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1、2015 年高考理科数学试卷全国1z1 卷1设复数 z 满足=i,则|z|=()1z(B)(A)12(C)3)(D)22sin 20ocos10ocos160o sin10o=(B)(A)323(C)12)(D)1223设命题p:n(A)n N,n2(C)n N,n2N,n22n2n2n,则p为(B)n N,n2(D)n N,n2=2n2n4投篮测试中,每人投(A)0.6483 次,至少投中2 次才能通过测试。已知某同学每次投篮投中)(D)0.312的概率为 0.6,且各次投篮是否投中相互独立,则该同学通过测试的概率为(B)0.432(C)0.365已知 M(x0,y0)是双曲线 C:x2y2
2、1上的一点,F1,F2是 C 上的两个焦点,若2MF1 MF20,则 y0的取值范围是(A)(-3,)3)3(B)(-3,63)63(C)(2 2,2 2)(D)(2 3,2 3)33336九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题图,米堆为一个圆锥的四分之一)的弧长为8 尺,米堆的高为知 1 斛米的体积约为(A)14 斛7设D为(A)AD:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺。问 :积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部5 尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已(C)36 斛(D)66 斛)(如1.62 立方尺,圆周率约为3,估算
3、出堆放斛的米约有()(B)22 斛ABC所在平面内一点BC3CD,则(1343 AB4313 AC(B)AD143 AB41 AC3 AB3 AC(C)ADABAC(D)AD3试卷第 1 页,总 15 页8函数f(x)=cos(x(A)(k)的部分图像如图所示,则),kZ(B)(2 kf(x)的单调递减区间为()11,k3344114,2 k3344),k Z4,k4,2 k(C)(k),k Z(D)(2 k),k Z49执行右面的程序框图,如果输入的 t=0.01,则输出的n=()(A)5(B)6(C)7(D)8)(D)602(xx10y)5的展开式中,x5 y2的系数为(B)20(C)30
4、(A)1011 圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为图中的正视图和俯视图如图所示r)组成一个几何体,该几何体三视,则 r=().若该几何体的表面积为 16+20(A)1(B)2(C)4(D)8x12 设函数 f(x)=e (2 x 1)axa,其中 a 1,若存在唯一的整数 x0,使得 f(x0)0,则a的取值范围是(A)-3),1)(B)-3,3)2e4(C),)3 3(D)3,1)2e2e42e13若函数 f(x)=xln(xax2)为偶函数,则a=1的三个顶点,且圆心在14 一个圆经过椭圆x216y24x 轴的正半轴上,则该圆的标准方程为.15 若 x,y满足约束条件x10 xy0
5、xy4 0,则y的最大值为 .x试卷第 2 页,总 15 页16 在平面四边形ABCD 中,A=B=C=75,BC=2,则 AB的取值范围是 .217(本小题满分 12 分)Sn为数列 an 的前n项和.已知an 0,an()求 an 的通项公式;()设bnan=4Sn 3.1an an 1,求数列 bn 的前n项和.18 如图,四边形ABCD为菱形,ABC=120,E,F 是平面 ABCD同一侧的两点,BE平面 ABCD,DF平面 ABCD,BE=2DF,AE EC.()证明:平面 AEC平面 AFC;()求直线 AE 与直线 CF 所成角的余弦值 .19某公司为确定下一年度投入某种产品的宣
6、传费,需了解年宣传费对年销售量 y(单位:t)和年利润 z(单位:千元)的影响,对近x(单位:千元)8 年的年宣传费xi和年销售量 yi(i=1,2,8)数据作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值.8888xyw(xix)2i 1i 1(wi w)2i 1(xi x)(yi y)i(wi w)(yi y)146.656.36.8289.81.61469108.8表中 wixi,w=18wi8i 1试卷第 3 页,总 15 页()根据散点图判断,y=a+bx 与 y=c+dx哪一个适宜作为年销售量 y 关于年宣传费x 的回归方程类型?(给出判断即可,不必说明理由)()根据()的判断结果及
7、表中数据,建立 y 关于 x 的回归方程;()已知这种产品的年利率 z 与 x、y 的关系为列问题:()年宣传费 x=49 时,年销售量及年利润的预报值是多少?()年宣传费 x 为何值时,年利率的预报值最大?附:对于一组数据(u1,v1),(u2,v2),(un,vn),其回归线 vu的斜率和截z=0.2y-x.根据()的结果回答下距的最小二乘估计分别为:20(本小题满分 12 分)在直角坐标系xoy中,曲线 C:y=x2与直线 y kxa(a40)交与 M,N 两点,()当 k=0 时,分别求 C 在点 M和 N 处的切线方程;()y 轴上是否存在点 P,使得当 k 变动时,总有 OPM=O
8、PN?说明理由.321(本小题满分 12 分)已知函数f(x)=xax1,g(x)ln x.4()当 a 为何值时,x 轴为曲线y()用 minf(x)的切线;m,n表示 m,n 中的最小值,设函数 h(x)minf(x),g(x)(x 0),讨论 h(x)零点的个数 .22(本题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲如图,AB是的直径,AC 是的切线,BC 交于 E.()若D 为 AC 的中点,证明:DE 是的切线;()若 OA3CE,求ACB 的大小.23(本小题满分10 分)选修4-4:坐标系与参数方程试卷第 4 页,总 15 页22在直角坐标系 xOy中,直线 C1:x=2,圆C2
9、:x 1y 21,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.()求 C1,C2的极坐标方程;()若直线 C3的极坐标方程为R,设C2与C3的交点为 M,N,求4C2MN的面积.24(本小题满分 10 分)选修4 5:不等式选讲已知函数=|x+1|-2|x-a|,a0.()当 a=1 时,求不等式f(x)1 的解集;()若 f(x)的图像与x 轴围成的三角形面积大于 6,求 a 的取值范围 .【答案解析】1.【答案】A【解析】由1z1 zi得,z=i,故|z|=1,故选 A.1i=(1 i)(11 i(1 i)(1i)i)考点:本题主要考查复数的运算和复数的模等.2.【答案】D【解析】原
10、式 =sin 20ocos10ocos20o sin10o=sin30o=1,故选 D.2考点:本题主要考查诱导公式与两角和与差的正余弦公式.3.【答案】C【解析】p:n N,n22n,故选 C.考点:本题主要考查特称命题的否定4.【答案】A【解析】根据独立重复试验公式得,该同学通过测试的概率为故选 A.C32 0.620.4 0.63=0.648,考点:本题主要考查独立重复试验的概率公式与互斥事件和概率公式5.【答案】A【解析】由题知F1(3,0),F2(3,0),x02y021,所以MF1MF2=2y02(3x0,y0)(3 x0,y0)=x023 3 y0210,解得3y033,3故选
11、A.考点:双曲线的标准方程;向量数量积坐标表示;一元二次不等式解法.6.【答案】B【解析】设圆锥底面半径为 r,则1r1634试卷第 5 页,总 15 页,故堆放的米约为113(16)25=4339考点:圆锥的性质与圆锥的体积公式7.【答案】A【解32032091.62 22,故选 B.知析】由题 ADACCDAC13 BCAC11 AB AC,故选 A.334(AC3AB)=考点:平面向量的线性运算8.【答案】D1454+【解析】由五点作图知,232,解得+=,=,所以 f(x)4cos(x),4令 2kx144,2k2k,k Z,解得 2k34),k14 x 2k34,kZ,故单调减区间为
12、(2kZ,故选 D.考点:三角函数图像与性质9.【答案】C【解析】执行第1 次,t=0.01,S=1,n=0,m=12=0.5,S=S-m=0.5,mm=0.25,n=1,S=0.52 t=0.01,是,循环,执行第2 次,S=S-m=0.25,mm=0.125,n=2,S=0.25 t=0.01,是,循环,执行第3 次,S=S-m=0.125,m2m=0.0625,n=3,S=0.125 t=0.01,是,循环,执行第4 次,S=S-m=0.0625,m2m=0.03125,n=4,S=0.0625 t=0.01,是,循环,执行第 5 次,S=S-m=0.03125,m2m2m2=0.015
13、625,n=5,S=0.03125 t=0.01,是,循环,执行第 6 次,S=S-m=0.015625,m=0.0078125,n=6,S=0.015625 t=0.01,是,循环,执行第7 次,S=S-m=0.0078125,mm=0.00390625,n=7,S=0.0078125t=0.01,否,2输出 n=7,故选 C.考点:本题注意考查程序框图10.【答案】C【解析】在(x2x y)5的 5 个因式中,2 个取因式中 x2剩余的 3=30,故选 C.个因式中 1 个取x,其余因式取 y,故x5y2的系数为C52C31C22考点:本题主要考查利用排列组合知识计算二项式展开式某一项的系
14、数.【名师点睛】本题利用排列组合求多项展开式式某一项的系数,试题形式新颖,是中档题,求多项展开式式某一项的系数问题,先分析该项的构成,结合所给多项式,分析如何得到该项,再利用排列组知识求解.11.【答案】B试卷第 6 页,总 15 页【解析】由正视图和俯视图知,该几何体是半球与半个圆柱的组合体,圆柱的半径与球的半径都为r,圆柱的高为2r,其表面积为1 4 r22r 2rr22r 2r=5 r24r2=16+20,解得r=2,故选B.考点:简单几何体的三视图;球的表面积公式、圆柱的测面积公式12.【答案】D【解析】设 g(x)=ex(2 x 1),yaxa,由题知存在唯一的整数x,使得 g(x)
15、在00直线 y因为ax a的下方.()x(21)112g(x)012g(x)0以当 x12时,g(x)max=-2e2,当 x0时,g(0)=-1,g(1)3e1,且 g(1)0,直线 y axa恒过(1,0)斜率且a,故a g(0)3e1a a,解得3 a1,故选 D.2e考点:本题主要通过利用导数研究函数的图像与性质解决不等式成立问题13.【答案】1【解析】由题知y=ln(a x2ln(xax2)是奇函数,所以 ln(x0,解得 a=1.a x2)ln(xa x2)x2)ln a考点:函数的奇偶性14.【答案】(x3)22y2254【解析】设圆心为(a,0),则半径为4a,则(4 a)2a
16、222,解得 a3,故2圆的方程为 (x3)22y225.4考点:椭圆的几何性质;圆的标准方程15.【答案】3【解析】作出可行域如图中阴影部分所示,由斜率的意义知,yx是可行域内一点与原试卷第 7 页,总 15 页点连线的斜率,由图可知,点 A(1,3)与原点连线的斜率最大,故y的最大值为 3.x考点:线性规划解法16.【答案】(62,6+2)【解析】如图所示,延长BA,CD 交于 E,平移 AD,当 A 与 D 重合与 E 点时,AB 最长,在 BCE 中,B=C=75,E=30,BC=2,由正弦定理可得BCsinEBEsin C,即2sin 30oBEsin 75o,解得 BE=6+2,平
17、移 AD,当 D 与 C 重合时,AB最短,此时与 AB 交于 F,在BCF 中,B=BFC=75,FCB=30,由正弦定理知,BFsin FCB范围为(BCsinBFC6,即BFosin 302,解得 BF=osin 7562,所以 AB的取值2,6+2).考点:正余弦定理;数形结合思想17.【答案】()2n1()1164n6n项与前 n项和的关系求出数列an 的递推公式,可以判【解析】试题分析:()先用数列第断数列 an 是等差数列,利用等差数列的通项公式即可写出数列根据()数列 bn 的通项公式,再用拆项消去法求其前试题解析:()当 nan 的通项公式;()n项和.1时,a122a1 4
18、S13 4a1+3,因为 an0,所以 a1=3,当 n2时,a )(a1nn2anan an21)an 1=4Sn3 4Sn 13=4an,即n 1=2,(aa1n2 a(aa0)anan,n因为n n,所以试卷第 8 页,总 15 页所以数列 an 是首项为3,公差为 2 的等差数列,所以 an=2n1;()由()知,bn=(2 n列 11)(2n前1(11),3)2 2n12n3n所以数bn项和为 b1 b2.bn=1(11)(11)2 3557考点:数列前(112n 1 2n 333)=1614n 6n 项和与第 n 项的关系;等差数列定义与通项公式;拆项消去法18.【答案】()见解析
19、()【解析】试题分析:()连接 BD,设 BDAC=G,连接 EG,FG,EF,在菱形 ABCD 中,不妨设 GB=1易证 EG AC,通过计算可证 EG FG,根据线面垂直判定定理可知 EG平面 AFC,由面面垂直判定定理知平面 AFC平面 AEC;()以 G 为坐标原点,分别以GB,GC的方向为 x轴,y 轴正方向,|GB|为单位长度,建立空间直角坐标系G-xyz,利用向量法可求出异面直线AE 与 CF 所成角的余弦值.试题解析:()连接 BD,设 BD AC=G,连接 EG,FG,EF,在菱形 ABCD 中,不妨设 GB=1,由 ABC=120,可得AG=GC=3.由 BE平面 ABCD
20、,AB=BC 可知,AE=EC,又 AEEC,EG=3,EGAC,在 Rt EBG 中,可得 BE=2,故 DF=2.2在 Rt FDG 中,可得 FG=.62在直角梯形 BDFE 中,由 BD=2,BE=2,DF=可得 EF=2232,2 EG2FG2EF2,EGFG,ACFG=G,EG平面 AFC,EG 面 AEC,平面 AFC平面 AEC.试卷第 9 页,总 15 页()如图,以G 为坐标原点,分别以GB,GC的方向为 x轴,y 轴正方向,3,0),E(1,0,3,|GB|为单位长度,建立空间直角坐标系 G-xyz,由()可得 A(0,F(1,0,2),2),C(0,3,0),AE=(1
21、,3,2),CF=(-1,-22).102分故 cosAE,CFAE CF|AE|CF|33.所以直线 AE 与 CF 所成的角的余弦值为3.3考点:空间垂直判定与性质;异面直线所成角的计算;空间想象能力,推理论证能力19.【答案】()yc d()y【解析】x适合作为年销售y关于年宣传费用x的回归方程类型;100.6 68 x()46.24试题分析:()由散点图及所给函数图像即可选出适合作为拟合的函数;()令wx,先求出建立y关于 w的线性回归方程,即可y关于 x的回归方程;()()利用 y关于 x的回归方程先求出年销售量y的预报值,再根据年利率 z 与 x、y 的关系为 z=0.2y-x 即
22、可年利润 z 的预报值;()根据()的结果知,年利润 z 的预报值,列出关于 x的方程,利用二次函数求最值的方法即可求出年利润取最大值时的年宣传费用.试题解析:()由散点图可以判断,y c d x适合作为年销售 y关于年宣传费用程类型.8x的回归方(wi w)(yi y)()令 wx,先建立y关于 w的线性回归方程,由于 di 18=(wii 1w)2试卷第 10 页,总 15 页108.816=68,cydw=563-68 6.8=100.6.y100.668w,y关于w的线性回归方程为 y关于x的回归方程为y100.668 x.y的预报值()()由()知,当x=49 时,年销售量y100.
23、6 68 49=576.6,z576.60.24966.32.()根据()的结果知,年利润 z 的预报值z0.2(100.6 68 x)当x=xx13.6 x20.12,13.6=6.8,即x46.24时,z取得最大值.12 分2故宣传费用为 46.24 千元时,年利润的预报值最大考点:非线性拟合;线性回归方程求法;利用回归方程进行预报预测;应用意识20.【答案】()axya0或axya0()存在【解析】试题分析:()先求出M,N 的坐标,再利用导数求出 M,N.()先作出判定,再利用设而不求思想即将y kxa代入曲线 C 的方程整理成关于 x的一元二次方程,设出 M,N的坐标和P 点坐标,利
24、用设而不求思想,将直线 PM,PN 的斜率之和用a表示出来,利用直线 PM,PN 的斜率为 0,即可求出a,b关系,从而找出适合条件的P 点坐标.试题解析:()由题设可得 M(2a,a),N(22,a),或 M(2 2,)a,N(2 a,a).y1 x,故 yx24在 x=22a处的到数值为a,C 在(2 2a,a)处的切线方程为2y aa(x 2 a),即x24ax y a 0.故 y在 x=-22a处的到数值为-a,C 在(2 2a,a)处的切线方程为y aa(x 2 a),即ax yaax y a 0.0或故所求切线方程为ax ya0.()存在符合题意的点,证明如下:设 P(0,b)为复
25、合题意得点,M(x1,y1),N(x2,y2),直线PM,PN 的斜率分别为 k1,k2.将 ykx a代入 C 得方程整理得 x24kx 4a0.试卷第 11 页,总 15 页 x1x24k,x1x2k24a.y2 b=2kx1x2x2 k1y1 bx1(a b)(x1x1 x2x2)=k(a b).a当 ba时,有k1PN 的倾斜角互k2=0,则直线PM 的倾斜角与直线补,故 OPM=OPN,所以P(0,a)符合题意.考点:抛物线的切线;直线与抛物线位置关系;探索新问题;运算求解能力21.【答案】()a34;()当 a3454或 a5434时,h(x)由一个零点;当 a或a5434时,h(
26、x)有两个零点;当a时,h(x)有三个零点.【解析】试题分析:()先利用导数的几何意义列出关于切点的方程组,解出切点坐标与对应的 a值;()根据对数函数的图像与性质将点个数,若零点不容易求解,则对试题解析:()设曲线 yx分为 x1,x 1,0 x 1研究 h(x)的零a再分类讨论.f(x)与 x轴相切于点 (x0,0),则 f(x0)1234f(x)的切线.0,f(x0)0,即x03ax0140,解得 x0,a.3x02因此,当aa 03时,x轴是曲线 y4(1,()当 x)时,g(x)ln x 0,从而 h(x)min f(x),g(x)g(x)0,h(x)在(1,+)无零点.当 x=1
27、时,若 a5,则 f 1)(4是 h(x)的零点;若 aa50,h(1)minf(1),g(1)g(1)0,故 x=145 0,h(1)min f(1),g(1)f(1)0,5,则 f(1)a44故x=1 不是 h(x)的零点.当 x (0,1)()若 a调,而时,g(x)ln x0,所以只需考虑f(x)在(0,1)的零点个数.3或 a10,则 f(x)3x2aa在(0,1)无零点,故f(x)在(0,1)单44,所以当时,f(x)在(,)无零点f(0)f(1),5a301时,f(x)在(,)有一个零点;当a001.试卷第 12 页,总 15 页()若3 a0,则f(x)在(0,a)单调递减,在
28、(a3a3,1)单调递增,3故当 x=a时,f(x)取的最小值,最小值为f(a)=2a3a3a3)331.4若f()030,f(x)在(0,1)无零点.,即43a43 a,则若f(=0f(x)在(0,1)有唯一零点;若 f(a3)0,即3434,由于 f(0)1,f(1)a43a54,所以当5a时,f(x)在(0,1)有两个零点;当54时,f(x)在(0,1)4有一个零点.10分综上,当a3或 a5434时,h(x)由一个零点;当 a3或 a54时,h(x)有两个零点;当4544a时,h(x)有三个零点 .考点:利用导数研究曲线的切线;对新概念的理解;分段函数的零点;分类整合思想22.【答案】
29、()见解析()60【解析】试题分析:()由圆的切线性质及圆周角定理知,AE BC,ACAB,由直角三角形中线性质知 DE=DC,OE=OB,利用等量代换可证 DEC+OEB=90,即 OED=90,所以DEO是圆的切线;()设CE=1,OA3CE由AB=23AE=得,x,由勾股定理,设得 BE12 x2,由直角三角形射影定理可得AE2CEBE,列出关于 x的方程,解出 x,即可求出ACB 的大小.试题解析:()连结 AE,由已知得,AE BC,AC AB,在 Rt AEC 中,由已知得 DE=DC,DEC=DCE,连结 OE,OBE=OEB,ACB+ABC=90,DEC+OEB=90,OED=
30、90,DE 是圆 O 的切线.()设 CE=1,AE=x,由已知得AB=2 3,BE由射影定理可得,x212 x2,AE2CEBE,12 x2,解得 x=3,ACB=60.试卷第 13 页,总 15 页考点:圆的切线判定与性质;圆周角定理;直角三角形射影定理2123.【答案】()cos2,2 cos4sin40()【解析】试题分析:()用直角坐标方程与极坐标互化公式即可求得C1,C2的极坐标方程;()将将=代入22cos4 sin40即可求出|MN|,利用三角形面积公式即4可求出C2MN的面积.试题解析:()因为 x2cos,ysin,cos分C1的极坐2 cos标方程为2,C22的极坐标方程
31、为4 sin代入240.5()将 =2cos24sin4 0,得3 240,解得142=2 2,=2,|MN|=1=2,因为 C2的半径为 1,则考点:直角坐标方程与极坐标互化;直线与圆的位置关系24.【答案】()C2MN的面积122 1 sin 45o=1.2 x|x2()(2,+)32【解析】试题分析:()利用零点分析法将不等式 f(x)1 化为一元一次不等式组来解;()将 f(x)化为分段函数,求出 f(x)与 x轴围成三角形的顶点坐标,即可求出三角形的面积,根据题意列出关于a的不等式,即可解出a的取值范围.试题解析:()当 a=1 时,不等式 f(x)1 化为|x+1|-2|x-1|1,等价于x1或1 x1或x1x1 2x 2 1,解得x 1 2x 2 1x 1 2x 2 1所以不等式f(x)1 的解集为 x|22x 2,3x 2.3试卷第 14 页,总 15 页x1 2a,x1 2a,11x a,()由题设可得,f(x)3xx1 2a,xa2a 1所以函数 f(x)的图像与 x轴围成的三角形的三个顶点分别为A(,0),B(2 a 1,0),C(a,a+1),所以ABC 的面积为(a 1)2.3由题设得232(a 1)26,解得a2.所以 a的取值范围为(2,+).考点:含绝对值不等式解法;分段函数;一元二次不等式解法3试卷第 15 页,总 15 页
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