2019高中数学 第一章1.4 生活中的优化问题举例学案 新人教A版选修2-2.doc
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1、11.41.4 生活中的优化问题举例生活中的优化问题举例学习目标:1.体会导数在解决实际问题中的作用.2.能利用导数解决简单的实际问题(重点、难点)自 主 预 习探 新 知1优化问题生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题,这些问题通常称为优化问题2用导数解决优化问题的基本思路思考:解决生活中优化问题应注意什么?提示(1)在建立函数模型时,应根据实际问题确定出函数的定义域(2)求实际问题的最大(小)值时,一定要从问题的实际意义去考查,不符合实际意义的应舍去,如:大度、宽度应大于 0,销售价为正数等基础自测1已知某生产厂家的年利润y(单位: 万元)与年产量x(单位:万件)的函数关系式为
2、yx381x234,则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为1 3( )A7 万件 B9 万件C11 万件D13 万件B B 设yf(x),即f(x)x381x234.1 3故f(x)x281.令f(x)0,即x2810,解得x9 或x9(舍去)当 0x9 时,f(x)0,函数yf(x)单调递增;当x9 时,f(x)0,函数yf(x)单调递减因此,当x9 时,yf(x)取最大值故使该生产厂家获取最大年利润的年产量为 9 万件2炼油厂某分厂将原油精炼为汽油,需对原油进行冷却和加热,如果第x小时,原油2温度(单位:)为f(x)x3x28(0x5),那么原油温度的瞬时变化率的最小值是( )1 3【导学
3、号:31062069】A8 B20 3C1D8C C 由题意,f(x)x22x(x1)21,0x5,x1 时,f(x)的最小值为1,即原油温度的瞬时变化率的最小值是1.3做一个容积为 256 m3的方底无盖水箱,所用材料最省时,它的高为( )A6 mB8 mC4 mD2 mC C 设底面边长为x m,高为h m,则有x2h256,所以h.所用材料的面积设为256 x2S m2,则有S4xhx24xx2x2.S2x,令S0,256 x2256 4 x256 4 x2得x8,因此h4(m)256 644某一件商品的成本为 30 元,在某段时间内,若以每件x元出售,可卖出(200x)件,当每件商品的
4、定价为_元时,利润最大. 【导学号:31062070】解析 利润为S(x)(x30)(200x)x2230x6 000,S(x)2x230,由S(x)0,得x115,这时利润达到最大答案 115合 作 探 究攻 重 难面积、体积的最值问题请你设计一个包装盒,如图 141,ABCD是边长为 60 cm 的正方形硬纸片,切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形,再沿虚线折起,使得A,B,C,D四个点重合于图中的点P,正好形成一个正四棱柱形状的包装盒,E,F在AB上,是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点,设AEFBx(cm)3图 141(1)某广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大,试问x
5、应取何值?(2)某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大,试问x应取何值?并求出此时包装盒的高与底面边长的比值解 设包装盒的高为h cm,底面边长为a cm.由已知得ax,h(30x),0x30.2602x22(1)S4ah8x(30x)8(x15)21 800,所以当x15 时,S取得最大值(2)Va2h2(x330x2),V6x(20x)22由V0,得x0(舍去)或x20.当x(0,20)时,V0;当x(20,30)时,V0.所以当x20 时,V取得极大值,也是最大值此时 ,即包装盒的高与底面边长的比值为 .h a1 21 2规律方法 1立体几何中的最值问题往往涉及空间图形的表面积、体积,在
6、此基础上解决与实际相关的问题.2解决此类问题必须熟悉简单几何体的表面积与体积公式,如果已知图形是由简单几何体组合而成,则要分析其组合关系,将图形进行拆分或组合,以便简化求值过程.跟踪训练1周长为 20 cm 的矩形,绕一条边旋转成一个圆柱,则圆柱体积的最大值为_cm3. 【导学号:31062071】解析 设矩形的长为x cm,则宽为(10x)cm(0x10)由题意可知圆柱体积为Vx2(10x)10x2x3.V20x3x2,令V(x)0,得x0(舍去)或x,20 34且当x时,V(x)0,(0,20 3)当x时,V(x)0,(20 3,10)当x时,V(x)max cm3.20 34 000 2
7、7答案 4 000 27用料最省、成本(费用)最低问题为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗,房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层某幢建筑物要建造可使用 20 年的隔热层,每厘米厚的隔热层建造成本为 6 万元该建筑物每年的能源消耗费用C(单位:万元)与隔热层厚度x(单位:cm)满足关系:C(x)(0x10),若不建隔热层,每年能源消耗费用为 8 万元设f(x)为隔热层建造费k 3x5用与 20 年的能源消耗费用之和(1)求k的值及f(x)的表达式;(2)隔热层修建多厚时,总费用f(x)达到最小?并求最小值思路探究 (1)由C(0)8 可求k的值从而求出f(x)的表达式(2)求导数式f(x)的最小值解
8、 (1)由题设,每年能源消耗费用为C(x)(0x10),再由C(0)8,得k 3x5k40,因此C(x).40 3x5而建造费用为C1(x)6x.最后得隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和为f(x)20C(x)C1(x)206x6x(0x10)40 3x5800 3x5(2)f(x)6,2 400 3x52令f(x)0,即6,2 400 3x52解得x5 或x(舍去)25 3当 00,故x5 是f(x)的最小值点,对应的最小值为f(5)6570.800 155当隔热层修建 5 cm 厚时,总费用达到最小值 70 万元5规律方法 1.用料最省、成本费用最低问题是日常生活中常见的问题之一,
9、解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象.正确书写函数表达式,准确求导,结合实际作答.2.利用导数的方法解决实际问题,当在定义区间内只有一个点使fx0 时,如果函数在这点有极大小值,那么不与端点值比较,也可以知道在这个点取得最大小值.跟踪训练2甲、乙两地相距 400 千米,汽车从甲地匀速行驶到乙地,速度不得超过 100 千米/时,已知该汽车每小时的运输成本P(元)关于速度v(千米/时)的函数关系是Pv4v315v,1 19 2001 160(1)求全程运输成本Q(元)关于速度v的函数关系式;(2)为使全程运输成本最少,汽车应以多大速度行驶?并求此时运输成本的最小值. 【导学号:3
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