x=综上所述:PA:PC的值为或【点评】:本题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、平行线等分线段定理、勾股定理等知识,综合性非常强【题 5】 (2014无锡第 28 题)如图 1,已知点A(2,0) ,B(0,4) ,AOB的平分线交AB于C,一动点P从O点出发,以每秒 2 个单位长度的速度,沿y轴向点B作匀速运动,过点P且平行于AB的直线交x轴于Q,作P、Q关于
16、直线OC的对称点M、N设P运动的时间为t(0t2)秒(1)求C点的坐标,并直接写出点M、N的坐标(用含t的代数式表示) ;(2)设MNC与OAB重叠部分的面积为S试求S关于t的函数关系式;在图 2 的直角坐标系中,画出S关于t的函数图象,并回答:S是否有最大值?若有,写出S的最大值;若没有,请说明理由【考点】:相似形综合题【分析】:(1)如答图 1,作辅助线,由比例式求出点D的坐标;(2)所求函数关系式为分段函数,需要分类讨论答图 21,答图 22 表示出运动过程中重叠部分(阴影)的变化,分别求解;画出函数图象,由两段抛物线构成观察图象,可知当t=1 时,S有最大值【解答】:解:(1)如答图
17、1,过点C作CFx轴于点F,CEy轴于点E,由题意,易知四边形OECF为正方形,设正方形边长为xCEx轴,即,解得x= C点坐标为( , ) ;PQAB,即,OP=2OQP(0,2t) ,Q(t,0) 对称轴OC为第一象限的角平分线,对称点坐标为:M(2t,0) ,N(0,t) (2)当 0t1 时,如答图 21 所示,点M在线段OA上,重叠部分面积为SCMNSCMN=S四边形CMONSOMN=(SCOM+SCON)SOMN=( 2t + t ) 2tt=t2+2t;当 1t2 时,如答图 22 所示,点M在OA的延长线上,设MN与AB交于点D,则重叠部分面积为SCDN设直线MN的解析式为y=
18、kx+b,将M(2t,0) 、N(0,t)代入得,解得,y=x+t;同理求得直线AB的解析式为:y=2x+4联立y=x+t与y=2x+4,求得点D的横坐标为SCDN=SBDNSBCN= (4t) (4t)=t22t+ 综上所述,S=画出函数图象,如答图 23 所示:观察图象,可知当t=1 时,S有最大值,最大值为 1【点评】:本题是运动型综合题,涉及二次函数与一次函数、待定系数法、相似、图形面积计算、动点问题函数图象等知识点难点在于第(2)问,正确地进行分类讨论,是解决本题的关键【题 6】 (2014杭州第 22 题)菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,AC=4,BD=4,动点P在线段B
19、D上从点B向点D运动,PFAB于点F,四边形PFBG关于BD对称,四边形QEDH与四边形PEBG关于AC对称设菱形ABCD被这两个四边形盖住部分的面积为S1,未被盖住部分的面积为S2,BP=x(1)用含x的代数式分别表示S1,S2;(2)若S1=S2,求x的值【考点】:四边形综合题;菱形的性质;轴对称的性质;轴对称图形;特殊角的三角函数值【专题】:综合题;动点型;分类讨论【分析】:(1)根据对称性确定E、F、G、H都在菱形的边上,由于点P在BO上与点P在OD上求S1和S2的方法不同,因此需分情况讨论(2)由S1=S2和S1+S2=8可以求出S1=S2=4然后在两种情况下分别建立关于x的方程,解
20、方程,结合不同情况下x的范围确定x的值【解答】:解:(1)当点P在BO上时,如图 1 所示四边形ABCD是菱形,AC=4,BD=4,ACBD,BO=BD=2,AO=AC=2,且S菱形ABCD=BDAC=8tanABO=ABO=60在RtBFP中,BFP=90,FBP=60,BP=x,sinFBP=sin60=FP=xBF= 四边形PFBG关于BD对称,四边形QEDH与四边形PEBG关于AC对称,SBFP=SBGP=SDEQ=SDHQS1=4SBFP=4 x=S2=8当点P在OD上时,如图 2 所示AB=4,BF= ,AF=ABBF=4 在RtAFM中,AFM=90,FAM=30,AF=4 ta
21、nFAM=tan30=FM=(4 ) SAFM=AFFM= (4 )(4 )=(4 )2四边形PFBG关于BD对称,四边形QEDH与四边形PEBG关于AC对称,SAFM=SAEM=SCHN=SCGNS2=4SAFM=4(4 )2=(x8)2S1=8S2=8(x8)2综上所述:当点P在BO上时,S1=,S2=8;当点P在OD上时,S1=8(x8)2,S2=(x8)2(2)当点P在BO上时,0x2S1=S2,S1+S2=8,S1=4S1=4解得:x1=2,x2=222,20,当点P在BO上时,S1=S2的情况不存在当点P在OD上时,2x4S1=S2,S1+S2=8,S2=4S2=(x8)2=4解得
22、:x1=8+2,x2=828+24,2824,x=82综上所述:若S1=S2,则x的值为 82【点评】:本题考查了以菱形为背景的轴对称及轴对称图形的相关知识,考查了菱形的性质、特殊角的三角函数值等知识,还考查了分类讨论的思想【题 7】 (2014.福州第 21 题)如图 1,点O在线段AB上,AO=2,OB=1, OC为射线,且BOC=60. 动点P以每秒 2 个单位长度的速度从点O出发,沿射线OC做匀速运动. 设运动时间为t秒.(1)当1t2时,则OP= ,ABPS ;(2)当ABP是直角三角形时,求t的值;(3)如图 2,当AP=AB时,过点A作AQBP,并使得QOP=B,求证:AP BP
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