2019版高中数学 第一章 1.3.1 函数的单调性与导数(二)学案 新人教A版选修2-2.doc
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1、11.3.11.3.1 函数的单调性与导数函数的单调性与导数( (二二) )学习目标 1.会利用导数证明一些简单的不等式问题.2.掌握利用导数研究含参数的单调性的基本方法1函数的单调性与其导数正负的关系定义在区间(a,b)内的函数yf(x):f(x)的正负f(x)的单调性f(x)0单调递增f(x)0,则f(x)仍为增函数(减函数的情形完全类似)f(x)为增函数的充要条件是对任意的x(a,b)都有f(x)0 且在(a,b)内的任一非空子区间上f(x)不恒为 0.2函数图象的变化趋势与导数值大小的关系一般地,设函数yf(x),在区间(a,b)上导数的绝对值函数值变化函数的图象越大快比较“陡峭”(向
2、上或向下)越小慢比较“平缓”(向上或向下)3.利用导数解决单调性问题需要注意的问题(1)定义域优先的原则:解决问题的过程只能在定义域内,通过讨论导数的符号来判断函数的单调区间(2)注意“临界点”和“间断点”:在对函数划分单调区间时,除了必须确定使导数等于零的点外,还要注意在定义域内的间断点(3)如果一个函数的单调区间不止一个,这些单调区间之间不能用“”连接,而只能用“逗号”或“和”字等隔开1如果函数f(x)在某个区间内恒有f(x)0,则f(x)在此区间内没有单调性( )2函数在某区间上变化越快,函数在这个区间上的导数的绝对值越大( )2类型一 利用导数求参数的取值范围例 1 若函数f(x)kx
3、ln x在区间(1,)上单调递增,则k的取值范围是_考点 利用导数求函数的单调区间题点 已知函数的单调性求参数(或其范围)答案 1,)解析 由于f(x)k ,f(x)kxln x在区间(1,)上单调递增,等价于f(x)1 xk 0 在(1,)上恒成立1 x由于k ,而 00 时,令f(x)0,得x ,1 k只需 (1,),即 1,则 00(或f(x)1,即a2 时,函数f(x)在(,1)和(a1,)上单调递增,在(1,a1)上单调递减,由题意知(1,4)(1,a1)且(6,)(a1,),所以 4a16,即 5a7.故实数a的取值范围为5,7方法二 (数形结合法)如图所示,f(x)(x1)x(a
4、1)因为在(1,4)内,f(x)0,在(6,)内f(x)0,且f(x)0 有一根为 1,所以另一根在4,6上所以Error!即Error!所以 5a7.故实数a的取值范围为5,745方法三 (转化为不等式的恒成立问题)f(x)x2axa1.因为f(x)在(1,4)上单调递减,所以f(x)0 在(1,4)上恒成立即a(x1)x21 在(1,4)上恒成立,所以ax1,因为 27,所以当a7 时,f(x)0 在(6,)上恒成立综上知 5a7.故实数a的取值范围为5,7类型二 证明不等式例 2 证明 exx1sin x1(x0)考点 利用导数研究函数的单调性题点 利用导数证明不等式证明 令f(x)ex
5、x1(x0),则f(x)ex10,f(x)在0,)上单调递增,对任意x0,),有f(x)f(0),而f(0)0,f(x)0,即 exx1,令g(x)xsin x(x0),g(x)1cos x0,g(x)g(0),即xsin x0,x1sin x1(x0),综上,exx1sin x1.反思与感悟 用导数证明不等式f(x)g(x)的一般步骤(1)构造函数F(x)f(x)g(x),xa,b(2)证明F(x)f(x)g(x)0,且F(a)0.(3)依(2)知函数F(x)f(x)g(x)在a,b上是单调递增函数,故f(x)g(x)0,即f(x)g(x)这是因为F(x)为单调递增函数,所以F(x)F(a)
6、0,即f(x)g(x)f(a)g(a)0.6跟踪训练 2 已知x0,证明不等式 ln(1x)xx2成立1 2考点 利用导数研究函数的单调性题点 利用导数证明不等式证明 设f(x)ln(1x)xx2,1 2则f(x)1x.1 1xx2 1x当x1 时,f(x)0,则f(x)在(1,)内是增函数当x0 时,f(x)f(0)0.当x0 时,不等式 ln(1x)xx2成立.1 21已知命题p:对任意x(a,b),有f(x)0,q:f(x)在(a,b)内是单调递增的,则p是q的( )A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件考点 函数的单调性与导数的关系题点 利用导数值的正负号判定
7、函数的单调性答案 A2已知对任意实数x,都有f(x)f(x),g(x)g(x),且当x0 时,f(x)0,g(x)0,则当x0,g(x)0 Bf(x)0,g(x)0 Df(x)0 时,f(x),g(x)都单调递增,则当x0,g(x)0,1 2所以f(x)在(,)上为单调递增函数,其图象若穿越x轴,则只有一次穿越的机会,显然x0 时,f(x)0.所以方程x sin x0 有唯一的实根x0.1 28利用导数法解决取值范围问题的两个基本思路(1)将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题,即f(x)0(或f(x)0)恒成立,利用分离参数或函数性质求解参数范围,然后检验参数取“”时是否满足题意;(2)先
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