1单自由度系统的自由振动.ppt
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1、主讲 贾启芬机械与结构振动机械与结构振动Mechanical and Structural Vibration引引引引 言言言言 振动振动振动振动是一种运动形态,是指物体在平衡位置是一种运动形态,是指物体在平衡位置是一种运动形态,是指物体在平衡位置是一种运动形态,是指物体在平衡位置附近作附近作附近作附近作往复运动往复运动往复运动往复运动。振动属于动力学第二类问题振动属于动力学第二类问题振动属于动力学第二类问题振动属于动力学第二类问题已知主动力求已知主动力求已知主动力求已知主动力求运动。运动。运动。运动。Mechanical and Structural Vibration机械与结构振动机械与结
2、构振动 振动问题的研究方法振动问题的研究方法振动问题的研究方法振动问题的研究方法与分析其他动力学问题与分析其他动力学问题与分析其他动力学问题与分析其他动力学问题相类似:相类似:相类似:相类似:选择合适的广义坐标;选择合适的广义坐标;选择合适的广义坐标;选择合适的广义坐标;分析运动;分析运动;分析运动;分析运动;分析受力;分析受力;分析受力;分析受力;选择合适的动力学定理;选择合适的动力学定理;选择合适的动力学定理;选择合适的动力学定理;建立运动微分方程;建立运动微分方程;建立运动微分方程;建立运动微分方程;求解运动微分方程,利用初始条件确定积分常数。求解运动微分方程,利用初始条件确定积分常数。
3、求解运动微分方程,利用初始条件确定积分常数。求解运动微分方程,利用初始条件确定积分常数。引引引引 言言言言Mechanical and Structural Vibration机械与结构振动机械与结构振动 振动问题的研究方法振动问题的研究方法振动问题的研究方法振动问题的研究方法与分析其他动力学问题与分析其他动力学问题与分析其他动力学问题与分析其他动力学问题不同的是:一般情形下,都选择平衡位置作为广不同的是:一般情形下,都选择平衡位置作为广不同的是:一般情形下,都选择平衡位置作为广不同的是:一般情形下,都选择平衡位置作为广义坐标的原点。义坐标的原点。义坐标的原点。义坐标的原点。研究振动问题所用的
4、动力学定理:研究振动问题所用的动力学定理:研究振动问题所用的动力学定理:研究振动问题所用的动力学定理:矢量动力学基础中的动量定理;矢量动力学基础中的动量定理;矢量动力学基础中的动量定理;矢量动力学基础中的动量定理;动量矩定理;动量矩定理;动量矩定理;动量矩定理;动能定理;动能定理;动能定理;动能定理;达朗贝尔原理。达朗贝尔原理。达朗贝尔原理。达朗贝尔原理。分析动力学基础中的拉格朗日方程。分析动力学基础中的拉格朗日方程。分析动力学基础中的拉格朗日方程。分析动力学基础中的拉格朗日方程。引引引引 言言言言Mechanical and Structural Vibration机械与结构振动机械与结构振
5、动振动概述振动概述振动概述振动概述所考察的系统既有惯性又有弹性。所考察的系统既有惯性又有弹性。所考察的系统既有惯性又有弹性。所考察的系统既有惯性又有弹性。运动微分方程中,既有等效质量,又有等效刚度。运动微分方程中,既有等效质量,又有等效刚度。运动微分方程中,既有等效质量,又有等效刚度。运动微分方程中,既有等效质量,又有等效刚度。振动问题的共同特点振动问题的共同特点Mechanical and Structural Vibration机械与结构振动机械与结构振动 按系统的自由度划分:按系统的自由度划分:按系统的自由度划分:按系统的自由度划分:振动问题的分类振动问题的分类 单自由度单自由度单自由度
6、单自由度振动振动振动振动一个自由度系统的振动。一个自由度系统的振动。一个自由度系统的振动。一个自由度系统的振动。多自由度多自由度多自由度多自由度振动振动振动振动两个或两个以上自由度系统的两个或两个以上自由度系统的两个或两个以上自由度系统的两个或两个以上自由度系统的 振动。振动。振动。振动。连续系统连续系统连续系统连续系统振动振动振动振动连续弹性体的振动。这种系统连续弹性体的振动。这种系统连续弹性体的振动。这种系统连续弹性体的振动。这种系统 具有无穷多个自由度。具有无穷多个自由度。具有无穷多个自由度。具有无穷多个自由度。振动概述振动概述振动概述振动概述机械与结构振动机械与结构振动Mechanic
7、al and Structural Vibration 按系统特性或运动微分方程类型划分:按系统特性或运动微分方程类型划分:按系统特性或运动微分方程类型划分:按系统特性或运动微分方程类型划分:振动问题的分类振动问题的分类 线性振动线性振动线性振动线性振动系统的运动微分方程为线性方程的系统的运动微分方程为线性方程的系统的运动微分方程为线性方程的系统的运动微分方程为线性方程的振动。振动。振动。振动。非非非非线性振动线性振动线性振动线性振动系统的刚度呈非线性特性时,系统的刚度呈非线性特性时,系统的刚度呈非线性特性时,系统的刚度呈非线性特性时,将得到非线性运动微分方程,这种系统的振动将得到非线性运动微
8、分方程,这种系统的振动将得到非线性运动微分方程,这种系统的振动将得到非线性运动微分方程,这种系统的振动称为非线性振动。称为非线性振动。称为非线性振动。称为非线性振动。机械与结构振动机械与结构振动Mechanical and Structural Vibration 线性振动线性振动:相应的系统称为:相应的系统称为线性系统线性系统。线性振动的一个重要特性是线性叠加原理成立。线性振动的一个重要特性是线性叠加原理成立。非线性振动非线性振动:相应的系统称为:相应的系统称为非线性系统非线性系统。非线性振动的叠加原理不成立。非线性振动的叠加原理不成立。机械与结构振动机械与结构振动Mechanical an
9、d Structural Vibration 按激励特性划分:按激励特性划分:按激励特性划分:按激励特性划分:振动问题的分类振动问题的分类 自由振动自由振动自由振动自由振动没有外部激励,或者外部激励除去后,没有外部激励,或者外部激励除去后,没有外部激励,或者外部激励除去后,没有外部激励,或者外部激励除去后,系统自身的振动。系统自身的振动。系统自身的振动。系统自身的振动。受迫振动受迫振动受迫振动受迫振动系统在作为时间函数的外部激励下发系统在作为时间函数的外部激励下发系统在作为时间函数的外部激励下发系统在作为时间函数的外部激励下发生的振动,这种外部激励不受系统运动的影响。生的振动,这种外部激励不受
10、系统运动的影响。生的振动,这种外部激励不受系统运动的影响。生的振动,这种外部激励不受系统运动的影响。自激振动自激振动自激振动自激振动系统由系统本身运动所诱发和控制的系统由系统本身运动所诱发和控制的系统由系统本身运动所诱发和控制的系统由系统本身运动所诱发和控制的激励下发生的振动。激励下发生的振动。激励下发生的振动。激励下发生的振动。参激振动参激振动参激振动参激振动激励源为系统本身含随时间变化的参激励源为系统本身含随时间变化的参激励源为系统本身含随时间变化的参激励源为系统本身含随时间变化的参数,这种激励所引起的振动。数,这种激励所引起的振动。数,这种激励所引起的振动。数,这种激励所引起的振动。振动
11、概述振动概述振动概述振动概述机械与结构振动机械与结构振动Mechanical and Structural Vibration目录Mechanical and Structural Vibration 1.1 1.1 无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动 1.2 1.2 计算固有频率的能量法计算固有频率的能量法计算固有频率的能量法计算固有频率的能量法 1.3 1.3 瑞利法瑞利法瑞利法瑞利法 1.4 1.4 有阻尼系统的衰减振动有阻尼系统的衰减振动有阻尼系统的衰减振动有阻尼系统的衰减振动 1.1 1.1 1.1 1.1 无阻尼系统的自由振动无阻尼系统
12、的自由振动无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动Mechanical and Structural Vibration关于关于关于关于单自由度系统单自由度系统振动振动振动振动的的概念概念概念概念典型的单自由度系统典型的单自由度系统:弹簧弹簧-质量系统质量系统 梁上固定一台电动机,当电机沿铅直方梁上固定一台电动机,当电机沿铅直方向振动时,可视为集中质量。如不计梁向振动时,可视为集中质量。如不计梁的质量,则相当于一根无重弹簧,系统的质量,则相当于一根无重弹簧,系统简化成弹簧简化成弹簧-质量系统质量系统 Mechanical and Structural Vibration1.1.1 自由振动方程
13、自由振动方程 1.1.2 振幅、初相位和频率振幅、初相位和频率 1.1.3 等效刚度系数等效刚度系数 1.1.4 扭转振动扭转振动 Mechanical and Structural Vibration1.1.1 自由振动方程自由振动方程当物块偏离平衡位置为当物块偏离平衡位置为x距离时,物块的距离时,物块的运动微分方程为运动微分方程为 其中取取物物块块的的静静平平衡衡位位置置为为坐坐标标原原点点O,x轴轴顺顺弹弹簧簧变变形形方方向向铅铅直直向向下下为为正正。当当物物块块在静平衡位置时,由平衡条件在静平衡位置时,由平衡条件,得到得到无阻尼自由振动微分方程无阻尼自由振动微分方程 弹簧的静变形弹簧的
14、静变形固有圆频率固有圆频率Mechanical and Structural Vibration1.1 1.1 1.1 1.1 无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动其通解其通解为:为:其中其中C1和和C2为积分常数,由物块运动的起始条件确定。设为积分常数,由物块运动的起始条件确定。设t=0时,时,可解可解1.1.1 自由振动方程自由振动方程Mechanical and Structural Vibration1.1 1.1 1.1 1.1 无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动两种形式描述的物两种形式描述的物
15、块振动,称为块振动,称为无阻无阻尼自由振动尼自由振动,简称,简称自由振动自由振动。另一种形式另一种形式另一种形式另一种形式无阻尼的自由振动是以其静平衡位置为振动中心的无阻尼的自由振动是以其静平衡位置为振动中心的简谐振动简谐振动 初相位角振 幅1.1.1 自由振动方程自由振动方程Mechanical and Structural Vibration1.1 1.1 1.1 1.1 无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动1.1.2 振幅、初相位和频率振幅、初相位和频率系统振动的周期系统振动的周期系统振动的频率系统振动的频率系统振动的圆频率为系统振动的圆频率为
16、圆频率圆频率pn 是物块在自由振动中每是物块在自由振动中每2 秒内振动的次数。秒内振动的次数。f、pn只与振动系统的弹簧常量只与振动系统的弹簧常量k和物块的质量和物块的质量 m 有关,有关,而与运动的初始条件无关。因此,通常将频率而与运动的初始条件无关。因此,通常将频率f 称为称为固有频率,圆频率固有频率,圆频率pn称为固有圆频率。称为固有圆频率。Mechanical and Structural Vibration1.1 1.1 1.1 1.1 无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动用弹簧静变形量用弹簧静变形量 st表示固有圆频率的计算公式表示固有圆
17、频率的计算公式 物块静平衡位置时物块静平衡位置时固有圆频率固有圆频率1.1.2 振幅、初相位和频率振幅、初相位和频率Mechanical and Structural Vibration1.1 1.1 1.1 1.1 无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动1.1.3 等效刚度系数等效刚度系数 单自由度线性系统无阻尼自由振动微分方程单自由度线性系统无阻尼自由振动微分方程单自由度线性系统无阻尼自由振动微分方程单自由度线性系统无阻尼自由振动微分方程等效的概念等效的概念等效的概念等效的概念这一方程,可以等效为广义坐标的形式这一方程,可以等效为广义坐标的形式这一
18、方程,可以等效为广义坐标的形式这一方程,可以等效为广义坐标的形式Mechanical and Structural Vibration1.1 1.1 1.1 1.1 无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动等效的概念等效的概念等效的概念等效的概念1.1.3 等效刚度系数等效刚度系数Mechanical and Structural Vibration1.1 1.1 1.1 1.1 无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动串联弹簧与并联弹簧的等效刚度串联弹簧与并联弹簧的等效刚度串联弹簧与并联弹簧的等效刚度串联弹簧与并
19、联弹簧的等效刚度例例 在图中,已知物块的质量为在图中,已知物块的质量为m,弹簧的弹簧刚度系数分别为弹簧的弹簧刚度系数分别为k1、k2,分别求并联弹簧与串联弹簧直线振动系统的固有频率。分别求并联弹簧与串联弹簧直线振动系统的固有频率。解:(解:(1)并联情况。弹簧并联的特征是:)并联情况。弹簧并联的特征是:二弹簧变形相等二弹簧变形相等。振动过程中,物块始终作平行移动。处振动过程中,物块始终作平行移动。处于平衡位置时,两根弹簧的静变形都是于平衡位置时,两根弹簧的静变形都是 st,而弹性力分别是而弹性力分别是 系统平衡方程是系统平衡方程是1.1.3 等效刚度系数等效刚度系数Mechanical and
20、 Structural Vibration1.1 1.1 1.1 1.1 无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动如如果果用用一一根根弹弹簧簧刚刚度度系系数数为为k的的弹弹簧簧来来代代替替原原来来的的两两根根弹弹簧簧,使该弹簧的静变形与原来两根弹簧所产生的静变形相等,则使该弹簧的静变形与原来两根弹簧所产生的静变形相等,则 k称为称为并联弹簧的等效并联弹簧的等效刚度系数。刚度系数。并联后的等效弹簧刚并联后的等效弹簧刚度系数是各并联弹簧度系数是各并联弹簧刚度系数的算术和。刚度系数的算术和。系统的固有频率系统的固有频率1.1.3 等效刚度系数等效刚度系数1.1
21、 1.1 1.1 1.1 无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动Mechanical and Structural Vibration(2)串联情况。串联弹簧的特征是:)串联情况。串联弹簧的特征是:二二弹簧受力相等弹簧受力相等。当物块在静平衡位置时,它的静位移dst等于每根弹簧的静变形之和,即 dst=d1st+d2st 由由于于每每根根弹弹簧簧所所受受的的拉拉力力都都等等于于重力重力mg,故它们的静变形分别为故它们的静变形分别为如果用一根弹簧刚度系数为如果用一根弹簧刚度系数为 k 的弹的弹簧来代替原来的两根弹簧,此弹簧簧来代替原来的两根弹簧,此弹簧的
22、静变形等于的静变形等于1.1.3 等效刚度系数等效刚度系数1.1 1.1 1.1 1.1 无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动Mechanical and Structural Vibration如果用一根弹簧刚度系数为如果用一根弹簧刚度系数为k 的弹簧来代替原来的的弹簧来代替原来的两根弹簧,此弹簧的静变形等于两根弹簧,此弹簧的静变形等于k称为串联弹簧的等效刚度系数称为串联弹簧的等效刚度系数串联后的弹簧刚度系数的倒数等于串联后的弹簧刚度系数的倒数等于各串联弹簧刚度系数倒数的算术和各串联弹簧刚度系数倒数的算术和1.1.3 等效刚度系数等效刚度系数1.1
23、 1.1 1.1 1.1 无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动Mechanical and Structural Vibration组合弹簧的等效刚度组合弹簧的等效刚度组合弹簧的等效刚度组合弹簧的等效刚度例例 质量为质量为m的物块悬挂如图所示。设杆的物块悬挂如图所示。设杆AB的质量不计,两弹簧的质量不计,两弹簧的弹簧刚度系数分别为的弹簧刚度系数分别为k1和和k2,又又AC=a,AB=b,求物块的自由求物块的自由振动频率。振动频率。解解:将各弹簧的刚度系数按:将各弹簧的刚度系数按静力等效的原则,折算到质静力等效的原则,折算到质量所在处。量所在处。先将刚
24、度系数先将刚度系数k2换算至质换算至质量量m所在处所在处C的等效刚度系的等效刚度系数数k。C1.1.3 等效刚度系数等效刚度系数1.1 1.1 1.1 1.1 无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动Mechanical and Structural Vibration先将刚度系数先将刚度系数k2换算至质量换算至质量m所在处所在处C的等效刚度系数的等效刚度系数k。C设在设在C处作用一力处作用一力F,按静力平衡的按静力平衡的关系,作用在关系,作用在B处的力为处的力为此力使此力使B B 弹簧弹簧 k2 产生产生 变形,变形,而此变形使而此变形使C点发生的变形
25、为点发生的变形为 得到作用在得到作用在C处而与处而与k2弹簧等效的刚度系数弹簧等效的刚度系数 1.1.3 等效刚度系数等效刚度系数1.1 1.1 1.1 1.1 无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动Mechanical and Structural VibrationC物块的自由振动频率为物块的自由振动频率为与弹簧k1串联得系统的等效刚度系数得系统的等效刚度系数1.1.3 等效刚度系数等效刚度系数1.1 1.1 1.1 1.1 无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动Mechanical and Structu
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