极化恒等式(教师).pdf
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1、极化恒等式(教师版)极化恒等式(教师版)引例:平行四边形是表示向量加法和减法的几何模型。你能用向量方法证明:平行四边形的对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍.证明:不妨设AB a,AD b,则AC a b,DB a b,MAC AC a b a 2ab b(1)DB DB22222 a b222图 1 a2ab b(2)22222222(1)(2)两式相加得:AC DB 2a b 2AB AD结论:平行四边形对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍.思考思考 1 1:如果将上面(:如果将上面(1 1)(2 2)两式相减,能得到什么结论呢)两式相减,能得到什么结论呢221aba b a b极化恒
2、等式极化恒等式4 对于上述恒等式,用向量运算显然容易证明。那么基于上面的引例,你觉得极化恒等式的几何意义是什么几何意义:向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角几何意义:向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的线”平方差的即:即:ab 思考:在图思考:在图 1 1 的三角形的三角形ABDABD中(中(M M为为BDBD的中点)的中点),此恒等式如何表示呢,此恒等式如何表示呢因为AC 2AM,所以ab AM21.4122AC DB(平行四边形模式)412DB(三角形模式)411.1.掌握用极化恒等式求数量积的值掌握用
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