2019版高中数学 第一章1.3 二项式定理 1.3.1 二项式定理学案 新人教A版选修2-3.doc
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1、11.3.11.3.1 二项式定理二项式定理学习目标 1.能用计数原理证明二项式定理.2.掌握二项式定理及其展开式的通项公式.3.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题知识点 二项式定理及其相关概念思考 1 我们在初中学习了(ab)2a22abb2,试用多项式的乘法推导(ab)3,(ab)4的展开式答案 (ab)3a33a2b3ab2b3,(ab)4a44a3b6a2b24ab3b4.思考 2 能用类比方法写出(ab)n(nN N*)的展开式吗?答案 能,(ab)nCanCan1bCankbkCbn (nN N* *)0n1nk nn n梳理二项式定理公式(ab)nCanCan1bCan
2、kbkCbn,称为二项式定理0n1nk nn n二项式系数C (k0,1,n)k n通项Tk1Cankbkk n二项式定理的特例(1x)nC CxCx2CxkCxn0n1n2nk nn n1(ab)n展开式中共有n项( )2在公式中,交换a,b的顺序对各项没有影响( )3Cankbk是(ab)n展开式中的第k项( )k n4(ab)n与(ab)n的二项式展开式的二项式系数相同( )类型一 二项式定理的正用、逆用例 1 (1)求4的展开式(3x1x)考点 二项式定理题点 运用二项式定理求展开式2解 方法一 4(3)4C (3)3C (3)22C (3)(3x1x)x1 4x(1x)2 4x(1x
3、)3 4x3C481x2108x54.(1x)4 4(1x)12 x1 x2方法二 44(13x)41C 3xC (3x)2C (3x)3C (3x)4(3x1x)(3x1x)1 x21 x21 42 43 44 4(112x54x2108x381x4)54108x81x2.1 x21 x212 x(2)化简:C (x1)nC (x1)n1C (x1)n2(1)kC (x1)nk(1)nC .0n1n2nk nn n考点 二项式定理题点 逆用二项式定理求和、化简解 原式C (x1)nC (x1)n1(1)C (x1)n2(1)2C (x1)nk(1)0n1n2nk nkC (1)n(x1)(1
4、)nxn.n n引申探究若(1)4ab(a,b为有理数),则ab_.33答案 44解析 (1)41C ()1C ()2C ()3C ()31 432 433 434 43414181292816,a28,b16,ab281644.333反思与感悟 (1)(ab)n的二项展开式有n1 项,是和的形式,各项的幂指数规律是:各项的次数和等于n;字母a按降幂排列,从第一项起,次数由n逐项减 1 直到 0;字母b按升幂排列,从第一项起,次数由 0 逐项加 1 直到n.(2)逆用二项式定理可以化简多项式,体现的是整体思想注意分析已知多项式的特点,向二项展开式的形式靠拢跟踪训练 1 化简:(2x1)55(2
5、x1)410(2x1)310(2x1)25(2x1)1.考点 二项式定理题点 逆用二项式定理求和、化简解 原式C (2x1)5C (2x1)4C (2x1)3C (2x1)2C (2x1)C (2x1)0 51 52 53 54 55 50(2x1)15(2x)532x5.类型二 二项展开式通项的应用命题角度1 二项式系数与项的系数例 2 已知二项式10.(3x2 3x)(1)求展开式第 4 项的二项式系数;(2)求展开式第 4 项的系数;(3)求第 4 项3考点 二项展开式中的特定项问题题点 求二项展开式特定项的系数解 10的展开式的通项是(3x2 3x)Tk1C(3)10kkC310kk1
6、0 3 2k x(k0,1,2,10)k10x(2 3x)k10(2 3)(1)展开式的第 4 项(k3)的二项式系数为 C120.3 10(2)展开式的第 4 项的系数为 C37377 760.3 10(2 3)(3)展开式的第 4 项为T4T3177 760.x反思与感悟 (1)二项式系数都是组合数 C (k0,1,2,n),它与二项展开式中某一k n项的系数不一定相等,要注意区分“二项式系数”与二项式展开式中“项的系数”这两个概念(2)第k1 项的系数是此项字母前的数连同符号,而此项的二项式系数为 C .例如,在k n(12x)7的展开式中,第四项是T4C 173(2x)3,其二项式系数
7、是 C 35,而第四项的系3 73 7数是 C 23280.3 7跟踪训练 2 已知n展开式中第三项的系数比第二项的系数大 162.(x2x)(1)求n的值;(2)求展开式中含x3的项,并指出该项的二项式系数考点 二项展开式中的特定项问题题点 求二项展开式特定项的系数解 (1)因为T3C ()n224C6 2n x ,2nx(2 x)2nT2C ()n12C3 2n x ,1nx(2 x)1n依题意得 4C 2C 162,所以 2C C 81,2n1n2n1n所以n281,nN N*,故n9.(2)设第k1 项含x3项,则Tk1C ()9kk(2)kC9 3 2k x ,所以k9x(2 x)k
8、93,k1,93k 2所以第二项为含x3的项为T22Cx318x3.1 9二项式系数为 C 9.1 9命题角度2 展开式中的特定项例 3 已知在n的展开式中,第 6 项为常数项(3x33x)4(1)求n;(2)求含x2的项的系数;(3)求展开式中所有的有理项考点 二项展开式中的特定项问题题点 求二项展开式的特定项解 通项公式为Tk1C3n k x (3)k3k xC (3)k2 3nk x .k nk n(1)第 6 项为常数项,当k5 时,有0,即n10.n2k 3(2)令2,得k (106)2,102k 31 2所求的系数为 C(3)2405.2 10(3)由题意得,Error!令t(tZ
9、 Z),102k 3则 102k3t,即k5t.kN N,3 2t应为偶数令t2,0,2,即k2,5,8.第 3 项,第 6 项与第 9 项为有理项,它们分别为 405x2,61 236,295 245x2.反思与感悟 (1)求二项展开式的特定项的常见题型求第k项,TkCank1bk1;求含xk的项(或xpyq的项);求常数项;求有理k1n项(2)求二项展开式的特定项的常用方法对于常数项,隐含条件是字母的指数为 0(即 0 次项);对于有理项,一般是先写出通项公式,其所有的字母的指数恰好都是整数的项解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数,根据具体要求,令其属于整数,再根据数的整除性来求解;
10、对于二项展开式中的整式项,其通项公式中同一字母的指数应是非负整数,求解方式与求有理项一致跟踪训练 3 (1)若9的展开式中x3的系数是84,则a_.(xa x)考点 二项展开式中的特定项问题题点 由特定项或特定项的系数求参数答案 15解析 展开式的通项为Tk1Cx9k(a)kkk9(1 x)C (a)kx92k(0k9,kN N)k9当 92k3 时,解得k3,代入得x3的系数,根据题意得 C (a)384,解得a1.3 9(2)已知n为等差数列4,2,0,的第六项,则n的二项展开式的常数项是(x2 x)_考点 二项展开式中的特定项问题题点 求二项展开式的特定项答案 160解析 由题意得n6,
11、Tk12kCx62k,k6令 62k0 得k3,常数项为 C 23160.3 61(x2)n的展开式共有 11 项,则n等于( )A9 B10 C11 D8考点 二项展开式中的特定项问题题点 由特定项或特定项的系数求参数答案 B解析 因为(ab)n的展开式共有n1 项,而(x2)n的展开式共有 11 项,所以n10,故选 B.212C 4C 8C (2)nC 等于( )1n2n3nn nA1 B1 C(1)n D3n考点 二项式定理题点 逆用二项式定理求和、化简答案 C解析 逆用二项式定理,将 1 看成公式中的a,2 看成公式中的b,可得原式(12)n(1)n.3.n的展开式中,常数项为 15
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