【精品】2019高考数学二轮复习专题五函数与导数不等式第5讲导数与函数零点不等式问题学案.pdf
《【精品】2019高考数学二轮复习专题五函数与导数不等式第5讲导数与函数零点不等式问题学案.pdf》由会员分享,可在线阅读,更多相关《【精品】2019高考数学二轮复习专题五函数与导数不等式第5讲导数与函数零点不等式问题学案.pdf(15页珍藏版)》请在得力文库 - 分享文档赚钱的网站上搜索。
1、1第 5 讲导数与函数零点、不等式问题高考定位在高考压轴题中,函数与方程、不等式的交汇是考查的热点,常以含指数函数、对数函数为载体考查函数的零点(方程的根)、比较大小、不等式证明、不等式恒成立与能成立问题真 题 感 悟(2018浙江卷)已知函数f(x)xln x.(1)若f(x)在xx1,x2(x1x2)处导数相等,证明:f(x1)f(x2)8 8ln 2;(2)若a3 4ln 2,证明:对于任意k0,直线ykxa与曲线yf(x)有唯一公共点证明(1)函数f(x)的导函数f(x)12x1x,由f(x1)f(x2)得12x11x112x21x2,因为x1x2,所以1x11x212.由基本不等式得
2、12x1x2x1x224x1x2,因为x1x2,所以x1x2256.由题意得f(x1)f(x2)x1 ln x1x2ln x212x1x2ln(x1x2)设g(x)12xln x,则g(x)14x(x4),所以x0 时,g(x)、g(x)的变化情况如下表:x(0,16)16(16,)g(x)0g(x)24ln 2所以g(x)在256,)上单调递增,故g(x1x2)g(256)88ln 2,即f(x1)f(x2)88ln 2.(2)令me(|a|k),n|a|1k21,则f(m)kma|a|kka0,2f(n)knan1nankn|a|1nk0,直线ykxa与曲线yf(x)有唯一公共点考 点 整
3、 合1利用导数研究函数的零点函数的零点、方程的实根、函数图象与x轴的交点的横坐标是三个等价的概念,解决这类问题可以通过函数的单调性、极值与最值,画出函数图象的变化趋势,数形结合求解2三次函数的零点分布三次函数在存在两个极值点的情况下,由于当x时,函数值也趋向,只要按照极值与零的大小关系确定其零点的个数即可存在两个极值点x1,x2且x10 两个f(x1)0 或者f(x2)0 三个f(x1)0 且f(x2)0 a0(f(x1)为极小值,f(x2)为极大值)一个f(x1)0 或f(x2)0 两个f(x1)0 或者f(x2)0 三个f(x1)0 且f(x2)0 3.利用导数解决不等式问题(1)利用导数
4、证明不等式3若证明f(x)g(x),x(a,b),可以构造函数F(x)f(x)g(x),如果能证明F(x)在(a,b)上的最大值小于0,即可证明f(x)g(x)对一切xI恒成立I是f(x)g(x)的解集的子集f(x)g(x)min0(xI)xI,使f(x)g(x)成立I与f(x)g(x)的解集的交集不是空集f(x)g(x)max0(xI)对x1,x2I使得f(x1)g(x2f(x)maxg(x)min.对x1I,x2I使得f(x1)g(x2f(x)ming(x)min.温馨提醒解决方程、不等式相关问题,要认真分析题目的结构特点和已知条件,恰当构造函数并借助导数研究性质,这是解题的关键.热点一利
5、用导数研究函数的零点(方程的根)【例 1】(2018全国卷)已知函数f(x)13x3a(x2x1)(1)若a3,求f(x)的单调区间;(2)证明:f(x)只有一个零点(1)解当a3 时,f(x)13x33x23x 3,f(x)x26x3.令f(x)0 解得x323或x323.当x(,323)(323,)时,f(x)0;当x(3 23,323)时,f(x)0,所以f(x)0 等价于x3x2x13a0.设g(x)x3x2x13a,则g(x)x2(x22x 3)(x2x 1)20,仅当x 0 时g(x)0,所以g(x)在(,)单调递增故g(x)至多有一个零点,从而f(x)至多有一个零点又f(3a1)
6、6a22a13 6a162160,故f(x)有一个零点综上,f(x)只有一个零点4探究提高1.三步求解函数零点(方程根)的个数问题第一步:将问题转化为函数的零点问题,进而转化为函数的图象与x轴(或直线yk)在该区间上的交点问题;第二步:利用导数研究该函数在该区间上单调性、极值(最值)、端点值等性质,进而画出其图象;第三步:结合图象求解2根据函数零点情况求参数范围:(1)要注意端点的取舍;(2)选择恰当的分类标准进行讨论【训练 1】设函数f(x)x3ax2bxc.(1)求曲线yf(x)在点(0,f(0)处的切线方程;(2)设ab4,若函数f(x)有三个不同零点,求c的取值范围解(1)由f(x)x
7、3ax2bxc,得f(x)3x22axb.f(0)c,f(0)b,曲线yf(x)在点(0,f(0)处的切线方程为ybxc.(2)当ab4 时,f(x)x3 4x24xc,f(x)3x2 8x4.令f(x)0,得 3x28x40,解得x 2 或x23.当x变化时,f(x)与f(x)在区间(,)上的情况如下:x(,2)22,232323,f(x)00f(x)c c3227当c0 且c32270 时,f(4)c160,存在x1(4,2),x2 2,23,x3 23,0,使得f(x1)f(x2)f(x3)0.由f(x)的单调性知,当且仅当c 0,3227时,函数f(x)x34x24xc有三个不同零点热
8、点二利用导数求解不等式问题 考法 1 证明不等式【例 2 1】(2018全国卷)已知函数f(x)1xxaln x.5(1)讨论f(x)的单调性;(2)若f(x)存在两个极值点x1,x2,证明:f(x1)f(x2)x1x22,令f(x)0 得,xaa242或xaa242.当x0,aa242aa242,时,f(x)0.所以f(x)在 0,aa242,aa242,上单调递减,在aa242,aa242上单调递增(2)证明由(1)知,f(x)存在两个极值点时,当且仅当a2.由于f(x)的两个极值点x1,x2满足x2ax10,所以x1x21,不妨设x11.由于f(x1)f(x2)x1x21x1x21aln
9、 x1ln x2x1x2 2aln x1 ln x2x1x2 2a2ln x21x2x2,所以f(x1)f(x2)x1x2a 2 等价于1x2x22ln x20.设函数g(x)1xx2ln x,由(1)知,g(x)在(0,)上单调递减,又g(1)0,从而当x(1,)时,g(x)0.所以1x2x2 2ln x20,即f(x1)f(x2)x1x20)6(1)设 (x)f(x)1a11x,求(x)的最小值;(2)在区间(1,e)上f(x)x恒成立,求实数a的取值范围解(1)(x)f(x)1a11xaln xa11x(x0)则(x)axax2a(x1)x2,令(x)0,得x1.当 0 x1 时,(x)
10、1 时,(x)0.(x)在(0,1)上是减函数,在(1,)上是增函数故(x)在x1 处取得极小值,也是最小值(x)min(1)0.(2)由f(x)x得aln x 1x,即ax1ln x.令g(x)x1ln x(1xe),则g(x)ln xx1x(ln x)2.令h(x)ln xx1x(1x0.故h(x)在区间(1,e)上单调递增,所以h(x)h(1)0.因为h(x)0,所以g(x)0,即g(x)在区间(1,e)上单调递增,则g(x)g(e)e1,即x1ln xe1,所以实数a的取值范围为e 1,)考法 3 存在性不等式成立问题【例 2 3】已知函数f(x)x(a1)ln xax(aR且ae),
11、g(x)12x2exxex.(1)当x1,e 时,求f(x)的最小值;(2)当a1 时,若存在x1e,e2,使得对任意的x2 2,0,f(x1)g(x2)恒成立,求a的取值范围解(1)f(x)的定义域为(0,),f(x)(x1)(xa)x2.若a1,当x 1,e 时,f(x)0,则f(x)在1,e 上为增函数,f(x)minf(1)1a.若 1ae,7当x1,a 时,f(x)0,f(x)为减函数;当xa,e 时,f(x)0,f(x)为增函数所以f(x)minf(a)a(a1)ln a1.综上,当a1 时,f(x)min1a;当 1ae 时,f(x)mina(a1)ln a1;(2)由题意知:f
12、(x)(xe,e2)的最小值小于g(x)(x 2,0)的最小值由(1)知f(x)在e,e2 上单调递增,f(x)minf(e)e(a1)ae,又g(x)(1ex)x.当x 2,0 时,g(x)0,g(x)为减函数,则g(x)ming(0)1,所以 e(a1)ae1,解得ae22ee1,所以a的取值范围为e22ee1,1 .探究提高1.(1)涉及不等式证明或恒成立问题,常依据题目特征,恰当构建函数,利用导数研究函数性质,转化为求函数的最值、极值问题,在转化过程中,一定要注意等价性(2)对于含参数的不等式,如果易分离参数,可先分离参数、构造函数,直接转化为求函数的最值;否则应进行分类讨论,在解题过
13、程中,必要时,可作出函数图象草图,借助几何图形直观分析转化2“恒成立”与“存在性”问题的求解是“互补”关系,即f(x)g(a)对于xD恒成立,应求f(x)的最小值;若存在xD,使得f(x)g(a)成立,应求f(x)的最大值应特别关注等号是否取到,注意端点的取舍【训练 2】(2018全国卷)已知函数f(x)exax2.(1)若a1,证明:当x0 时,f(x)1;(2)若f(x)在(0,)只有一个零点,求a.(1)证明当a 1 时,f(x)1 等价于(x21)ex10.设函数g(x)(x21)ex1,则g(x)(x22x1)ex(x1)2ex.当x1 时,g(x)0,h(x)没有零点;()当a0时
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 精品 2019 高考 数学 二轮 复习 专题 函数 导数 不等式 零点 问题
链接地址:https://www.deliwenku.com/p-69831521.html
限制150内