概率论与数理统计习题答案.pdf
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1、概率论与数理统计习题答案-修订版-复旦大学概率论与数理统计习题及答案习 题 一1 .略.见教材习题参考答案.2 .设A,B,C为三个事件,试用A,B,C的运算关系式表示下列事件:(1)A发生,B,C都不发生;(2)A与 B发生,C不发生;(3)A,B,C都发生;(4)A,B,C至少有一个发生;(5)A,B,C都不发生;(6)A,B,C不都发生;(7)A,B,C至多有2个发生;(8)A,B,C至少有2个发生.【解】A B C (2)A B C (3)A B C(4)AUBU C=A B C U A B C U A B C U A B C U A B C U A B C U A B C=A B C
2、 (5)A B C=A B C(6)A B C (7)A B C U A B C U A B C UA B C U A B C U A B C U A B C=A B C=A U B U C(8)A B U B C U C A=A B C U A B C U A B C U A B C3 .略.见教材习题参考答案4.设 A,B 为随机事件,且 P (A)=0.7,P(A B)=0.3,求 P (A B).【解】P (A B)=1 P (A B)=1 P(A)P(A B)=1 0.7 0.3 =0.65.设 A,B 是两事件,且 P (A)=0.6,P(B)=0.7,求:(1)在什么条件下P (
3、A B)取到最大值?(2)在什么条件下P (A B)取到最小值?【解】(1)当 A B=A 时,P (A B)取到最大值为0.6.(2)当 AUB=C时,P (A B)取到最小值为0.3.6.设 A,B,C 为三事件,且 P (A)=P (B)=1/4,P (C)=1/3 且 P (A B)=P (B C)=0,P (A C)=1/1 2,求 A,B,C至少有一事件发生的概率.【解】P (A U B U C)=P(A)+P(B)+P(C)P(A B)P(B C)P(A C)+P(A B C)=1 1 1 1 3+=4 4 3 1 2 423.设 P ()=0.3,P(B)=0.4,P(A)=0
4、.5,求 P (B I A U )【解】P(B A B)P(A B)P A()P A B()P(A B)P(A)P(B)P(A B)0.7 0.5 1 0.7 0.6 0.5 41 1 1,求将此密码破译出5 3 4 3 3.三人独立地破译一个密码,他们能破译的概率分别为的概率.【解】设 A i=第 i 人能破译 (i=l,2,3),则P(A i)1 P(A 1 A 2 A 3)1 P(A 1)P(A 2)P(A 3)i 1 31 4 2 3 0.6 5 3 434.甲、乙、丙三人独立地向同一飞机射击,设击中的概率分别是0 4 0.5,0.7,若只有一人击中,则飞机被击落的概率为0.2;若有两
5、人击中,则飞机被击落的概率为0.6;若三人都击中,则飞机一定被击落,求:飞机被击落的概率.【解】设 A=飞机被击落,B i=恰有i 人击中飞机,i=0,l,2,3由全概率公式,得P(A)P(A|B i)P(B i)i 0 3=(0.4 x0.5 x0.3+0.6 x0.5 x0 3+0.6 x0.5 x0.7)0.2+(O.4 xO.5 xO.3+O.4 xO.5 xO.7+O.6 xO.5 xO.7)O.6+O.4 xO.5 xO.7=0.4 5 8习题二1 .一袋中有5只乒乓球,编号为1,2,3,4,5,在其中同时取3只,以 X表示取出的3只球中的最大号码,写出随机变量X的分布律.【解】X
6、 3,4,5P(X 3)P(X 4)1 0.1 C 3 5 3 0.3 C 35C 24 P(X 5)3 0.6 C 52故所求分布律为2 .设在1 5 只同类型零件中有2只为次品,在其中取3次,每次任取1 只,作不放回抽样,以X表示取出的次品个数,求:(1)X的分布律;(2)X的分布函数并作图;(3)1 3 3P X P 1 X P 1 X P 1 X 2 .2 2 2【解】X 0,1,2.3C 1 3 2 2P(X 0)3 .C15352C1122C13P(X 1)3.C1535CllP(X 2)13.3C1535(2)当 x<O 时,F(x)=P(Xx)=0当 0gx&It;l 时
7、,F(x)=P(Xx)=P(X=0)=22 35当 lgx<2 时,F(x)=P(Xx)=P(X=0)+P(X=l)=当 xN2 时,F(x)=P(Xx)=1 故 X的分布函数34 35x 0 0,22,0 x 1 35F(x)34,1 x 2 35 l,x 2(3)31122P(X)F(),2235333434P(1 X)F()F(l)02235353312P(1 X)P(X 1)P(1 X)2235341P(1 X 2)F(2)F(l)P(X 2)1 0.35353.射手向目标独立地进行了 3 次射击,每次击中率为0.8,求 3 次射击中击中目标的次数的分布律及分布函数,并求3 次射
8、击中至少击中2 次 的 概 率.【解】设 X 表示击中目标的次数.则X=0,1,2,3.P(X 0)(0.2)3 0.0082P(X 1)C130.8(0.2)0.096P(X 2)C(0.8)0.2 0.384P(X 3)(0.8)3 0.512232x 0 0,0.008,0 x 1F(x)0.104,1 x 20.488,2 x 3x 3 1,P(X 2)P(X 2)P(X 3)0.8964.(1)设随机变量X 的分布律为PX=k=akk!其中k=0,1,2,心0为常数,试确定常数a.(2)设随机变量X 的分布律为PX=k=a/N,k=l,2,N,试确定常数a.【解】(1)由分布律的性质
9、知1 P(X k)ak 0k 0kk!a e4故a e(2)由分布律的性质知NN1 P(X k)k Ik la aN即a 1.5.甲、乙两人投篮,投中的概率分别为0.6,0.7,今各投3 次,求:(1)两人投中次数相等的概率;(2)甲比乙投中次数多的概率.【解】分别令X、Y表示甲、乙投中次数,则X b(3,0.6),Y-b(3,0.7)(1)P(X Y)P(X 0,Y 0)P(X 1,Y 1)P(X 2,Y 2)P(X 3,Y 3)212(0.4)3(03)3 Cl30.6(0.4)C30.7(0.3)+22 C3(0.6)20.4C3(0.7)20.3(0.6)3(0.7)30.32076(
10、2)P(X Y)P(X 1,Y 0)P(X 2,Y 0)P(X 3,Y 0)P(X 2,Y 1)P(X 3,Y 1)P(X 3,Y 2)23223 Cl30.6(0.4)(03)C3(0.6)0.4(0.3)22(0.6)3(0.3)3 C3(0.6)20.4Cl30.7(0.3)2322(0.6)3Cl30.7(0.3)(0.6)C3(0.7)0.3=0.2436.设某机场每天有2 0 0架飞机在此降落,任一飞机在某一时刻降落的概率设为0.0 2,且设各飞机降落是相互独立的.试问该机场需配备多少条跑道,才能保证某一时刻飞机需立即降落而没有空闲跑道的概率小于0.01(每条跑道只能允许一架飞机降
11、落)?【解】设X为某一时刻需立即降落的飞机数,则X b(200,0.02),设机场需配备N条跑道,则有P(X N)0.01即利用泊松近似 k N 1 C200k200(0.02)k(0.98)200 k 0.01np 200 0.02 4.5e 44kP(X N)0.01 k!k N 1查表得N N 9.故机场至少应配备9条跑道.7.有一繁忙的汽车站,每天有大量汽车通过,设每辆车在一天的某时段出事故的概率为0.0001,在某天的该时段 p 1 34 所以 P(X 4)C5()l34210.32439.设事件A在每一次试验中发生的概率为0.3,当A发生不少于3次时,指示灯发出信号,(1)进行了
12、5次独立试验,试求指示灯发出信号的概率;(2)进行了 7次独立试验,试求指示灯发出信号的概率.【解】(1)设X表示5次独立试验中A发生的次数,则X 6(5,0 3)kP(X 3)C5(0.3)k(0.7)5 k 0.16308k 35(2)令Y表示7次独立试验中A发生的次数,则Y b(7,0.3)kP(Y 3)C7(0.3)k(0.7)7 k 0.35293k 3710.某公安局在长度为t的时间间隔(2)P(X 1)1 P(X 0)1 e,k=0,l,252 11.设 PX=k=C2P(1 p)PY=m=C4p(l p)mm4 m2 k,m=0,l,2,3,4分别为随机变量X,Y 的概率分布,
13、如果已知P X*=5,试求PYN1.96【解】因为P(X 1)5 4,故 P(X 1).99而P(X 1)P(X 0)(1 p)24,91即p.3故得(1 P)2从而 P(Y 1)1 P(Y 0)1 (1 p)465 0.80247 8112.某教科书出版了 2000册,因装订等原因造成错误的概率为0.001,试求在这2000册书中恰有5 册错误的概率.【解】令 X 为 2000册书中错误的册数,则 Xb(2000,0.001).利用泊松近似计算,np 2000 0.001 2e 2250.0018 得 P(X 5)5!13.进行某种试验,成功的概率为3 1,失败的概率为.以X 表示试验首次成
14、功所需试验的次44数,试写出X 的分布律,并计算X 取偶数的概率.【解】X 1,2,k,13P(X k)()k 1 44P(X 2)P(X 4)P(X 2k)131313()3()2k 1 444444I31 41(1)25414.有2500名同一年龄和同社会阶层的人参加了保险公司的人寿保险.在一年中每个人死亡的概率为0.002,每个参加保险的人在1月 1 日须交12元保险费,而在死亡时家属可从保险公司领取2000元赔偿金.求:(1)保险公司亏本的概率;(2)保险公司获利分别不少于10000元、20000元的概率.【解】以“年”为单位来考虑.(1)在 1 月 1 日,保险公司总收入为2500
15、x12=30000元.设 1年中死亡人数为X,则 Xb(2500,0.002),则所求概率为P(2000X 30000)P(X 15)1 P(X 14)由于n 很大,p 很小,X=np=5,故用泊松近似,有7e 55kP(X 15)I 0.000069 k!14k 0(2)P(保险公司获利不少于10000)P(30000 2000X 10000)P(X 10)10e 5 5 k0.9 8 6 3 0 5k O k!即保险公司获利不少于1 0 0 0 0 元的概率在9 8%以上P (保险公司获利不少于 2 0 0 0 0)P(3 0 0 0 0 2 0 0 0 X 2 0 0 0 0)P(X 5
16、)5e 5 5 kk O k!0.6 1 5 9 6 1即保险公司获利不少于2 0 0 0 0 元的概率约为6 2%1 5.已知随机变量X的密度函数为f(x)=A e|x|,c o&l t;x&l t;4-o o,求:A值;(2)P O&l t;X&l t;l ;(3)F(x).【解】由f i(x)d x 1 得1 A e|x|d x 2O A e x d x 2 A故A 12 .(2)p(0 X 1)12 1O e x d x 1 1 2(1 e)(3)当 x&l t;O 时,F(x)x l2 e x d x 12 e x当 x K)时,F(x)x l2 e|x|d x 0 12 x d x
17、 x l0 2 e x d x1 1 x2 eI x x 0故 F(x)2 e,1 12 e xx 01 6.设某种仪器内装有三只同样的电子管,电子管使用寿命X的密度函数为1 0 0f(x)=x 2,x 1 0 0,0,x 1 0 0.求:(1)在开始1 5 0 小时内没有电子管损坏的概率;(2)在这段时间内有一只电子管损坏的概率;8(3)F(x).【解】lOOldx.100 x2328pl P(X 150)3()3 32741122(2)p2 C3()339(1)P(X 150)150(3)当 x<100 时 F(x)=0当 xNlOO 时 F(x)x 100f(t)dt f(t)dt
18、 xlOO xf(t)dt lOOlOOt 1 100t2x100,x 100 1 故 F(x)x x 0 0,17.在区间0,a 上任意投掷一个质点,以X 表示这质点的坐标,设这质点落在 0,中任意小区间由题意知X U 0,a,密度函数为1 ,0 x a f(x)a 其他 0,故当 x<O 时 F(x)=0当 OMx%时 F(x)当 x>a 时,F(x)=1即分布函数 x f(t)dt f(t)dt OxxOlxt aa0,x F(x),al,x 00 x a x a18.设随机变量X 在2,5上服从均匀分布.现对X 进行三次独立观测,求至少有两次的观测值大于3 的概率.【解】X
19、U2,5,即1 ,2 x 5 f(x)3 其他 0,9P(X 3)故所求概率为5312dx 332320222 Ip C3()C3()33332719.设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X(以分钟计)服从指数分布E().某顾客在窗口等待服务,若超过10分钟他就离开.他一个月要到银行5 次,以Y 表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数,试写出Y 的分布律,并求PYN1.【解】依题意知XE(),即其密度函数为x 1 5 e,x 0 f(x)5 0,x 0 1515该顾客未等到服务而离开的概率为xl 5P(X 10)edx e 2 105Yb(5,e 2),即其分布律为kP(Y k)C5(e 2)
20、k(l e 2)5 k,k 0,1,2,3,4,5P(Y 1)1 P(Y 0)1 (1 e)0.5167 2520.某人乘汽车去火车站乘火车,有两条路可走.第一条路程较短但交通拥挤,所需时间X服从 N(40,102);第二条路程较长,但阻塞少,所需时间X 服从N(50,4 2).(1)若动身时离火车开车只有1小时,问应走哪条路能乘上火车的把握大些?(2)又若离火车开车时间只有45分钟,问应走哪条路赶上火车把握大些?【解】(1)若走第一条路,XN(40,x 4060 40 P(X 60)P若走第二条路,XN(50,4 2),则X 5060 50 P(X 60)P故走第二条路乘上火车的把握大些.(
21、2)若 XN(40,1 0 2),则X 4045 40 P(X 45)P若 XN(50,4 2),则X 5045 50 P(X 45)P101 0 2),则(2)0.97727 10 10(2.5)0.9938-H-4 4(0.5)0.6915 1010(1.25)4 41 (1.25)0.1056故走第一条路乘上火车的把握大些.21.设 XN(3,22),(1)(2)【解】1求 P2<XW5,P 4<X2,PX3;确定 c 使 PXc=PXc.(1)10.8413 14 3X7P(2 X(1)0.6915310 375)P 20.5328P(4X3X(1)10)35 3122 2
22、2 2P0.9996 22222P(|X|X112)325P(X312)P(XX 35232)PP22222 22 20.6915P(X 3)(2)c=310.9938P(X 33-30.6977)1 (0)0.5 2222.由某机器生产的螺栓长度(cm)XN(10.05,0.062),规定长度在10.050.12内为合格品,求一螺栓为 不 合 格 品 的 概 率.【解】P(|X 10.05|0.12)P X 10.050.120.060.061 (2)(2)21(2)0.045623.一工厂生产的电子管寿命X(小时)服从正态分布N(160,a 2),若要求P120X0.8,允许。最大不超过多
23、少?【解】P(120 X 200)P 120 160X 160200 1601140 40 402 1 0.8故401.29 31.2524.设随机变量X 分布函数为F (x)=A B e xt,x 0,0,x 0.(0),(1)求常数A,B;(2)求 P X W 2,P X3;(3)求分布密度f (x).li mF(x)1【解】(1)由 x 得xli m 0 F(x)A I xli m 0 F(x)B 1(2)P(X 2)F(2)1 e 2P(X 3)1 F(3)1 (1 e 3 )e 3(3)f(x)F (x)e x,x 00,x 02 5.设随机变量X的概率密度为0 x 1,f (x)=
24、x,2 x,l x 2,0淇 他求X的分布函数F (x),并画出f (x)及F (x).【解】当x<0时F (x)=00 2 时 F(x)f(t)d t 1x 0 0 x 10,2 x,2故F(x)2x 2x 1,2 1,1 x 2x 226.设随机变量X 的密度函数为(1)f(x)=ae|x|,X>O;bxO x 1,(2)f(x)=,11 x 2,x2,0,其他.试确定常数a,b,并求其分布函数F(x).【解】由f(x)dx 1 知 1 ae|x|dx 2ae xd2a故a2即密度函数为 f(x)2e x,x 0 2e xx 0 当 xgO 时 F(x)fi(x)dx2 xdx
25、 12e x 当 x>O 时 F(x)f(x)dx 02xdxx2dx11 x2e 故其分布函数1 1 xF(x)2e,x 012e x,x 0(2)由 1f(x)dx 1 bxdx 2IbO1x2dx 2 12得b=l即 X 的密度函数为130 x 1 x,1 f(x)2,1 x 2x其他 0,当 x2 时 F(x)=1故其分布函数为0,x 0 x2,0 x 1F(x)23 1,1 x 22xl,x 227.求标准正态分布的上分位点,(1)=0.01,求 z;(2)=0.003,求 z,z 12.【解】P(X z)0.01即1 (z)0.01 即z 2.33(2)由 P(X z)0.0
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