1.3 条件概率与事件的独立性.ppt
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1、11.3 1.3 条件概率与事件的独立性条件概率与事件的独立性1.3.1 1.3.1 条件概率条件概率1.3.2 1.3.2 事件的独立性事件的独立性引引例例1 10张抽奖券中有一张张抽奖券中有一张有奖,甲有奖,甲乙两人先后从中乙两人先后从中随机抽取一随机抽取一张。张。(1) 乙中奖的概率是多少?乙中奖的概率是多少?(2) 甲先抽发现未中奖,此时乙中奖的概率是多少?甲先抽发现未中奖,此时乙中奖的概率是多少?1.3.1 1.3.1 条件概率条件概率解解:(1) 由古典概型可知,乙中奖的概率为由古典概型可知,乙中奖的概率为1/10.(2) 由于已知甲先抽发现未中奖,此时乙抽取的样本空由于已知甲先抽
2、发现未中奖,此时乙抽取的样本空间中有间中有9个样本点,有利场合数仍为个样本点,有利场合数仍为1,因此乙中奖,因此乙中奖的概率的概率为为1/9.23在实际应用中,经常需要了解随机事件在实际应用中,经常需要了解随机事件A与与B之间有无之间有无联系、影响,如:当联系、影响,如:当B已经发生后,已经发生后,A再发生的概率。再发生的概率。这就是下面要介绍的这就是下面要介绍的“条件概率条件概率” P(A|B) 。条件概率引出的背景条件概率引出的背景u摸彩的例子:摸彩的例子:在摸彩活动中,你在摸彩活动中,你摸到头奖摸到头奖(而别人都没有而别人都没有)的概率的概率是很小的,有概率头脑的人大多是很小的,有概率头
3、脑的人大多不会对此热衷。但是,当活动过不会对此热衷。但是,当活动过半以后,大奖仍旧未出时,稍有半以后,大奖仍旧未出时,稍有头脑的人,积极性都将大增;一头脑的人,积极性都将大增;一旦发现剩余的总奖金超过了未售旦发现剩余的总奖金超过了未售彩票总值,就可能有人会将其全彩票总值,就可能有人会将其全买下!买下!4引引例例2 试验试验E为掷一颗骰子,为掷一颗骰子,A=“掷出偶数点掷出偶数点”,B=“掷出掷出2点点”。求。求P(A), P(AB), P(B|A)。解解: 因样本空间因样本空间1,2,3,4,5,6; 2,4,6,A 2;B 故故3( );6AnP An 1();6ABnP ABn 因在因在A
4、发生的条件下,许多不确定因素已排除,故样本发生的条件下,许多不确定因素已排除,故样本空间从空间从变为变为A,则,则(|)P B A1/63/6().( )P ABP A13条件概率的计算条件概率的计算5u 定义:定义:设两个事件设两个事件A、B,若,若P(A)0, 则称则称()(|)( )P ABP B AP A为事件为事件A发生的条件下发生的条件下, 事件事件B发生的条件概率。发生的条件概率。注注1: 当当A =时时, 条件概率条件概率P(B|)就是无条件概率就是无条件概率P(B).(|)1(|)P B AP B A注注2: 条件概率条件概率P(B|A)满足概率公理化定义中的满足概率公理化定
5、义中的3个条个条件,因此条件概率件,因此条件概率P(B|A)也是概率,因此具备概率也是概率,因此具备概率的一切性质。例如:的一切性质。例如: 121212()|)(|)(|)(|)P BBAP BAP BAP B BA条件概率的定义条件概率的定义6课堂练习课堂练习试证:试证:(1)(|)(|); 1P B AP B A(2) 若若 ,ABAB则则(|)( ).P B AP B (3)(|)1(|)P B AP B A 正确否?7课堂练习解答课堂练习解答()()()( )(1)(|)(|)1( )( )( )( )P ABP ABP ABABP AP B AP B AP AP AP AP A()
6、( )()( )( )(2) (|)( )( )( )( )1P BAP BP BAP BP BP B AP BP AP AP A (3)(|)1(|)P B AP B A1(|)(|)P B AP B A8例例1 一一批产品批产品100件件,有有80件正品,件正品,20件次品,其中甲件次品,其中甲生产的为生产的为60件,有件,有50件正品,件正品,10件次品,余下的件次品,余下的40件件均由乙生产。现从该批产品中均由乙生产。现从该批产品中 任取一件,记任取一件,记A=“正正品品”,B=“甲生产的产品甲生产的产品” 试计算:试计算:( ),( ),(),(|),(|).P A P B P AB
7、 P A B P B A解:解:80( )0.8;100P A 60( )0.6;100P B 50()0.5;100P AB 50(|)0.62580P B A (样本空间为样本空间为 )A505(|)606P A B (样本空间为样本空间为 )B();( )P ABP A().( )P ABP B例题与解答例题与解答9例例2 10个产品中有个产品中有7个正品,个正品,3个次品,按不放回抽个次品,按不放回抽样,抽取样,抽取2个。如果已知第一次取到次品,计算第二个。如果已知第一次取到次品,计算第二次又取到次品的概率次又取到次品的概率?解解: 设设iA 第第 个取到的是次品个取到的是次品,i1,
8、2;i 需求出需求出21(|)P AA212(|).9P AA(注注: 也可用条件概率公式计算也可用条件概率公式计算)例题与解答例题与解答10直接压缩样本空间直接压缩样本空间用条件概率公式用条件概率公式总结总结:条件概率的计算方法:条件概率的计算方法11u乘法公式乘法公式:对于两个事件:对于两个事件A与与B,(1) 若若P(A)0,则,则P(AB)= P(B|A) P(A);(2) 若若P(B)0,则,则P(AB)= P(A|B) P(B)。u推广推广:(1) 当当P(AB)0时,时, P(ABC)P(A)P(B|A)P(C|AB) (2) P(A1A2An)P(A1)P(A2|A1).P(A
9、n|A1An-1)(前提:(前提:作为条件的事件作为条件的事件, 其概率大于零其概率大于零。)。)u证明证明:由于:由于A AB,故,故P(A) P(AB)0P(ABC)=P(AB)P(C|AB)= P(A)P(B|A)P (C|AB)(注意条件注意条件)乘法公式乘法公式12例例3 袋中有袋中有3个红球,个红球,2个白球。每次从袋中任取一只,个白球。每次从袋中任取一只,观察其颜色后放回,并再放入一只与所取之球颜色相观察其颜色后放回,并再放入一只与所取之球颜色相同的球。若从袋中连续取球同的球。若从袋中连续取球4次,试求第次,试求第1、2次取得次取得白球、第白球、第3、4次取得红球的概率。次取得红
10、球的概率。解:解:设设Ai为第为第i次取球时取到白球,次取球时取到白球,i=1,4, 则则)|()|()|()()(32142131214321AAAAPAAAPAAPAPAAAAP52)(1AP63)|(12AAP73)|(213AAAP84)|(3214AAAAP)(4321AAAAP23343.567870例题与解答例题与解答13例例4 设设n张彩票中有一张中奖票。张彩票中有一张中奖票。(1) 已知前已知前k-1人没中奖,求第人没中奖,求第k人中奖的概率?人中奖的概率?(2) 求第求第k人中奖的概率?人中奖的概率?解:解:1,2,.,记第 人中奖 ,iAiik 121(|)1(1)1kk
11、P AAnAkA 121()()(2)kkkP AP A AAA121312121() (|) (|)(|)kkP A P AA P AA AP AA AA123(1)112(2)1nnnnknnnnknk1。n另解:另解:直接用古典概型直接用古典概型(1)!1!。nnn中奖概率中奖概率与摸奖顺与摸奖顺序无关序无关例题与解答例题与解答14引例引例 一个袋子内装有一个袋子内装有10个球,其中红球个球,其中红球7个、黑球个、黑球3个。个。每次从中任取一球,连续两次。记每次从中任取一球,连续两次。记 A“第一次取第一次取到红球到红球”;B “第二次取到红球第二次取到红球”。 求求P(B) 、P(B|
12、A) 和和P(B|) 。解解: (1) 有放回抽取:有放回抽取: P(B) 0.7 P(B|A) P(B|) ; (2) 无放回抽取:无放回抽取: P(B) 0.7, 而而 P(B|A) 6/92/3, P(B|) 7/9 1.3.2 1.3.2 事件的独立性事件的独立性15 由引例可见由引例可见, 在情形在情形(1)下,下,P(B)=P(B|A) P(B|) ,说明事件,说明事件B发生发生的概率,的概率,不受不受事件事件A发生与否的影响;发生与否的影响;在情形在情形(2)下,下,P(B)P(B|A), P(B) P(B|),说明事件,说明事件B发生的概率发生的概率受受到事件到事件A发生与否的
13、影响。发生与否的影响。u 两个事件独立性的直观概念:两个事件独立性的直观概念: 当事件当事件B发生的概率不受事件发生的概率不受事件A发生的影响,即发生的影响,即 P(B)=P(B|A),则事件则事件B与与A独立。独立。1. 1. 两个事件两个事件的的独立性独立性16两个事件独立性的定义两个事件独立性的定义 当事件当事件B发生的概率,不受事件发生的概率,不受事件A发生与否的影发生与否的影响时,即响时,即P(B)=P(B|A),乘法公式,乘法公式P(AB)=P(B|A)P(A) 可以改写为可以改写为P(AB)= P(A)P(B)。u定义定义:若两个事件:若两个事件A、B,满足,满足P(AB)= P
14、(A) P(B),则称事件则称事件A和和B相互独立。相互独立。(简称简称A和和B独立独立)u用用P(AB)=P(A)P(B)定义独立性,比用定义独立性,比用P(A)=P(A|B)适用范围更广。理由:适用范围更广。理由:后者受后者受P(B)0限制限制,而前者而前者不受该条件限制不受该条件限制。17有关独立性的推论有关独立性的推论1 1u推论推论1:设设A、B为两个事件,为两个事件, P(B)0,则,则A和和B独独立的充要条件:立的充要条件: P(A)= P(A|B)证明:证明:(充分性充分性) 因为因为P(A)= P(A|B),所以,所以P(AB)=P(A|B) P(B)=P(A)P(B)。(必
15、要性必要性) 由独立性知由独立性知, P(AB)=P(A)P(B),而由乘法公式而由乘法公式 P(AB)= P(A|B) P(B), 则则P(A)= P(A |B) 。 P(A)P(B)=P(A|B)P(B), 又因为又因为P(B)0,所以,所以18u 推论推论2:设设 为两个事件,则下列四对事件中:为两个事件,则下列四对事件中: 和和 ,,A BAB 和和 ,AB 和和 ,AB 和和 ,只要有一对事只要有一对事AB件是独立的,那么其余三对事件也是独立的。件是独立的,那么其余三对事件也是独立的。仅证明若仅证明若,A B独立,则独立,则 和和 也独立。也独立。AB证明:证明:()()( )()P
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