3.2.3直线与平面的夹角.ppt
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1、异面直线所成角的范围:异面直线所成角的范围:思考:思考:结论:结论:一、线线角:一、线线角:所以 与 所成角的余弦值为解:以点C为坐标原点建立空间直角坐标 系 ,如图所示,设 则:所以:例一:例一:练习:练习:在长方体 中,简解:简解:斜线与平面所成的角斜线与平面所成的角平面的一条斜线平面的一条斜线和它在这个平面内的射影和它在这个平面内的射影 所成的所成的锐角锐角AOB二、线面角二、线面角当直线与平面垂直时,直当直线与平面垂直时,直线与平面所成的角是线与平面所成的角是90当直线在平面内或当直线在平面内或与平面平行时,与平面平行时,直线与平面所成的角直线与平面所成的角是是0斜线与平面所成的角斜线
2、与平面所成的角(0,90)直线与平面所成的角直线与平面所成的角 0,90异面直线所成的角异面直线所成的角(0,90若若斜线段斜线段AB的长度是它在平面的长度是它在平面内的射影内的射影长的长的2倍,则倍,则AB与与所成的角为所成的角为 。60ABO最小角原理最小角原理AOBM斜线与平面所成的角,是这条斜线和这个平斜线与平面所成的角,是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中面内的直线所成的一切角中最小的角最小的角。AOBM如图如图,直线直线OA与平面与平面所成的角为所成的角为 1,平平面内一条直线面内一条直线OM与与OA的射影的射影OB所成所成的角为的角为 2,设设AOM为为 求证求证:cos=
3、cos 1 cos 2若若直线直线 l1与平面所成的角为与平面所成的角为60 ,则这条直线与,则这条直线与平面内的直线所成的一切角中最小的角为平面内的直线所成的一切角中最小的角为 ,最大的角为,最大的角为 。9060Ol1例题、如图,在正方体例题、如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1 中,中,求求A1B与平面与平面A1B1CD所成的角所成的角ABCDA1B1C1D1OSACBOFE如图,如图,ACB=90,S为平面为平面ABC外一点,外一点,SCA=SCB=60,求,求SC与平面与平面ACB所成的角所成的角例:的棱长为1.正方体xyz直线与平面所成角的范围:思考:思考:结论:结论:二、线面
4、角:二、线面角:例1:的棱长为1.正方体xyz设正方体棱长为设正方体棱长为1,例例 2 如图,在四棱锥如图,在四棱锥S-ABCD中,底面中,底面ABCD为平为平行四边形,侧面行四边形,侧面SBC 底面底面ABCD。已知已知 AB=2,BC=2 ,SA=SB=.(1)求证求证 (2)求直线求直线SD与平面与平面SAB所成角的正弦值。所成角的正弦值。SABCDOxyzSABDOC证明:证明:(1)取取BC中点中点O,连接,连接OA、OS。(2)求直线求直线SD与平面与平面SAB所成角的正弦值。所成角的正弦值。SABCOxyzD所以直线所以直线SD与平面与平面SAB所成角的正弦值为所成角的正弦值为例
5、例3、如图所示,在四棱锥、如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面中,底面ABCD是是正方形,侧棱正方形,侧棱PD 底面底面ABCD,PD=DC,E是是PC的中的中点。点。(1)证明:证明:PA/平面平面EDB;(2)求求EB与底面与底面ABCD所成的角的正切值。所成的角的正切值。ABCDPEGxyzABCDPEGxyz(1)证明:设正方形边长为证明:设正方形边长为1,则,则PD=DC=DA=1.连连AC、BD交于交于G点点(2)求求EB与底面与底面ABCD所成的角的正切值。所成的角的正切值。ABCDPEGxyz所以所以EB与底面与底面ABCD所成的角的正弦值为所成的角的正弦值为所以所以EB与底
6、面与底面ABCD所成的角的正切值为所成的角的正切值为 一个一个平面平面内的一条内的一条直线直线把这个把这个平面平面分成分成两个部分两个部分,其中的每一部分都叫做其中的每一部分都叫做半平面半平面。一条一条直线直线上的一个上的一个点点把这条把这条直线直线分成两分成两个部分个部分,其中的每一部分都叫做其中的每一部分都叫做射线射线。2OBAAB 从一条直线出发的两个半平面所组成的从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做图形叫做二面角二面角。这条直线叫做这条直线叫做二面角的棱二面角的棱。这两个半平面叫做这两个半平面叫做二面角的面二面角的面。3定义:AB 二面角二面角 AB l二面角二面角 l 二面角二
7、面角CAB DABCD5OBAAOB表示方法:lOO1ABA1B1A O BA1O1B1?以二面角的以二面角的棱棱上任意一点为端点,在上任意一点为端点,在两个面内两个面内分别作分别作垂直垂直于棱的两条射线,这于棱的两条射线,这两条射线所成的两条射线所成的角角叫做叫做二面角的平面角。二面角的平面角。平面角是平面角是直角直角的二的二面角叫做面角叫做直二面角直二面角9二面角的大小用它的平面角来度量二面角的大小用它的平面角来度量度量:二面角的平面角必须满足二面角的平面角必须满足:3)角的边都要垂直于二面角的棱角的边都要垂直于二面角的棱1)角的顶点在棱上角的顶点在棱上2)角的两边分别在两个面内角的两边分
8、别在两个面内 以二面角的以二面角的棱上任意一点棱上任意一点为端点,为端点,在在两个面内两个面内分别作分别作垂直于棱垂直于棱的两条射线,这的两条射线,这两条射线所成的两条射线所成的角角叫做叫做二面角的平面角。二面角的平面角。10 lOAB二面角的计算:二面角的计算:1、找到或作出二面角的平面角找到或作出二面角的平面角2、证明证明 1中的角就是所求的角中的角就是所求的角3、计算出此角的大小计算出此角的大小一一“作作”二二“证证”三三“计算计算”16.如如图图,正正方方体体ABCDA1B1C1D1中中,二二面面角角C1-BD-C的正切值是的正切值是_.练习.在在二二面面角角-l-的的一一个个平平面面
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- 3.2 直线 平面 夹角
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