2019-2020年高考数学大一轮复习热点聚焦与扩展专题34等差数列问题探究.pdf
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1、推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料专题 34 等差数列问题探究【热点聚焦与扩展】等差数列的性质、通项公式和前n 项和公式构成等差数列的重要内容,在历届高考中必考,既有独立考查的情况,也有与等比数列等其它知识内容综合考查的情况选择题、填空题、解答题多种题型加以考查1、定义:数列na若从第二项开始,每一项与前一项的差是同一个常数,则称na是等差数列,这个常数称为na的公差,通常用d表示2、等差数列的通项公式:11naand,此通项公式存在以下几种变形:(1)nmaanm d,其中mn:已知数列中的某项ma和公差即可求出通项公式(2)nmaadnm:已知等差数列的两项即可求出公差,即项的差除以
2、对应序数的差(3)11naand:已知首项,末项,公差即可计算出项数3、等差中项:如果,a b c成等差数列,则b称为,a c的等差中项(1)等差中项的性质:若b为,a c的等差中项,则有cbba即2bac(2)如果na为等差数列,则2,nnN,na均为11,nnaa的等差中项(3)如果na为等差数列,则mnpqaaaamnpq注:一般情况下,等式左右所参与项的个数可以是多个,但要求两边参与项的个数相等.比如mnpqs,则mnpqsaaaaa不一定成立 利用这个性质可利用序数和与项数的特点求出某项.例如:478920aaaa,可得478977777420aaaaaaaaa,即可得到75a,这种
3、做法可称为“多项合一”4、等差数列通项公式与函数的关系:111naandd nad,所以该通项公式可看作na关于n的一次函数,从而可通过函数的角度分析等差数列的性质.例如:0d,na递增;0d,na递减.5、等差数列前n项和公式:12nnaaSn,此公式可有以下变形:(1)由mnpqmnpqaaaa可得:12pqnaaSn pqn,作用:在求等差数列推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料前n项和时,不一定必须已知1,na a,只需已知序数和为1n的两项即可(2)由通项公式11naand可得:1111122naandn nSna nd作用:这个公式也是计算等差数列前n项和的主流公式211112
4、22nn ndSa ndnad n,即nS是关于项数n的二次函数nN,且不含常数项,可记为2nSAnBn的形式.从而可将nS的变化规律图像化.(3)当21nkkN时,12121212kkaaSk因为1212kkaaa2121kkSka而ka是21kS的中间项,所以此公式体现了奇数项和与中间项的联系当2nk kN时122122kkkkaaSkk aa,即偶数项和与中间两项和的联系6、等差数列前n项和的最值问题:此类问题可从两个角度分析,一个角度是从数列中项的符号分析,另一个角度是从前n项和公式入手分析(1)从项的特点看最值产生的条件,以4 个等差数列为例::1,3,5,7,9,11,na:7,5
5、,3,1,1,3,nb:1,3,5,7,9,nc:9,7,5,3,1,1nd通过观察可得:na为递增数列,且10a,所以所有的项均为正数,前n项和只有最小值,即1a,同理nc中的项均为负数,所以前n项和只有最大值,即1c.而nb虽然是递减数列,但因为10b,所以直到51b,从而前4 项和最大,同理,nd的前 5项和最小.由此可发现规律:对于等差数列,当首项与公差异号时,前n项和的最值会出现在项的符号分界处.(2)从2nSAnBn的角度:通过配方可得2224nBBSA nAA,要注意nN,则可通过图像判断出nS的最值7、由等差数列生成的新等差数列推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料(1)在等
6、差数列na中,等间距的抽出一些项所组成的新数列依然为等差数列例如在:1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,na,以 3 为间隔抽出的项1,9,17,25,仍为等差数列.如何判定等间距:序数成等差数列,则项之间等间距(2)已知等差数列1212221223:,nkkkkkkkaa aaaaaaaa,设12kkSaaa,21223221223,kkkkkkkkkkSSaaaSSaaa,则相邻k项和232,kkkkkSSSSS成等差数列(3)已知,nnab为等差数列,则有:naC为等差数列,其中C为常数nka为等差数列,其中k为常数nnab为等差数列可归纳为nnabm也为等差数列8、
7、等差数列的判定:设数列na,其前n项和为nS(1)定义(递推公式):1nnaad(2)通项公式:naknm(关于n的一次函数或常值函数)(3)前n项和公式:2nSAnBn注:若2nSAnBnC,则na从第二项开始呈现等差关系(4)对于nN,122nnnaaa,即从第二项开始,每一项都是相邻两项的等差中项【经典例题】例 1.【2017 课标 1,理 4】记nS为等差数列na的前n项和若4524aa,648S,则na的公差为()A1 B 2 C4 D 8【答案】C【解析】设公差为d,45111342724aaadadad,611656615482Sadad,推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料
8、联立112724,61548adad解得4d,故选 C.秒杀解析:因为166346()3()482aaSaa,即3416aa,则4534()()24 168aaaa,即5328aad,解得4d,故选 C.【名师点睛】求解等差数列基本量问题时,要多多使用等差数列的性质,如na为等差数列,若mnpq,则mnpqaaaa.例 2.【2017 课标 II,理 15】等差数列na的前n项和为nS,33a,410S,则11nkkS .【答案】21nn【解析】【名师点睛】等差数列的通项公式及前n 项和公式,共涉及五个量a1,an,d,n,Sn,知其中三个就能求另外两个,体现了用方程的思想解决问题.数列的通项
9、公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换作用,而a1和 d 是等差数列的两个基本量,用它们表示已知和未知是常用方法.使用裂项法求和时,要注意正负项相消时消去了哪些项,保留了哪些项,切不可漏写未被消去的项,未被消去的项有前后对称的特点,实质上造成正负相消是此法的根源与目的.推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料例 3.【2018 届福建省莆田市第二次检测】设等差数列的前项和为,若,则取最大值时的值为()A.6 B.7 C.8 D.13【答案】B 点睛:该题考查的是有关等差数列的前项和最大值的问题,在求解的过程中,需要明确其前项和取最大值的条件,之后就是应用题的条件,确定其相关项的符号,从而求得
10、结果.例 4.【2018 届浙江省模拟测试】在等差数列na中,若981aa,且它的前n项和nS有最小值,则当0nS时,n的最小值为()A.14 B.15 C.16 D.17【答案】C【解析】分析:根据题设条件,利用等差数列的性质推导出811520aaa,891160aaaa,由此能求出0nS时,n的最小值详解:数列na是等差数列,它的前n项和nS有最小值公差0d,首项10a,na为递增数列981aa890aa,890aa由等差数列的性质知:811520aaa,891160aaaa.12nnaanS推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料当0nS时,n的最小值为16故选 C.例 5.【2018
11、届华大新高考联盟4 月检测】已知等差数列的前项和为,若是一个与无关的常数,则该常数构成的集合为()A.B.C.D.【答案】C【解析】分析:先根据等差数列的前项和公式计算出与,进而表达,再结合题中的条件以及分式故选 C.点睛:解决此类问题的关键是熟练掌握等差数列的前项和公式,以及熟练掌握分式的性质例 6.【2018 届东北师大附中四模】孙子算经 是我国古代的数学名著,书中有如下问题:“今有五等诸侯,共分橘子六十颗,人别加三颗.问:五人各得几何?”其意思为:有 5 个人分 60 个橘子,他们分得的橘子数成公差为3 的等差数列,问 5 人各得多少个橘子.这个问题中,得到橘子最多的人所得的橘子个数是(
12、)A.15 B.16 C.18 D.21【答案】C【解析】分析:首先根据题意,先确定其为一个等差数列的问题,已知公差、项数与和,求某项的问题,在求解的过程中,经分析,先确定首项,之后根据其和建立等量关系式,最后再利用通项公式求得第五项,从而求得结果.详解:设第一个人分到的橘子个数为,推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料由题意得,解得,则,故选 C.点睛:该题所考查的是有关等差数列的有关问题,在求解的过程中,注意分析题的条件,已知的量为公差、项数与和、而对于等差数列中,这五个量是知三求二的,所以应用相应的公式求得对应的量即可.例 7【2018 届山西省孝义市一模】设等差数列的公差为,前项和为
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