《概率论与数理统计》习题三答案.pdf
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1、概率论与数理统计习题及答案习题三习题三1.将一硬币抛掷三次,以X表示在三次中出现正面的次数,以Y表示三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值.试写出X和Y的联合分布律.【解】【解】X和Y的联合分布律如表:YX00123013002.盒子里装有 3 只黑球、2 只红球、2 只白球,在其中任取4 只球,以X表示取到黑球的只数,以Y表示取到红球的只数.求X和Y的联合分布律.【解】【解】X和Y的联合分布律如表:YX0010230102P(0 黑,2 红,2白)=03.设二维随机变量(X,Y)的联合分布函数为 sin xsin y,0 x,0 y F(x,y)=22其他.0,求二维随机变量(X,Y)
2、在长方形域0 x,y 内的概率.4 63【解】【解】如图P0 X ,Y 公式(3.2)4 63题 3 图说明:也可先求出密度函数,再求概率。4.设随机变量(X,Y)的分布密度Ae e(3x4y),x 0,y 0,f(x,y)=0,其他.求:(1)常数A;(2)随机变量(X,Y)的分布函数;(3)P0X1,0Y2.【解】【解】(1)由f(x,y)dxdy 00Ae-(3x4y)dxdy A112得A=12(2)由定义,有(3)P0 X 1,0 Y 25.设随机变量(X,Y)的概率密度为k(6 x y),0 x 2,2 y 4,f(x,y)=其他.0,(1)确定常数 k;(2)求PX1,Y3;(3
3、)求PX1.5;(4)求PX+Y4.【解】【解】(1)由性质有18故R 1(2)PX 1,Y 3(3)PX 1.53f(x,y)dydxx1.5f(x,y)dxdy如图af(x,y)dxdyD1(4)PX Y 4X Y4f(x,y)dxdy如图bf(x,y)dxdyD2题 5 图6.设X和Y是两个相互独立的随机变量,X在(0,0.2)上服从均匀分布,Y的密度函数为5e e5y,y 0,fY(y)=0,其他.求:(1)X与Y的联合分布密度;(2)PYX.题 6 图【解】【解】(1)因X在(0,0.2)上服从均匀分布,所以 X 的密度函数为而所以(2)P(Y X)yxf(x,y)dxdy如图25e
4、5ydxdyD7.设二维随机变量(X,Y)的联合分布函数为(1e e4x)(1e e2y),x 0,y 0,F(x,y)=其他.0,求(X,Y)的联合分布密度.2F(x,y)8e(4x2y),x 0,y 0,【解】【解】f(x,y)xy0,其他.8.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为4.8y(2 x),0 x 1,0 y x,f(x,y)=其他.0,求边缘概率密度.【解】【解】fX(x)f(x,y)dy题 8 图题 9 图9.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为 e ey,0 x y,f(x,y)=其他其他.0,求边缘概率密度.【解】【解】fX(x)f(x,y)dy题 10 图10.设二维随
5、机变量(X,Y)的概率密度为cx2y,x2 y 1,f(x,y)=其他其他.0,(1)试确定常数c;(2)求边缘概率密度.【解】【解】(1)f(x,y)dxdy如图f(x,y)dxdyD得c 21.4(2)fX(x)f(x,y)dy11.设随机变量(X,Y)的概率密度为1,y x,0 x 1,f(x,y)=其他其他.0,求条件概率密度fYX(yx),fXY(xy).题 11 图【解】【解】fX(x)f(x,y)dy所以12.袋中有五个号码 1,2,3,4,5,从中任取三个,记这三个号码中最小的号码为X,最大的号码为Y.(1)求X与Y的联合概率分布;(2)X与Y是否相互独立?【解】(1)X与Y的
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