热力学统计物理第七章玻耳兹曼统计精品文稿.ppt
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1、热力学统计物理第热力学统计物理第七章玻耳兹曼统计七章玻耳兹曼统计第1页,本讲稿共68页2玻尔兹曼、玻色、费米系统之间的关系玻尔兹曼、玻色、费米系统之间的关系玻色粒子,玻色粒子,玻色分布玻色分布费密粒子,费密分布费密粒子,费密分布可分辨粒子可分辨粒子,玻尔兹曼分布,玻尔兹曼分布注意:注意:全同性带全同性带来的微观状态来的微观状态数目的差异数目的差异注意:注意:全同性带全同性带来的微观状态来的微观状态数目的差异数目的差异全同性对微观状态数目的影响:粒子之间的交换能否引起系统微观状态的改变!(全同性对微观状态数目的影响:粒子之间的交换能否引起系统微观状态的改变!(N!)!)非兼并条件非兼并条件热统
2、西华大学 理化学院第2页,本讲稿共68页3现在,我们已经知道:现在,我们已经知道:1、微观粒子运动状态的描述、微观粒子运动状态的描述2、可能状态数目(、可能状态数目(态密度态密度)的计算方法)的计算方法3、系统微观状态数目的计算、系统微观状态数目的计算4、处于平衡态的系统的分布公式等、处于平衡态的系统的分布公式等Therefore,We are ready to go!热统 西华大学 理化学院第3页,本讲稿共68页4后面的任务:后面的任务:近独立粒子系统的宏观性质的计算:近独立粒子系统的宏观性质的计算:一、玻尔兹曼统计一、玻尔兹曼统计二、玻色统计二、玻色统计三、费米统计三、费米统计热统 西华大
3、学 理化学院第4页,本讲稿共68页5热统 西华大学 理化学院第5页,本讲稿共68页1、确定、粒子配分函数7.1 热力学量的统计表达式 一、粒子配分函数一、粒子配分函数6热统 西华大学 理化学院第6页,本讲稿共68页2、粒子配分函数的物理意义粒子总是优先占据较低能级;温度升高,占据该能级的几率增大。玻耳兹曼玻耳兹曼因子因子有效状有效状态数态数Z1有效状态和一个粒子所有可能达到的有效状态的总和。粒子处在该能级粒子处在该能级的几率的几率7热统 西华大学 理化学院第7页,本讲稿共68页3.粒子配分函数的经典表达式处于能层处于能层 内,运动状态处于相体积内,运动状态处于相体积元内元内 的粒子数为的粒子数
4、为:取取 足够小,求和可化为积分:足够小,求和可化为积分:能量为l的一个量子态s上的平均粒子数 8热统 西华大学 理化学院第8页,本讲稿共68页9热统 西华大学 理化学院二、热力学量二、热力学量1.1.内能内能2.2.功功能级不变能级不变分布变分布变能级变能级变分布不变分布不变统计表达式统计表达式第9页,本讲稿共68页10热统 西华大学 理化学院能级不变能级不变分布变分布变能级变能级变分布不变分布不变能级能级 的值,是力学方程的值,是力学方程在指定的边界条件下的解。在指定的边界条件下的解。力学系统不变,方程不变,力学系统不变,方程不变,能级变,只有边界条件变。能级变,只有边界条件变。改变边界,
5、即做功。改变边界,即做功。外界对系外界对系统的力统的力每个粒子受力:每个粒子受力:功功广义力统计表达式广义力统计表达式第10页,本讲稿共68页11热统 西华大学 理化学院3.3.熵熵由由得得等式两边同乘等式两边同乘:而而且且所以所以第11页,本讲稿共68页12热统 西华大学 理化学院熵熵其中令其中令求全微分求全微分之前求得之前求得由由得到得到S 是积分常数,熵常数是积分常数,熵常数第12页,本讲稿共68页13经过一系列推导,我们得到经过一系列推导,我们得到了服从玻耳兹曼分布的系统了服从玻耳兹曼分布的系统的熵的熵S S与粒子数与粒子数N N、温度、温度T T、内、内能能U U之间的关系。其中,熵
6、常之间的关系。其中,熵常数数S S 待定。待定。目前还是看不出熵目前还是看不出熵的统计意义是什么。的统计意义是什么。三三.熵熵S的统计意义:的统计意义:热统 西华大学 理化学院第13页,本讲稿共68页14我们现在来比较一下各种系统的微观状态数目的对数与系统的熵的统计表达我们现在来比较一下各种系统的微观状态数目的对数与系统的熵的统计表达式,以图发现它们之间的联系,并得到熵常数式,以图发现它们之间的联系,并得到熵常数S S。熵熵S的表达式的表达式:定域系统的微观状态定域系统的微观状态数目的对数:数目的对数:经典极限条件的非定域系统微观经典极限条件的非定域系统微观状态数目的对数:状态数目的对数:对于
7、定域系统,取对于定域系统,取S S 0 0,有:,有:对于满足经典极限条对于满足经典极限条件的非定域系统,取:件的非定域系统,取:热统 西华大学 理化学院第14页,本讲稿共68页15在非兼并条件下,对于非定域的玻色和费米在非兼并条件下,对于非定域的玻色和费米系统,粒子虽然不可以分辨,但是近似服从系统,粒子虽然不可以分辨,但是近似服从玻尔兹曼分布(最可几分布),它们的微观玻尔兹曼分布(最可几分布),它们的微观状态数目为右式。状态数目为右式。而且满足最可几分布的限而且满足最可几分布的限制条件:制条件:对于满足非兼并条件的处于平对于满足非兼并条件的处于平衡态(最可几分布)的非定域衡态(最可几分布)的
8、非定域(玻色、费米)系统,通过对(玻色、费米)系统,通过对所对应的系统微观状态数目取所对应的系统微观状态数目取对数,得到了微观状态数目的对数,得到了微观状态数目的对数对数ln 与系统包含的粒子数与系统包含的粒子数N、内能内能U之间的关系式。之间的关系式。热统 西华大学 理化学院第15页,本讲稿共68页16玻耳兹曼关系式玻耳兹曼关系式这样,熵就有了它的统计意义:它是系统的微观状态这样,熵就有了它的统计意义:它是系统的微观状态数目的对数乘以数目的对数乘以k。同时熵也有了一个绝对的数值。同时熵也有了一个绝对的数值。熵是混乱度的量度。如果某个宏观状态的微光状态数目愈多,它的熵是混乱度的量度。如果某个宏
9、观状态的微光状态数目愈多,它的混乱度就愈大,熵也愈大。在理想的绝对零度下,系统处于基态,混乱度就愈大,熵也愈大。在理想的绝对零度下,系统处于基态,状态数很小,所以熵近似为状态数很小,所以熵近似为0或者等于或者等于0。孤立系统的熵增原理:系统总是朝着微观状态数目增加的方向孤立系统的熵增原理:系统总是朝着微观状态数目增加的方向过渡,那样的状态有更大的几率出现。过渡,那样的状态有更大的几率出现。熵是一种统计性质,对少数几个粒子组成的系统谈不到熵。熵是一种统计性质,对少数几个粒子组成的系统谈不到熵。因此,热力学第二定律适用于粒子数非常多的系统。因此,热力学第二定律适用于粒子数非常多的系统。热统 西华大
10、学 理化学院第16页,本讲稿共68页17这样,对于定域系统,其熵的计算公式为:这样,对于定域系统,其熵的计算公式为:对于满足经典极限条件的非定域系统,其熵的计算公式为:对于满足经典极限条件的非定域系统,其熵的计算公式为:上述两式的区别是由粒子的全同性(不可分辨性)引起的。上述两式的区别是由粒子的全同性(不可分辨性)引起的。热统 西华大学 理化学院第17页,本讲稿共68页18对于遵从玻尔兹曼分布的对于遵从玻尔兹曼分布的定域系统、满足经典极限定域系统、满足经典极限条件的玻色、费米系统,条件的玻色、费米系统,从玻尔兹曼分布得到系统从玻尔兹曼分布得到系统的的内能和广义力内能和广义力的统计的统计表达式表
11、达式:可分辨粒子系统:可分辨粒子系统:不可分辨粒子系统:不可分辨粒子系统:熵与系统的微观状熵与系统的微观状态数有关,可从热态数有关,可从热力学第一、第二定力学第一、第二定律出发,比较内能、律出发,比较内能、广义功、热量等的广义功、热量等的表达式导出。表达式导出。热统 西华大学 理化学院第18页,本讲稿共68页19四四.系统的自由能系统的自由能F的计算:的计算:可分辨粒子系统,或者说可分辨粒子系统,或者说定域系统:定域系统:满足经典极限条件的玻色、满足经典极限条件的玻色、费米系统:费米系统:到此为止,如果知道系统的配分函数到此为止,如果知道系统的配分函数Z,我们就可以完全确定系统的各种宏观热力学
12、量。我们就可以完全确定系统的各种宏观热力学量。热统 西华大学 理化学院第19页,本讲稿共68页20五五.现在我们讨论一下拉氏乘子现在我们讨论一下拉氏乘子 的物理意义的物理意义满足经典极限条件的玻色、费米系统:满足经典极限条件的玻色、费米系统:我们得到了拉氏乘子拉氏乘子 的表达式:的表达式:我们还知道拉氏乘子拉氏乘子 的表达式:的表达式:热统 西华大学 理化学院第20页,本讲稿共68页21一般气体满足经典极限条件,遵从玻尔兹曼分布。考虑单一般气体满足经典极限条件,遵从玻尔兹曼分布。考虑单分子理想气体,如分子理想气体,如Ar,Ke,Xe 等。等。需要知道能级及其简并度需要知道能级及其简并度关键在于
13、求得配分函数关键在于求得配分函数Z系统的系统的 l,l如何求得能级及其简并度如何求得能级及其简并度7.2 理想气体的物态方程理想气体的物态方程热统 西华大学 理化学院第21页,本讲稿共68页22热统 西华大学 理化学院一、理想气体一、理想气体气体分子之间的相互作用势能被忽略。气体分子之间的相互作用势能被忽略。二、配分函数二、配分函数第22页,本讲稿共68页23热统 西华大学 理化学院三、物态方程三、物态方程四、内能四、内能第23页,本讲稿共68页24对于单原子理想气体,其他的物理量的导出:对于单原子理想气体,其他的物理量的导出:热统 西华大学 理化学院第24页,本讲稿共68页25最后,简单说明
14、一般气体满足经典极限条件:最后,简单说明一般气体满足经典极限条件:e 1。经典极限条件也可以写成另一种表述:经典极限条件也可以写成另一种表述:气体愈稀薄;温气体愈稀薄;温度愈高;质量愈度愈高;质量愈大。大。气体中分子间的平均距离远远大于气体中分子间的平均距离远远大于de Brogile波长。波长。热统 西华大学 理化学院第25页,本讲稿共68页26热统 西华大学 理化学院能量分布能量分布速度分布速度分布出发点:出发点:7.3 麦克斯韦速度分布率麦克斯韦速度分布率一、思路一、思路第26页,本讲稿共68页27热统 西华大学 理化学院二、速度分布率二、速度分布率处于能层处于能层 内,运动状态处于相体
15、积元内内,运动状态处于相体积元内 的粒子数为:的粒子数为:体积体积V V内,动量在内,动量在 范围内,所占据的相体积范围内,所占据的相体积:第27页,本讲稿共68页28热统 西华大学 理化学院在速度区间在速度区间的粒子数的粒子数单位体积内单位体积内在速度区间在速度区间的粒子数的粒子数即即 麦克斯韦速度分布率麦克斯韦速度分布率为单位体积内粒子数为单位体积内粒子数第28页,本讲稿共68页29热统 西华大学 理化学院三、速率分布三、速率分布速率与方向无关,故需对上式进行速率与方向无关,故需对上式进行角度积分角度积分。物理含义:粒子速率在物理含义:粒子速率在v-v+dv之间的粒子数目之间的粒子数目第2
16、9页,本讲稿共68页30热统 西华大学 理化学院四、特征速率四、特征速率最概然速率最概然速率:使速率分布函数取极大值的速率;:使速率分布函数取极大值的速率;把速率分为相等的间隔,把速率分为相等的间隔,vm所在间隔分子数最多。所在间隔分子数最多。第30页,本讲稿共68页31热统 西华大学 理化学院用分布函数计算与速率有关的物理量在速用分布函数计算与速率有关的物理量在速率率 0 0 区间内的平均值区间内的平均值第31页,本讲稿共68页32热统 西华大学 理化学院平均速率方均根速率第32页,本讲稿共68页33热统 西华大学 理化学院五、泻流五、泻流单位时间单位时间碰到碰到单位面积单位面积器壁的器壁的
17、粒子数粒子数单位时间单位时间从器壁上从器壁上单单位面积位面积空洞空洞逃逸逃逸的粒子的粒子泻流泻流第33页,本讲稿共68页34热统 西华大学 理化学院一、经典统计证明一、经典统计证明 对于处在温度为对于处在温度为 T T 的平衡状态的的平衡状态的经典系统经典系统,粒子能量中每,粒子能量中每一个一个平方项平方项的平均值为的平均值为 。A.A.与动能有关部分与动能有关部分7.4 能量均分定理能量均分定理粒子的能量粒子的能量=动能动能+势能势能某一个方向的动能的平均值为:某一个方向的动能的平均值为:第34页,本讲稿共68页35热统 西华大学 理化学院由于由于结果代入下式结果代入下式第35页,本讲稿共6
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- 热力学 统计 物理 第七 章玻耳兹曼 精品 文稿
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