第12讲. 复数的开方.docx
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1、第5课时复数的开方一、复数的开方运算(1)乘方z = /(cose + isine)(棣莫弗定理)(2)开方设 z =r(cos。+ i sin。)则收=Vr(cos9 + 22 + isin 及、(攵=0,1,2,八1) nn说明:左右两边直接乘方即可注意我代表z的次方根(个),代表厂的算术次方根(1个)这样我们就可以理解jz,了,结合几何意义7i . . ncosFzsin = cos+ 2kji + Ik/u-bi sin 222 IF 2k 兀F 2k7iV V2 + V6z = 3)2V2(cosy + i sin y) = V2(cos-F/sin-)2万几何意义:(画图理解)首先
2、找到初始的一个,然后不断旋转 n二、1的次方根例如,1的3次方根,和5次方根(画图演示) k 7T0 k TT1的次方根有n个分别是cos+ isin(左= 0,1,2, 1)nn一工根 2. . m2 日 ,.、二、皿性质1: g = cos+ zsin,是1的次方根nnm-2/i、.m2兀证明:co =cos+ zsin= 1nn77r77r举例:cos匕+ isin*是1的几次方根? 1515性质2:若是1的次方根,则。一定是1的次方根。之,6 ,4都是1的n次方根这说明若是1的次方根,则口,一定是1的次方根2k冗n证明:根据开方定义知:G = COS + zsin ,0kn-l,7 m
3、 ink 2兀.mk-2ji所以=cos+1 sinnn由性质1知它是1的次方根2万2/注意:口,苏,苏,”中不一定是个根,例如g = cos+ zsin是1的10次方根,包02,3,,切10中实际只有5个根,另外5个不在(几何意义解释) 性质3: 1的次方根的乘法除法运算是封闭的性质4: X=l的任意一个虚根。,都满足1 + G + 32+. + 3t =0证明:X一l = (x 1)(71 +X2+. + M +1) = 0上述方程的虚根一定是V +炉一2 + + 1 = 0的根即 l + G+苏-IFGl =0 1、计算(6+ D +(百1)“8(百+ 1) + (6_1)18=2近(遥
4、+四+1遥一行齐8 44=2V2(cosl5 + zsinl5)18 = 227(cos270 + zsin 270) = -z227 2、在复平面内,以方程z6= a-回,的根所对应的点为顶点的多边形面积是解析:首先敲定为正六边形,其次正六边形边长为6次方根模,即2所以面积为27r27r113、(直通车清华2015,第1题)设复数z = cos+ zsin,则 + -331-z 1-z21 3A.O B.1C.D.一2解析:显然z为1的三次方根,11 Z3 1Z2111=1= 1l z1-z2z3-z1-z2z2-l242万z4、(直通车清华 2016,第 5 题)-z = cos+ zsi
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