2019高中数学 第一章1.3.3 函数的最大(小)值与导数学案 新人教A版选修2-2.doc
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1、11.3.31.3.3 函数的最大函数的最大( (小小) )值与导数值与导数学习目标:1.理解函数的最值的概念(难点)2.了解函数的最值与极值的区别与联系(易混点)3.会用导数求在给定区间上函数的最值(重点)自 主 预 习探 新 知1函数的最大(小)值的存在性一般地,如果在区间a,b上函数yf(x)的图象是一条连续不断的曲线,那么它必有最大值与最小值思考:函数的极值与最值的区别是什么?提示函数的最大值和最小值是一个整体性概念,最大值必须是整个区间内所有函数值中的最大值;最小值必须是整个区间内所有函数值中的最小值函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出的,函数的极值是比较极值点附近的函
2、数值得出的,函数的极值可以有多个,但最值只能有一个;极值只能在区间内取得,最值则可以在端点取得;有极值的未必有最值,有最值的未必有极值;极值有可能成为最值,最值只要不在端点必定是极值当连续函数f(x)在开区间(a,b)内只有一个导数为零的点时,若在这一点处f(x)有极大值(或极小值),则可以判定f(x)在该点处取得最大值(或最小值),这里(a,b)也可以是无穷区间2求函数f(x)在闭区间a,b上的最值的步骤(1)求函数yf(x)在(a,b)内的极值;(2)将函数yf(x)的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)比较,其中最大的一个就是最大值,最小的一个就是最小值基础自测1思考辨析(1)函数的
3、最大值一定是函数的极大值( )(2)开区间上的单调连续函数无最值( )(3)函数f(x)在区间a,b上的最大值和最小值一定在两个端点处取得( )答案 (1) (2) (3)2函数f(x)2xcos x在(,)上( )A无最值 B有极值C有最大值D有最小值A A f(x)2sin x0 恒成立,所以f(x)在(,)上单调递增,无极值,也无最值3函数f(x)在区间2,4上的最小值为( )x ex2A0 B1 eC D4 e42 e2C C f(x),当x2,4时,f(x)0,即函数f(x)在区间2,4exxex ex21x ex上是单调递减函数,故当x4 时,函数f(x)有最小值.4 e44已知函
4、数f(x)x33x2m(x2,2),f(x)的最小值为 1,则m_. 【导学号:31062058】解析 f(x)3x26x,x2,2令f(x)0,得x0,或x2,当x(2,0)时,f(x)0,当x(0,2)时,f(x)0,当x0 时,f(x)有极小值,也是最小值f(0)m1.答案 1合 作 探 究攻 重 难求函数的最值角度 1 不含参数的函数最值求下列各函数的最值(1)f(x)3x39x5,x2,2;(2)f(x)sin 2xx,x. 2,2解 (1)f(x)9x299(x1)(x1),令f(x)0 得x1 或x1.当x变化时,f(x),f(x)变化状态如下表:x2(2,1)1(1,1)1(1
5、,2)2f(x)/00/f(x)111111从表中可以看出,当x2 时或x1 时,函数f(x)取得最小值1.当x1 或x2 时,函数f(x)取得最大值 11.(2)f(x)2cos 2x1,令f(x)0,得 cos 2x ,1 2又x,2x, 2,232x.x. 3 6函数f(x)在上的两个极值分别为 2,2f,f.( 6)32 6( 6)32 6又f,f.( 2) 2( 2) 2比较以上函数值可得f(x)max,f(x)min. 2 2角度 2 含参数的函数最值a为常数,求函数f(x)x33ax(0x1)的最大值. 【导学号:31062059】解 f(x)3x23a3(x2a)若a0,则f(
6、x)0,函数f(x)单调递减,所以当x0 时,有最大值f(0)0.若a0,则令f(x)0,解得x.ax0,1,则只考虑x的情况a(1)若 01,即 0a1,a则当x时,f(x)有最大值f()2a.(如下表所示)aaax0(0,)aa(,1)a1f(x)0f(x)02aa3a1(2)若1,即a1 时,则当 0x1 时,f(x)0,函数f(x)在0,1上单调递a增,当x1 时,f(x)有最大值f(1)3a1.综上可知,当a0,x0 时,f(x)有最大值 0;当 0a1,x时,f(x)有最大值 2a;aa当a1,x1 时,f(x)有最大值 3a1.规律方法 1.求解函数在固定区间上的最值,需注意以下
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