(浙江专用)2019高考数学二轮复习专题三数列与不等式第4讲不等式学案.pdf
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1、推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料第 4 讲不等式 考情考向分析 1.利用不等式性质比较大小、不等式的求解、利用基本不等式求最值、线性规划、绝对值不等式的应用问题是高考的热点,主要以选择题、填空题为主.2.一元二次不等式常与函数、数列结合考查一元二次不等式的解法和参数的取值范围.3.在解答题中,特别是在解析几何中求最值、范围问题或在解决导数或数列问题时常利用不等式进行求解,难度较大热点一基本不等式利用基本不等式求最大值、最小值,其基本法则是:(1)如果x0,y0,xyp(定值),当xy时,xy有最小值2p(简记为:积定,和有最小值);(2)如果x0,y0,xys(定值),当xy时,xy有
2、最大值14s2(简记为:和定,积有最大值)例 1(1)(2018 浙江省金丽衢十二校联考)设ab0,当a222b ab取得最小值c时,函数f(x)|xa|xb|xc|的最小值为()A3 B 22 C 5 D 42 答案A 解析a222b abbab222b ab2b(ab)2b ab22b ab2b ab4,当且仅当a 2b2 时,上面不等式中两个等号同时成立,推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料所以a222b ab的最小值为4,此时a2,b1,c4,则f(x)|x1|x2|x4|73x,x1,5x,1x2,x1,24,所以当x2 时,函数f(x)取得最小值f(2)523,故选 A.(2)
3、(2018 诸暨市高考适应性考试)已知a,b为正实数,且(ab)(a2b)ab9,则 3a4b的最小值为 _答案621 解析由(ab)(a 2b)ab 9,得ab9a2b1,则3a 4b 2(ab)a 2b18a2b1(a2b1)1218a2b1a 2b1 1621,当且仅当18a2b1a2b10 时,等号成立,所以3a4b的最小值为621.思维升华在利用基本不等式求最值时,要特别注意“拆、拼、凑”等技巧,使其满足基本不等式中“正”(即条件要求字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号成立的条件)的条件,否则会出现错误跟踪演练1(1)设x0,y0,若xlg 2,lg2,yl
4、g 2 成等差数列,则1x9y的最小值为()A8 B 9 C 12 D 16 答案D 解析xlg 2,lg2,ylg 2成等差数列,2lg2()xylg 2,xy 1,1x9y()xy1x9y10yx9xy10 2yx9xy10616,当且仅当x14,y34时取等号,故1x9y的最小值为16,故选 D.(2)已知点E,F分别在正方形ABCD的边BC,CD上运动,且AB(2,2),设|CE|x,推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料|CF|y,若|AFAE|AB|,则xy的最大值为()A2 B 4 C 22 D 42 答案C 解析|AB|222,|AFAE|AB|,又|AFAE|EF|x2y2
5、2,x2y24,(xy)2x2y22xy2(x2y2)8,当且仅当xy时取等号,xy22,即xy的最大值为22,故选 C.热点二简单的线性规划问题解决线性规划问题首先要找到可行域,再注意目标函数表示的几何意义,数形结合找到目标函数达到最值时可行域的顶点(或边界上的点),但要注意作图一定要准确,整点问题要验证解决例 2(1)(2018 浙江)若x,y满足约束条件xy0,2xy6,xy2,则zx3y的最小值是_,最大值是 _答案 2 8 解析由xy0,2xy6xy2,画出可行域如图阴影部分所示(含边界)由2xy6,xy2,解得A(4,2),由xy0,2xy6,解得B(2,2),推荐学习K12 资料
6、推荐学习K12 资料将目标函数y13x平移可知,当目标函数的图象经过A(4,2)时,zmin43(2)2;当目标函数的图象经过B(2,2)时,zmax232 8.(2)(2018 浙江省重点中学联考)若实数x,y满足xy1 时,不等式组表示的平面区域经过四个象限;当231 时,不等式组表示的平面区域不经过第二象限;当0 23时,不等式组表示的平面区域不经过第一和第二象限;当 0)表示的平面区域为,P(x,y)为 上的点,当 2xy的最大值为8 时,的面积为()A12 B 8 C 4 D 6 答案D 解析在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区域,其是以(0,0),(m,m),(m,2m
7、)为顶点的三角形区域(包含边界),由图(图略)易得当目标函数z2xy经过平面区域内的点(m,2m)时,z2xy取得最大值,所以2m2m8,解得m2,则此时平面区域推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料的面积为122(4 2)6,故选 D.热点三绝对值不等式及其应用1绝对值不等式的解法(1)|axb|c(c0)?caxbc;|axb|c(c0)?axbc或axbc.(2)含绝对值的不等式的几种解法:公式法;零点分区间法;几何意义法;图象法2绝对值三角不等式(1)|ab|a|b|,当且仅当ab0 时等号成立(2)|ac|ab|bc|,当且仅当(ab)(bc)0 时,等号成立例 3(1)(2018
8、 宁波期末)若函数f(x)|x|1x在x|1|x|4,xR 上的最大值为M,最小值为m,则Mm等于()A.74 B 2 C.94 D.114答案C 解析因为f(x)|x|1x0,当x1时,等号成立,所以m0.又因为f(x)|x|1x|x|1x|x|1|x|,当x0时等号成立设t|x|,g(t)t1t(1t4),则g(t)12t1t232222tt,令g(t)32222tt0,得t34,所以函数g(x)在1,34 上单调递减,在(34,4 上单调递增,且g(1)2,g(4)94,所以g(t)在1,4上的最大值为94,所以当x 4时,f(x)|x|1x取得最大值M94,所以Mm94,故选 C.(2
9、)已知mR,要使函数f(x)|x24x92m|2m在区间 0,4上的最大值是9,则m的取值范围是 _答案,72解析不等式即为|x24x92m|2m9,x0,4,等价于|x24x92m|9 2m,x0,4,2m9x24x92m9 2m,x0,4,4m18x2 4x0,x0,4,结合函数的定义域可得(x24x)min 4,推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料据此可得4m18 4,m72,即m的取值范围是,72.思维升华(1)利用绝对值三角不等式求最值要注意等号成立的条件(2)绝对值不等式在某一区间上的最值可以进行分类讨论,也可以直接分析区间端点的取值,结合最值取到的条件灵活确定跟踪演练3(1)
10、对任意x,y R,|x 1|x|y1|y1|的最小值为()A1 B 2 C 3 D 4 答案C 解析|x1|x|y1|y1|(x1)x|(y 1)(y1)|3,当且仅当0 x1,1y1时等号成立(2)(2018 杭州质检)设函数f(x)(xR)满足|f(x)x2|14,|f(x)1x2|34,则f(1)_.答案34解析由题意得|f(1)12|14,|f(1)112|34,由得34f(1)54,由得34f(1)34,所以f(1)34.真题体验1(2016上海)设xR,则不等式|x3|1 的解集为 _答案(2,4)解析由 1x 31,得 2x4,故解集为(2,4)2(2017浙江改编)若x,y满足
11、约束条件x0,xy30,x 2y0,则zx2y的取值范围是_推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料答案4,)解析作出不等式组表示的平面区域,如图中阴影部分(含边界)所示由题意可知,当直线y12xz2过点A(2,1)时,z取得最小值,即zmin 221 4.所以zx2y的取值范围是4,)3(2016浙江改编)已知实数a,b,c,则下列正确的是_(填序号)若|a2bc|ab2c|1,则a2b2c2100;若|a2bc|a2bc|1,则a2b2c2100;若|abc2|abc2|1,则a2b2c2100;若|a2bc|ab2c|1,则a2b2c20,则a44b41ab的最小值为 _答案4 解析a,
12、bR,ab0,a44b41ab4a2b21ab4ab1ab24ab1ab4,当且仅当a22b2,4ab1ab,即a222,b224时取得等号故a44b41ab的最小值为4.押题预测1已知x,y为正实数,且xy1x1y5,则xy的最大值是()推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料A3 B.72C4 D.92押题依据基本不等式在历年高考中的地位都很重要,已成为高考的重点和热点,用基本不等式求函数(和式或积式)的最值问题,有时与解析几何、数列等知识相结合答案C 解析由xy1x1y5,得 5xyxyxy,x0,y0,5xyxyxy22xy4xy,当且仅当xy时取等号(xy)25(xy)40,解得 1
13、xy4,xy的最大值是4.2在 R 上定义运算:abcdadbc,若不等式x1 a2a1 x1 对任意实数x恒成立,则实数a的最大值为()A12 B 32 C.12 D.32押题依据不等式的解法作为数学解题的一个基本工具,在高考中是必考内容往往与函数的单调性相结合,最后转化成一元一次不等式或一元二次不等式答案D 解析由定义知,不等式x1 a2a1 x1 等价于x2x(a2a2)1,x2x1a2a对任意实数x恒成立x2x1x1223434,a2a34,解得12a32,则实数a的最大值为32.3设变量x,y满足约束条件3xy60,xy20,y30,则目标函数z4xy的最小值为()A 6 B6 C7
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