单自由度系统的振动ppt课件.ppt
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1、返回总目录振动理论与应用振动理论与应用Theory of Vibration with Applications1 返回首页目录Theory of Vibration with Applications 2.5 2.5 简谐激励作用下的受迫振动简谐激励作用下的受迫振动简谐激励作用下的受迫振动简谐激励作用下的受迫振动 2.6 2.6 简谐激励受迫振动理论的应用简谐激励受迫振动理论的应用简谐激励受迫振动理论的应用简谐激励受迫振动理论的应用 2.7 2.7 周期激励作用下的受迫振动周期激励作用下的受迫振动周期激励作用下的受迫振动周期激励作用下的受迫振动 2.8 2.8 任意激励作用下的受迫振动任意激
2、励作用下的受迫振动任意激励作用下的受迫振动任意激励作用下的受迫振动 2.9 2.9 响应谱响应谱响应谱响应谱 2.1 2.1 无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动 2.2 2.2 计算固有频率的能量法计算固有频率的能量法计算固有频率的能量法计算固有频率的能量法 2.3 2.3 瑞利法瑞利法瑞利法瑞利法 2.4 2.4 有阻尼系统的衰减振动有阻尼系统的衰减振动有阻尼系统的衰减振动有阻尼系统的衰减振动 2 返回首页Theory of Vibration with Applications2.1 2.1 2.1 2.1 无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由
3、振动无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动3关于关于关于关于单自由度系统单自由度系统振动振动振动振动的的概念概念概念概念典型的单自由度系统典型的单自由度系统:弹簧弹簧-质量系统质量系统 梁上固定一台电动机,当电机沿铅直方梁上固定一台电动机,当电机沿铅直方向振动时,可视为集中质量。如不计梁向振动时,可视为集中质量。如不计梁的质量,则相当于一根无重弹簧,系统的质量,则相当于一根无重弹簧,系统简化成弹簧简化成弹簧-质量系统质量系统 返回首页Theory of Vibration with Applications42.1.1 自由振动方程自由振动方程 2.1.2 振幅、初相位和频率振幅、初相位和频
4、率 2.1.3 等效刚度系数等效刚度系数 2.1.4 扭转振动扭转振动 返回首页Theory of Vibration with Applications52.1.1 自由振动方程自由振动方程当物块偏离平衡位置为当物块偏离平衡位置为x x距离时,物块的距离时,物块的运动微分方程为运动微分方程为 其中取取物物块块的的静静平平衡衡位位置置为为坐坐标标原原点点O,x轴轴顺顺弹弹簧簧变变形形方方向向铅铅直直向向下下为为正正。当当物物块块在静平衡位置时,由平衡条件,得到在静平衡位置时,由平衡条件,得到无阻尼自由振动微分方程无阻尼自由振动微分方程 弹簧的静变形弹簧的静变形固有圆频率固有圆频率 返回首页Th
5、eory of Vibration with Applications6其通解其通解为:为:其中其中C1和和C2为积分常数,由物块运动的起始条件确定。设为积分常数,由物块运动的起始条件确定。设t=0时,时,可解可解 返回首页2.1.1 自由振动方程自由振动方程Theory of Vibration with Applications2.1 2.1 2.1 2.1 无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动7两种形式描述的物两种形式描述的物块振动,称为无阻块振动,称为无阻尼自由振动,简称尼自由振动,简称自由振动。自由振动。另一种形式另一种形式另一种形式另一种
6、形式无阻尼的自由振动是以其静平衡位置为振动中心的无阻尼的自由振动是以其静平衡位置为振动中心的简谐振动简谐振动 初相位角振 幅 返回首页2.1.1 自由振动方程自由振动方程Theory of Vibration with Applications2.1 2.1 2.1 2.1 无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动82.1.2 振幅、初相位和频率振幅、初相位和频率系统振动的周期系统振动的频率系统振动的圆频率为圆频率 是物块在自由振动中每2 秒内振动的次数。f、只与振动系统的弹簧常量k和物块的质量 m 有关,而与运动的初始条件无关。因此,通常将频率f 称为
7、固有频率,圆频率 称为固有圆频率。返回首页Theory of Vibration with Applications2.1 2.1 2.1 2.1 无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动9用弹簧静变形量用弹簧静变形量d dst表示固有圆频率的计算公式表示固有圆频率的计算公式 物块静平衡位置时物块静平衡位置时固有圆频率固有圆频率 返回首页2.1.2 振幅、初相位和频率振幅、初相位和频率Theory of Vibration with Applications2.1 2.1 2.1 2.1 无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动无阻尼
8、系统的自由振动102.1.3 等效刚度系数等效刚度系数 单自由度线性系统无阻尼自由振动微分方程单自由度线性系统无阻尼自由振动微分方程单自由度线性系统无阻尼自由振动微分方程单自由度线性系统无阻尼自由振动微分方程等效的概念等效的概念等效的概念等效的概念这一方程,可以等效为广义坐标的形式这一方程,可以等效为广义坐标的形式这一方程,可以等效为广义坐标的形式这一方程,可以等效为广义坐标的形式 返回首页Theory of Vibration with Applications2.1 2.1 2.1 2.1 无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动11等效的概念等效的
9、概念等效的概念等效的概念 返回首页2.1.3 等效刚度系数等效刚度系数Theory of Vibration with Applications2.1 2.1 2.1 2.1 无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动12串联弹簧与并联弹簧的等效刚度串联弹簧与并联弹簧的等效刚度串联弹簧与并联弹簧的等效刚度串联弹簧与并联弹簧的等效刚度例例 在图中,已知物块的质量为在图中,已知物块的质量为m,弹簧的弹簧刚度系数分别为,弹簧的弹簧刚度系数分别为k1、k2,分别求并联弹簧与串联弹簧直线振动系统的固有频率。,分别求并联弹簧与串联弹簧直线振动系统的固有频率。解解:(:
10、(1)并联情况。弹簧并联的特征是:)并联情况。弹簧并联的特征是:二二弹簧变形相等弹簧变形相等。振动过程中,物块始终作平行移动。处振动过程中,物块始终作平行移动。处于平衡位置时,两根弹簧的静变形都是于平衡位置时,两根弹簧的静变形都是d dst,而弹性力分别是,而弹性力分别是 系统平衡方程是系统平衡方程是 返回首页2.1.3 等效刚度系数等效刚度系数Theory of Vibration with Applications2.1 2.1 2.1 2.1 无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动13如如果果用用一一根根弹弹簧簧刚刚度度系系数数为为k的的弹弹簧簧
11、来来代代替替原原来来的的两两根根弹弹簧簧,使该弹簧的静变形与原来两根弹簧所产生的静变形相等,则使该弹簧的静变形与原来两根弹簧所产生的静变形相等,则 k称为称为并联弹簧的等效并联弹簧的等效刚度系数。刚度系数。并联后的等效弹簧刚并联后的等效弹簧刚度系数是各并联弹簧度系数是各并联弹簧刚度系数的算术和。刚度系数的算术和。系统的固有频率系统的固有频率 返回首页2.1.3 等效刚度系数等效刚度系数Theory of Vibration with Applications2.1 2.1 2.1 2.1 无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动14(2)串联情况。串联弹
12、簧的特征是:)串联情况。串联弹簧的特征是:二二弹簧受力相等弹簧受力相等。当物块在静平衡位置时,它的静位移dst等于每根弹簧的静变形之和,即 dst=d1st+d2st 由由于于每每根根弹弹簧簧所所受受的的拉拉力力都都等等于于重力重力mg,故它们的静变形分别为,故它们的静变形分别为如果用一根弹簧刚度系数为如果用一根弹簧刚度系数为 k 的弹的弹簧来代替原来的两根弹簧,此弹簧簧来代替原来的两根弹簧,此弹簧的静变形等于的静变形等于 返回首页2.1.3 等效刚度系数等效刚度系数Theory of Vibration with Applications2.1 2.1 2.1 2.1 无阻尼系统的自由振动无
13、阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动15如果用一根弹簧刚度系数为如果用一根弹簧刚度系数为k 的弹簧来代替原来的的弹簧来代替原来的两根弹簧,此弹簧的静变形等于两根弹簧,此弹簧的静变形等于k称为串联弹簧的等效刚度系数串联后的弹簧刚度系数的倒数等于串联后的弹簧刚度系数的倒数等于各串联弹簧刚度系数倒数的算术和各串联弹簧刚度系数倒数的算术和 返回首页2.1.3 等效刚度系数等效刚度系数Theory of Vibration with Applications2.1 2.1 2.1 2.1 无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动16组合弹簧的
14、等效刚度组合弹簧的等效刚度组合弹簧的等效刚度组合弹簧的等效刚度例例 质量为质量为m的物块悬挂如图所示。设杆的物块悬挂如图所示。设杆AB的质量不计,两弹簧的质量不计,两弹簧的弹簧刚度系数分别为的弹簧刚度系数分别为k1和和k2,又又AC=a,AB=b,求物块的自由,求物块的自由振动频率。振动频率。解解:将各弹簧的刚度系数按:将各弹簧的刚度系数按静力等效的原则,折算到质静力等效的原则,折算到质量所在处。量所在处。先将刚度系数先将刚度系数k2换算至质换算至质量量m所在处所在处C的等效刚度系的等效刚度系数数k。返回首页Theory of Vibration with ApplicationsC2.1.3
15、 等效刚度系数等效刚度系数2.1 2.1 2.1 2.1 无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动17先将刚度系数先将刚度系数k2换算至质量换算至质量m所在处所在处C的等效刚度系数的等效刚度系数k。返回首页Theory of Vibration with ApplicationsC设在设在C处作用一力处作用一力F,按静力平衡的,按静力平衡的关系,作用在关系,作用在B处的力为处的力为此力使此力使B B 弹簧弹簧 k2 产生产生 变形,变形,而此变形使而此变形使C点发生的变形为点发生的变形为 得到作用在得到作用在C处而与处而与k2弹簧等效的刚度系数弹簧等效的
16、刚度系数 2.1.3 等效刚度系数等效刚度系数2.1 2.1 2.1 2.1 无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动18C物块的自由振动频率为物块的自由振动频率为与弹簧k1串联 返回首页Theory of Vibration with Applications得系统的等效刚度系数得系统的等效刚度系数2.1.3 等效刚度系数等效刚度系数2.1 2.1 2.1 2.1 无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动19弹性梁的等效刚度弹性梁的等效刚度弹性梁的等效刚度弹性梁的等效刚度例例 一个质量为一个质量为m的物块从的物块
17、从 h 的高的高处自由落下,与一根抗弯刚度为处自由落下,与一根抗弯刚度为EI、长为的简支梁作塑性碰撞,不计梁长为的简支梁作塑性碰撞,不计梁的质量,求该系统自由振动的频率、的质量,求该系统自由振动的频率、振幅和最大挠度。振幅和最大挠度。返回首页2.1.3 等效刚度系数等效刚度系数Theory of Vibration with Applications2.1 2.1 2.1 2.1 无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动解解:当梁的质量可以略去不计时,梁可以用一根弹簧:当梁的质量可以略去不计时,梁可以用一根弹簧来代替,于是这个系统简化成弹簧来代替,于是这
18、个系统简化成弹簧质量系统。如果质量系统。如果知道系统的静变形知道系统的静变形 则求出系统的固有频率则求出系统的固有频率 20由由材材料料力力学学可可知知,简简支支梁梁受受集集中载荷作用,其中点静挠度为中载荷作用,其中点静挠度为求出系统的固有频率为求出系统的固有频率为中央受集中载荷的简支梁的等效弹簧刚度系数为中央受集中载荷的简支梁的等效弹簧刚度系数为 返回首页2.1.3 等效刚度系数等效刚度系数Theory of Vibration with Applications2.1 2.1 2.1 2.1 无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动21以以梁梁承承受
19、受重重物物时时的的静静平平衡衡位位置置为为坐坐标标原原点点O,建建立立坐坐标标系系,并并以以撞撞击击时时刻刻为零瞬时,则为零瞬时,则t=0时,有时,有自由振动的振幅为自由振动的振幅为梁的最大挠度梁的最大挠度 返回首页2.1.3 等效刚度系数等效刚度系数Theory of Vibration with Applications2.1 2.1 2.1 2.1 无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动222.1.4 扭转振动扭转振动等效系统等效系统等效系统等效系统内燃机的曲轴、轮船的传动轴等,在运转内燃机的曲轴、轮船的传动轴等,在运转中常常产生扭转振动,简称扭
20、振。中常常产生扭转振动,简称扭振。扭振系统称为扭振系统称为扭摆扭摆。OA 为一铅直圆轴,圆盘对其转动惯量为为一铅直圆轴,圆盘对其转动惯量为IO。在研究扭摆的运动规律时,假定在研究扭摆的运动规律时,假定OA的质量略的质量略去不计,圆盘的位置可由圆盘上任一根半径去不计,圆盘的位置可由圆盘上任一根半径线和该线的静止位置之间的夹角线和该线的静止位置之间的夹角 来决定,来决定,称称扭角扭角。圆轴的抗扭刚度系数为圆轴的抗扭刚度系数为kn,表示使,表示使圆盘产生单位扭角所需的力矩。圆盘产生单位扭角所需的力矩。返回首页Theory of Vibration with Applications2.1 2.1 2
21、.1 2.1 无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动23根据刚体转动微分方程建立该系统的运动微分方程根据刚体转动微分方程建立该系统的运动微分方程扭振的运动规律扭振的运动规律对于单自由度振动系统来说,尽管前述直线振动和对于单自由度振动系统来说,尽管前述直线振动和当前扭振的结构形式和振动形式均不一样,但其振当前扭振的结构形式和振动形式均不一样,但其振动规律、特征是完全相同的。动规律、特征是完全相同的。固有圆频率固有圆频率 返回首页2.1.4 扭转振动扭转振动Theory of Vibration with Applications2.1 2.1 2.1 2
22、.1 无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动24图图(a)所所示示为为扭扭振振系系统统两两个个轴轴并并联联的的情情况况;图图(b)为为两轴串联的情况;图两轴串联的情况;图(c)则为进一步简化的等效系统。则为进一步简化的等效系统。并联轴系的等效刚度系数并联轴系的等效刚度系数串联轴系的等效刚度系数串联轴系的等效刚度系数 返回首页2.1.4 扭转振动扭转振动Theory of Vibration with Applications2.1 2.1 2.1 2.1 无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动25 返回首页Th
23、eory of Vibration with Applications2.2 2.2 2.2 2.2 计算固有频率的能量法计算固有频率的能量法计算固有频率的能量法计算固有频率的能量法26计算固有频率的能量法的理论基础是机械能守恒定律。计算固有频率的能量法的理论基础是机械能守恒定律。无阻尼单自由振动系统中,势能与动能之和保持不变。无阻尼单自由振动系统中,势能与动能之和保持不变。常量式式中中T是是动动能能,V是是势势能能。如如果果取取平平衡衡位位置置O为势能的零点,系统在任一位置为势能的零点,系统在任一位置 返回首页Theory of Vibration with Applications2.2
24、2.2 2.2 2.2 计算固有频率的能量法计算固有频率的能量法计算固有频率的能量法计算固有频率的能量法27当系统在平衡位置时,当系统在平衡位置时,x=0,速度为最大,势能为零,速度为最大,势能为零,动能具有最大值动能具有最大值Tmax;当系统在最大偏离位置时,速度为零,动能为零,而当系统在最大偏离位置时,速度为零,动能为零,而势能具有最大值势能具有最大值Vmax。由于系统的机械能守恒由于系统的机械能守恒 用能量法计算固有频率的公式用能量法计算固有频率的公式 返回首页Theory of Vibration with Applications2.2 2.2 2.2 2.2 计算固有频率的能量法计
25、算固有频率的能量法计算固有频率的能量法计算固有频率的能量法28例例 船舶振动记录仪的原理图如图所示。重物船舶振动记录仪的原理图如图所示。重物P连同杆连同杆BD对于对于支点支点B的转动惯量为的转动惯量为IE,求重物求重物P在铅直方向的振动频率。已知在铅直方向的振动频率。已知弹簧弹簧AC的弹簧刚度系数是的弹簧刚度系数是k。解解:这是单自由度的振动系统。这是单自由度的振动系统。系统的位置可由杆系统的位置可由杆BD自水平的平自水平的平衡位置量起的衡位置量起的 角来决定。角来决定。系统的动能系统的动能设系统作简谐振动,则其运动方程设系统作简谐振动,则其运动方程角速度为角速度为 返回首页Theory of
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