小学奥数举一反三(六年级).pdf
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1、第第 1 1 讲讲定义新运算定义新运算一、知识要点一、知识要点定义新运算是指运用某种特殊符号来表示特定的意义,从而解答某些算式的一种运算。解答定义新运算,关键是要正确地理解新定义的算式含义,然后严格按照新定义的计算程序,将数值代入,转化为常规的四则运算算式进行计算。定义新运算是一种人为的、临时性的运算形式,它使用的是一些特殊的运算符号,如:*、等,这是与四则运算中的“、”不同的。新定义的算式中有括号的,要先算括号里面的。但它在没有转化前,是不适合于各种运算定律的。二、精讲精练二、精讲精练【例题【例题 1 1】假设 a*b=(a+b)+(a-b),求 13*5 和 13*(5*4)。【思路导航】
2、【思路导航】这题的新运算被定义为:a*b 等于 a 和 b 两数之和加上两数之差。这里的“*”就代表一种新运算。在定义新运算中同样规定了要先算小括号里的。因此,在 13*(5*4)中,就要先算小括号里的(5*4)。练习练习 1 1:1.将新运算“*”定义为:a*b=(a+b)(a-b).。求 27*9。2.设 a*b=a2+2b,那么求 10*6 和 5*(2*8)。3.设 a*b=3ab1/2,求(25*12)*(10*5)。【例题【例题 2 2】设 p、q 是两个数,规定:pq=4q-(p+q)2。求 3(46)。【思路导航】【思路导航】根据定义先算 46。在这里“”是新的运算符号。练习练
3、习 2 2:1设 p、q 是两个数,规定 pq4q(p+q)2,求 5(64)。2设 p、q 是两个数,规定 pqp2+(pq)2。求 30(53)。3设 M、N 是两个数,规定 M*NM/N+N/M,求 10*201/4。【例题【例题 3 3】如果 1*5=1+11+111+1111+11111,2*4=2+22+222+2222,3*3=3+33+333,4*2=4+44,那么 7*4=_;210*2=_。【思路导航】【思路导航】经过观察,可以发现本题的新运算“*”被定义为。因此113*5=(13+5)+(13-5)=18+8=265*4=(5+4)+(5-4)=1013*(5*4)=13
4、*10=(13+10)+(13-10)=263(46)3【46(4+6)2】319419(3+19)27611657*4=7+77+777+7777=8638210*2=210+210210=210420练习练习 3 3:1如果 1*5=1+11+111+1111+11111,2*4=2+22+222+2222,3*3=3+33+333,那么4*4=_。2规定,那么 8*5=_。3如果 2*1=1/2,3*2=1/33,4*3=1/444,那么(6*3)(2*6)=_。【例题【例题 4 4】规定=123,=234,=345,=456,如果 1/1/=1/A,那么,A 是几【思路导航】【思路导航
5、】这题的新运算被定义为:=(a1)a(a1),据此,可以求出 1/1/=1/(567)1/(678),这里的分母都比较大,不易直接求出结果。根据 1/1/=1/A,可得出 A=(1/1/)1/=(1/1/)=/1。即练习练习 4 4:1规定:=123,234,345,456,如果 1/1/1/A,那么 A=_。2规定:234,345,456,567,如果 1/+1/1/,那么_。3如果 121+2,232+3+4,565+6+7+8+9+10,那么 x354 中,x_。【例题【例题 5 5】设 ab=4a2b+1/2ab,求 z(41)34 中的未知数 x。【思路导航】【思路导航】先求出小括号
6、中的 41=44-21+1/24116,再根据 x164x216+1/2x16=12x32,然后解方程 12x32=34,求出 x 的值。列算式为练习练习 5 5:1设 ab=3a2b,已知 x(41)7求 x。2对两个整数 a 和 b 定义新运算“”:ab=3对任意两个整数 x 和 y 定于新运算,“*”:x*y数)。如果 1*21,那么 3*12_。,求 64+98。(其中 m 是一个确定的整4144-21+1/24116x164x216+1/2x1612x3212x32=3412x=66xA=(1/1/)1/=(1/1/)=/1=(678)/(567)1=1 又 3/51=3/5第第 2
7、 2 讲讲简便运算(一)简便运算(一)一、知识要点一、知识要点根据算式的结构和数的特征,灵活运用运算法则、定律、性质和某些公式,可以把一些较复杂的四则混合运算化繁为简,化难为易。二、精讲精练二、精讲精练【例题【例题 1 1】计算()【思路导航】【思路导航】先去掉小括号,使和相加凑整,再运用减法的性质:abc=a(bc),使运算过程简便。所以原式+13(+)13112练习练习 1 1:计算下面各题。1 2 又 8/17+(1 又 9/17)2.7 又 5/9(+1 又 5/9)1 又 1/53.(7 又 7/86 又 17/20)4.13 又 7/13(4 又 1/4+3 又 7/13)【例题【
8、例题 2 2】计算 333387 又 1/279+79066661 又 1/4【思路导航】【思路导航】可把分数化成小数后,利用积的变化规律和乘法分配律使计算简便。所以:原式79+790790+790(+)790100000790练习练习 2 2:计算下面各题:1.1 又 1/4+125+1 又 1/24/52.975+9 又 3/4763.9 又 2/5425+1/604.+【例题【例题 3 3】计算:36+【思路导航】【思路导航】此题表面看没有什么简便算法,仔细观察数的特征后可知:36=30。这样一转化,就可以运用乘法分配律了。所以原式30+(30+)1(+)100120练习练习 3 3:计
9、算:1.45+2.52+7783.48+4.72【例题【例题 4 4】计算:3 又 3/525 又 2/56 又 2/5【思路导航】【思路导航】虽然 3 又 3/5 与 6 又 2/5 的和为 10,但是与它们相乘的另一个因数不同,因此,我们不难想到把分成和两部分。当出现时,我们又可以将看成 8,这样计算就简便多了。所以原式3 又 3/525 又 2/5(+)3 又 3/525 又 2/5(+)825480334练习练习 4 4:计算下面各题:12139137/1381371/1383【例题【例题 5 5】计算【思路导航】【思路导航】先分组提取公因数,再第二次提取公因数,使计算简便。所以原式(
10、)()1006760练习练习 5 5:12235+23513537353/85730第第 3 3 讲讲简便运算(二)简便运算(二)一、知识要点一、知识要点计算过程中,我们先整体地分析算式的特点,然后进行一定的转化,创造条件运用乘法分配律来简算,这种思考方法在四则运算中用处很大。二、精讲精练二、精讲精练【例题【例题 1 1】计算:1234234134124123【思路导航】【思路导航】整体观察全式,可以发现题中的 4 个四位数均由数 1,2,3,4 组成,且 4 个数字在每个数位上各出现一次,于是有原式11111211113111141111(1234)111110111111110练习练习 1
11、 1:12345634562456235623462345245678567846784578456845673【例题【例题 2 2】计算:2 又 4/528【思路导航】【思路导航】我们可以先整体地分析算式的特点,然后进行一定的转化,创造条件运用乘法分配律来简算。所以原式8()()10888练习练习 2 2:计算下面各题:199999777783333366666234512337713255999510【例题【例题 3 3】计算(199319941)/(199319921994)【思路导航】【思路导航】仔细观察分子、分母中各数的特点,就会发现分子中 19931994 可变形为 19921)1
12、994=199219941994,同时发现 19941=1993,这样就可以把原式转化成分子与分母相同,从而简化运算。所以原式【(19921)19941】/(199319921994)1(1992199419941)/(199319921994)1练习练习 3 3:计算下面各题:1(362548361)/(362548186)2(198819891987)/(198819891)3(2045841991)/(1992584380)1/143【例题【例题 4 4】有一串数 1,4,9,16,25,36.它们是按一定的规律排列的,那么其中第 2000 个数与 2001 个数相差多少【思路导航】【思
13、路导航】这串数中第 2000 个数是 20002,而第 2001 个数是 20012,它们相差:2001220002,即2001220002200120002000220012000(20012000)2001200020014001练习练习 4 4:计算:11991219902 29999219999 39992746274【例题【例题 5 5】计算:(9 又 2/77 又 2/9)(5/75/9)【思路导航】【思路导航】在本题中,被除数提取公因数 65,除数提取公因数 5,再把 1/7 与 1/9的和作为一个数来参与运算,会使计算简便得多。原式(65/765/9)(5/75/9)【65(1
14、/71/9)】【5(1/71/9)】65513练习练习 5 5:计算下面各题:1(8/91 又 3/76/11)(3/115/74/9)2(3 又 7/111 又 12/13)(1 又 5/1110/13)3(96 又 63/7336 又 24/25)(32 又 21/7312 又 8/25)第第 4 4 讲讲简便运算(三)简便运算(三)一、知识要点一、知识要点在进行分数运算时,除了牢记运算定律、性质外,还要仔细审题,仔细观察运算符号和数字特点,合理地把参加运算的数拆开或者合并进行重新组合,使其变成符合运算定律的模式,以便于口算,从而简化运算。二、精讲精练二、精讲精练【例题【例题 1 1】1计
15、算:(1)441537(2)274526(1)原式(11)3745113713745373745183645练习练习 1 1用简便方法计算下面各题:1142111.8 2.126 3.351525364.73741997 5.19997519981【例题【例题 2 2】计算:73111581原式(72+161)158116172 +8158129+1592151练习练习 2 2计算下面各题:11111.64 2.22179202111113143.57 4.41 +51763445【例题【例题 3 3】113计算:27+415533原式9+415513(9+41)53505130练习练习 3
16、3计算下面各题:113151511.39+27 2.35+17 3.5+5+104466888【例题【例题 4 4】1515256计算:+6139131813152565原式+613913181311265(+)69181313518131518练习练习 4 4计算下面各题:114511331611 +2.+1791797476712516115531711379+50 +4.+3917991717815161521【例题【例题 5 5】计算:(1)1661199841(2)199819982019991解:(1)原式(164+21)412016441+414120114+2041201练习练
17、习 5 5计算下面各题:2238111.5417 2.238238 3.16341523913391第第 5 5 讲讲简便运算(四)简便运算(四)一、知识要点一、知识要点前面我们介绍了运用定律和性质以及数的特点进行巧算和简算的一些方法,下面再向同学们介绍怎样用拆分法(也叫裂项法、拆项法)进行分数的简便运算。运用拆分法解题主要是使拆开后的一些分数互相抵消,达到简化运算的目的。一般地,111111形如的分数可以拆成;形如的分数可以拆成(a(a+1)aa+1a(a+n)na1a+b11),形如的分数可以拆成 +等等。同学们可以结合例题思考其中的规律。a+nabab二、精讲精练二、精讲精练【例题【例题
18、 1 1】1111计算:+.+1223349910011111111原式(1)+()+()+.+()223349910011111111 +.+2233499100111100991001练习练习 1 1计算下面各题:11111.+.+45566739401111112.+101111121213131414151111113.+2612203042111114.1 +6425672【例题【例题 2 2】11111计算:+.+244668485022221原式(+.+)244668485021111111111【()+()+().+()】24466848502111【】25021625练习练习
19、 2 2计算下面各题:11.11111111+.+2.+.+35577997991447710971001111111113.+.+4.+15599133337428701302081【例题【例题 3 3】179111315计算:1+31220304256111111111111原式1(+)+(+)(+)+(+)(+)33445566778111111111111 +334455667781118781练习练习 3 3计算下面各题:157911+26122030119111315+420304256199819981998199819983.+1223344556179116+6122030【
20、例题【例题 4 4】1111111计算:+24816326411111111原式(+)24816326464641116463641练习练习 4 4计算下面各题:11111.+2482561222222.+3927812433.+【例题【例题 5 5】111111111111111计算:(1+)(+)(1+)(+)23423452345234111111设 1+a+b234234111原式a(b+)(a+)b5511ab+aab b5511(ab)5151练习练习 5 511111111111111111.(+)(+)(+)(+)23453456234563451111111111111111
21、12.(+)(+)(+)(+)891011910111289101112910113.(1+1111111111+)(+)(1+19992000200119992000200120021999200020011111)(+)20021999200020011第第 6 6 讲讲转化单位“转化单位“1 1”(一)(一)一、知识要点一、知识要点把不同的数量当作单位“1”,得到的分率可以在一定的条件下转化。如果甲是乙的 a/b,乙是丙的 c/d,则甲是丙的 ac/bd;如果甲是乙的 a/b,则乙是甲的 b/a;如果甲的 a/b 等于乙的 c/d,则甲是乙的 c/da/bbc/ad,乙是甲的 a/ba/
22、bad/bc。二、精讲精练二、精讲精练【例题【例题 1 1】乙数是甲数的 2/3,丙数是乙数的 4/5,丙数是甲数的几分之几2/34/58/15练习练习 1 1:1乙数是甲数的 3/4,丙数是乙数的 3/5,丙数是甲数的几分之几2一根管子,第一次截去全长的 1/4,第二次截去余下的 1/2,两次共截去全长的几分之几3一个旅客从甲城坐火车到乙城,火车行了全程的一半时旅客睡着了。他醒来时,发现剩下的路程是他睡着前所行路程的 1/4。想一想,剩下的路程是全程的几分之几他睡着时火车行了全程的几分之几【例题【例题 2 2】修一条 8000 米的水渠,第一周修了全长的 1/4,第二周修的相当于第一周的 4
23、/5,第二周修了多少米解一:80001/44/51600(米)解二:8000(1/44/5)1600(米)答:第二周修了 1600 米。练习练习 2 2:用两种方法解答下面各题:1一堆黄沙 30 吨,第一次用去总数的 1/5,第二次用去的是第一次的 1 又 1/4 倍,第二次用去黄沙多少吨2大象可活 80 年,马的寿命是大象的 1/2,长颈鹿的寿命是马的 7/8,长颈鹿可活多少年3仓库里有化肥 30 吨,第一次取出总数的 1/5,第二次取出余下的 1/3,第二次取出多少吨【例题【例题 3 3】晶晶三天看完一本书,第一天看了全书的1/4,第二天看了余下的2/5,第二天比第一天多看了 15 页,这
24、本书共有多少页解:15【(11/4)2/5 1/4】300(页)答:这本书有 300 页。练习练习 3 3:1有一批货物,第一天运了这批货物的 1/4,第二天运的是第一天的 3/5,还剩 90吨没有运。这批货物有多少吨2修路队在一条公路上施工。第一天修了这条公路的 1/4,第二天修了余下的 2/3,已知这两天共修路 1200 米,这条公路全长多少米3加工一批零件,甲先加工了这批零件的 2/5,接着乙加工了余下的 4/9。已知乙加工的个数比甲少 200 个,这批零件共有多少个【例题【例题 4 4】男生人数是女生人数的 4/5,女生人数是男生人数的几分之几解:把女生人数看作单位“1”。14/55/
25、4把男生人数看作单位“1”。545/4练习练习 4 4:1停车场里有小汽车的辆数是大汽车的 3/4,大汽车的辆数是小汽车的几分之几2如果山羊的只数是绵羊的 6/7,那么绵羊的只数是山羊的几分之几3如果花布的单价是白布的 1 又 3/5 倍,则白布的单价是花布的几分之几【例题【例题 5 5】甲数的 1/3 等于乙数的 1/4,甲数是乙数的几分之几,乙数是甲数的几倍解:1/41/33/4 1/31/41 又 1/3答:甲数是乙数的 3/4,乙数是甲数的 1 又 1/3。练习练习 5 5:1甲数的 3/4 于乙数的 2/5,甲数是乙数的几分之几乙数是甲数的几分之几2甲数的 1 又 2/3 倍等于乙数
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