2023届湖北省部分重点中学高三上学期1月第二次联考数学试题(解析版).pdf
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1、第 1 页 共 24 页 2023 届湖北省部分重点中学高三上学期 1 月第二次联考数学试题 一、单选题 1已知集合10Ax ax,N 25Bxx,且ABB,则实数a的所有值构成的集合是()A1 1,2 3 B1 1,4 3 C1 1 1,2 3 4 D1 1 10,2 3 4【答案】D【分析】求出2,3,4B,由ABB得到AB,分A与A,求出实数 a的值,得到答案,【详解】N 252,3,4Bxx,因为ABB,所以AB,当A时,0a,满足要求,当A 时,10ax 只有一个根,若 2A,则210a ,解得:12a,若3A,则310a,解得:13a,若 4A,则410a,解得:14a,实数a的所
2、有值构成的集合是1 1 10,2 3 4.故选:D 2给出下列命题,其中正确命题的个数为()若样本数据1x,2x,10 x的方差为 3,则数据121x,221x,1021x的方差为 6;回归方程为0.60.25yx时,变量x与y具有负的线性相关关系;随机变量X服从正态分布23,N,40.64P X,则230.07PX;甲同学所在的某校高三共有 5003 人,先剔除 3 人,再按简单随机抽样的方法抽取容量为 200 的一个样本,则甲被抽到的概率为125.A1 个 B2 个 C3 个 D4 个【答案】A【分析】根据方差的性质可判断;根据变量 x,y的线性回归方程的系数0b,判断变量 x,y是负相关
3、关系可判断;利用正态分布的对称性,计算求得结果可判断;根据简单随机抽样概率均第 2 页 共 24 页 等,计算出每人被抽取的概率可判断.【详解】对于,若样本数据1x,2x,10 x的方差为 3,则数据121x,221x,1021x的方差为22312,故错误;对于,回归方程为0.60.25yx,可知0.250 b,则变量 x 与 y 具有负的线性相关关系,故正确;对于,随机变量 X服从正态分布2(3,)N,(4)0.64P X,根据正态分布的对称性(34)0.640.5=0.14PX,所以(23)0.14PX,故错误;对于,根据简单随机抽样概率均等可知,某校高三共有 5003 人,抽取容量为 2
4、00 的一个样本,则甲被抽到的概率为2005003,故错误.故选:A.3已知函数322()f xxaxbxa,则“7ab”是“函数 f x在=1x处有极值10”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分又不必要条件【答案】B【分析】求出函数的导函数,依题意可得 1=01=10ff,即可得到方程组,解得a、b再检验,最后根据充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】解:因为322()f xxaxbxa,所以2()32fxxaxb,所以 21=32=01=1+=10fabfab a,解得=3=3ab或=4=11ab;当=3=3ab时32()339f xxxx,22()3633
5、10fxxxx,即函数在定义域上单调递增,无极值点,故舍去;当=4=11ab时32()41116f xxxx,2()31131118fxxxxx,当1x 或113x 时()0fx,当1113x时()0fx,满足函数在=1x处取得极值,所以7ab,所以由7ab推不出函数 f x在=1x处有极值10,即充分性不成立;由函数 f x在=1x处有极值10推得出7ab,即必要性成立;第 3 页 共 24 页 故“7ab”是“函数 f x在=1x处有极值10”的必要不充分条件;故选:B 4已知圆 C:x2y22x2mym230 关于直线 l:xy10 对称,则直线 x1 与圆 C 的位置关系是()A相切
6、B相交 C相离 D不能确定【答案】A【解析】把圆方程配方得圆心坐标和半径,由圆关于直线对称,说明圆心在此直线上,求得参数 m,再求出圆心到直线的距离判断直线与圆的位置关系【详解】由已知得 C:(x1)2(ym)24,即圆心 C(1,m),半径 r2,因为圆 C 关于直线 l:xy10 对称,所以圆心(1,m)在直线 l:xy10 上,所以 m2由圆心 C(1,2)到直线 x1 的距离 d112r 知,直线 x1 与圆 C 相切 故选:A.【点睛】本题考查圆的一般方程,考查直线与圆的位置关系圆的一般方程可通过配方法变为标准方程,从而得出圆心坐标和半径 5已知关于x的不等式210axbx 的解集为
7、1(,),mm,其中0m,则2bab的最小值为()A2 B2 C2 2 D3【答案】D【分析】由题意,得0a,且m,1m是方程210axbx 的两根,由韦达定理11mma,解得=1a;+=1=bmbma,由基本不等式得=+21bmm,从而可得=2+2+bbabb,利用对勾函数性质可求解.【详解】因为240axbx的解集为1(,),mm,所以0a,且m,1m是方程210axbx 的两根,11=mma,得=1a;1+=bmbma,即1=+bmm,当0m 时,111=+=+2=2bmmmmmm,第 4 页 共 24 页 当且仅当1mm,即=1m时取等号,令 22+2bf bbbabb,由对勾函数的性
8、质可知函数 f b在2,上单调递增,所以 22 13f bf,2bab的最小值为 3.故选:D 6已知函数 f x及其导函数 fx的定义域都为R,且3 2fx为偶函数,2f x为奇函数,则下列说法正确的是()A302f B 20f C202320220ff D202320220ff 【答案】C【分析】根据函数的奇偶性对称性可得函数的周期性以及(2)0f,再利用复合函数的导数推出()fx的周期以及 30f,进而可求解.【详解】因为3 2fx为偶函数,所以3232fxfx,即33fxfx,即函数图象关于3x 对称,则()(6)f xfx,因为2f x为奇函数,所以22f xfx ,即函数图象关于点
9、(2,0)对称,则()(4),(2)0f xfxf,所以(6)(4)fxfx,则(4)()f xf x,所以函数以 4 为周期,(2022)(50542)(2)0fff,因为3232fxfx,所以3232fxfx,即232232fxfx,即3232fxfx,也即33fxfx,令0 x,则有 33ff,所以 30f,由(4)()f xf x得(4)()fxfx,所以()fx以 4 为周期,所以(2023)(50543)(3)0fff,第 5 页 共 24 页 所以202320220ff,C 正确,对于其余选项,根据题意可假设()sin2f xx满足周期为 4,且关于点(2,0)对称,32sin0
10、242f,故 A 错误;()cos,(2)cos002222fxxf,B 错误;i020232022(3)2(2222)s nffff,D 错误,故选:C.7在长方体1111ABCDABC D中,15AA,4ADAB,M,N,P分别是棱11C D,BC,1CC上的点,且11C MMD,1135C PC C,14CNCB,Q是平面ABCD内一动点,若直线1D Q与平面MNP平行,则11QB QD的最小值为()A44125 B17 C895 D1625【答案】A【分析】建立空间直角坐标系,写出点的坐标,求出平面 MPN的法向量4,3,2n,设出,0Q s t,根据10DQ n求出4310st,计算
11、出1212225381444142525625ssttQB QDt,得到最小值.【详解】以 D 作坐标原点,DA,DC,1DD所在直线分别为 x轴,y 轴,z轴,建立空间直角坐标系,则110,0,5,1,4,0,0,2,5,0,4,2,4,4,5DNMPB,设平面 MPN的法向量为,nx y z,则 ,1,2,5250,0,2,3230n MNx y zxyzn MPx y zyz,令3y,则2,4zx,故4,3,2n,设,0Q s t,则1,5DQs t,因为直线1D Q与平面MNP平行,所以 1,54,3,243100DQ ns tst,21124,4,5,54425QB QDststss
12、tt,第 6 页 共 24 页 因为4310st,所以1034ts,故22112244254251031034tQssttttB QDt 22538162441255t,故当3825t 时,11QB QD取得最小值,最小值为44125.故选:A 8 已知nS是数列 na的前n项和,且121aa,1223nnnaaa(3n),则下列结论正确的是()A数列1nnaa为等比数列 B数列12nnaa为等比数列 C20401314S D 11312nnna 【答案】D【分析】A 选项,计算出120aa,故1nnaa不是等比数列,A 错误;B 选项,计算出12nnaa的前三项,得到72337,B 错误;C
13、 选项,由题干条件得到1123nnnnaaaa,故1nnaa为等比数列,得到1123nnnaa,故212aa,2432 3aa,3840392 3aa,相加即可求出4040314S,C 错误;第 7 页 共 24 页 D 选项,在1123nnnaa的基础上,分奇偶项,分别得到通项公式,最后求出 11312nnna.【详解】由题意得:321523aaa,4321031323aaa,由于120aa,故数列1nnaa不是等比数列,A 错误;则123212aa,232527aa,34213 1023aa,由于72337,故数列12nnaa不为等比数列,B 错误;3n时,1223nnnaaa,即1123
14、nnnnaaaa,又121 12aa ,故1nnaa为等比数列,首项为 2,公比为 3,故1123nnnaa,故212aa,2432 3aa,3840392 3aa,以上 20 个式子相加得:40402438401 33121 33321 94S,C 错误;因为1123nnnaa,所以212 3nnnaa,两式相减得:1122 32 34 3nnnnnaa,当2nk时,232224 3kkkaa,2522244 3kkkaa,424 3aa,以上式子相加得:2121323223333433341 92kkkkaa,故212122333122kkkaa,而21a 也符和该式,故212312kka
15、,令2kn得:111313122nnnna,当21nk时,2421234 3kkkaa,2623254 3kkkaa,0314 3aa,以上式子相加得:2222242602111 331433341 92kkkkkaa,故2222211313122kkkaa,而11a 也符号该式,故2221312kka,令21kn 得:11312nnna,第 8 页 共 24 页 综上:11312nnna,D 正确.故选:D【点睛】当遇到 2nnaaf n时,数列往往要分奇数项和偶数项,分别求出通项公式,最后再检验能不能合并为一个,这类题目的处理思路可分别令21nk和2nk,用累加法进行求解.二、多选题 9设
16、1z,2z为复数,则下列四个结论中正确的是()A2212121 24zzzzz z B11zz是纯虚数或零 C1212zzzz恒成立 D存在复数1z,2z,使得1 212z zz z【答案】BC【分析】对于 A 由右向左化简即可判断,对于 B 设1izab,求出共轭复数,代入化简分情况即可判断正误,对于 C 设两个复数计算出求和模长,在计算出模长求和即可比较大小,对于 D 设两个复数,计算出乘积模长,在计算出模长乘积即可比较大小.【详解】对于 A:22121 2124zzz zzz,令12izzxy,则222212i2izzxyxyxy,22222212zzxyxy,22xy与222ixyxy
17、不一定相等,故 A 错误;对于 B:1izab,则1izab,112 izzb,当0b时为零,当0b 时为纯虚数,故 B 正确;对于 C:22221212i,i,zxy zabzxyzab,则2222221222zzaxbyabxyaxby 222212|zzxyab,20aybx,则222220a yb xabxy,222222222222442a xb xa yb ya xb yabxy 22222422xyabaxby 2222222xyabaxby 第 9 页 共 24 页 222222222222222xyababxyxyabaxby,222222222222abyxbyabxaxy
18、,221212|0zzzz故 C 正确;对于 D:设22221212i,i,zxy zabzxyzab,则222212|()()zzxyab,21 2iiiiz zaxxbaybyaxbyxbay 22222122()()zyxyzaxbyxbaba=12|zz,故 D 错误.故选:BD.10将函数 2cos 24fxx的图象向右平移8个单位长度得到 yg x的图象,则()A yf x在,4 2上是减函数 B44fxfx C yg x是奇函数 D 1yg x在,上有 4 个零点【答案】ACD【分析】A 选项,代入检验,得到 yf x在,4 2上单调递减,A 正确;B 选项,计算出2cos244
19、fxx,2cos244fxx,两者不一定相等,C 选项,根据函数平移变换求出2sin2g xx,故 C 正确;D 选项,令 12sin 210yg xx ,得到1sin22x,求出,上,12x 或512或712或1112,共 4 个零点,D 正确.【详解】,4 2x时,324,44x,由于2cosyz在 3,44z上单调递减,故 yf x在,4 2上单调递减,A 正确;2cos 22cos24444fxxx,2cos 22cos24444fxxx,因为2cos22cos 22sin 2444xxx,由于2sin 24x与2cos24x不一定相等,故4fx与4fx不一定相等,B 错误;2cos
20、22 n248sig xxx,故 yg x是奇函数,C 正确;第 10 页 共 24 页 令 12sin 210yg xx ,解得:1sin22x,,x,则22,2x,则26x 或56或76或116,解得:12x 或512或712或1112,共 4 个零点,D 正确.故选:ACD 11已知函数 2ln2f xx xmx,则下列说法正确的是()A当0m 或12em 时,f x有且仅有一个零点 B当0m 或14m 时,f x有且仅有一个极值点 C若 f x为单调递减函数,则14m D若 f x与x轴相切,则12em.【答案】AD【分析】根据零点的定义可得 f x的零点即方程ln2xmx的根,利用导
21、数研究函数ln()2xh xx的性质,结合图象可判断 A,由导数的几何意义可判断 D,根据导数与函数的单调性的关系求m的范围,由此可判断 C,结合单调性与极值的定义可判断 B.【详解】0 x,令 0f x 可得ln20 xxmx,化简可得ln2xmx,设 ln02xh xxx,则 21 ln2xh xx,当ex,0h x,函数 h x在e,单调递减,当0ex,0h x,函数 h x在0 e,单调递增,又 10h,1e2eh,由此可得函数ln()2xh xx图象如下:所以当0m 或12em时,ln2xmx有且仅有一个零点 所以当0m 或12em时,f x有且仅有一个零点,A 对,函数 2ln2f
22、 xx xmx的定义域为0,第 11 页 共 24 页 ln41xmxxf,若 f x与x轴相切,设 f x与x轴相切与点0(,0)x,则 00fx,00f x,所以00ln20 xmx,00ln410 xmx,所以0ex,12em,故 D 正确;若 f x为单调递减函数,则 0fx在0,上恒成立,所以ln14xmx在0,上恒成立,设 ln14xg xx,则2ln()4xg xx,当1x 时,()0g x,函数ln1()4xg xx单调递减,当01x时,()0g x,函数ln1()4xg xx单调递增,且1(1)4g,10eg,当1ex 时,()0g x,由此可得函数ln1()4xg xx的图
23、象如下:所以若 f x为单调递减函数,则14m,C 错,所以当14m 时,函数()f x在0,上没有极值点,B 错,故选:AD.【点睛】关键点点睛:本题的关键点是构造函数,利用函数的单调性和图象解决问题,本题为函数综合性问题,涉及函数的零点,导数的几何意义,根据函数的单调性求参数,函数的极值,考查的知识点较多,要求具有扎实的基础知识,较强的解题能力.三、解答题 12曲率半径是用来描述曲线上某点处曲线弯曲变化程度的量,已知对于曲线22221xyab第 12 页 共 24 页(0ab)上点00,P x y处的曲率半径公式为3222220044xyRa bab,则下列说法正确的是()A若曲线上某点处
24、的曲率半径起大,则曲线在该点处的弯曲程度越小 B若某焦点在x轴上的椭圆上一点处的曲率半径的最小值为c(半焦距)则该椭圆离心率为512 C椭圆22221xyab(0ab)上一点处的曲率半径的最大值为2ba D若椭圆22221xyab(0ab)上所有点相应的曲率半径最大值为 8,最小值为 1,则椭圆方程为221164xy【答案】ABD【分析】根据曲率半径可判断 A;把2220021xyba代入R,根据0 x的范围可得R的最小值,令其等于c化简求出e可判断 B;由选项 B 可知3222221aRa bbb可判断 C;根据332222222211a bRa bab,得出221,8baab求出,a b可
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