(新课标)2020版高考数学二轮复习专题一三角函数与解三角形第2讲三角恒等变换与解三角形学案文新人教.pdf
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1、第 2 讲 三角恒等变换与解三角形 做真题 1(2019高考全国卷)已知错误!,2sin 2cos 21,则 sin()A.错误!B.错误!C.错误!D.错误!解析:选 B。由 2sin 2cos 21,得 4sin cos 12 sin21,即 2sin cos 1sin2.因为错误!,所以 cos 错误!,所以 2sin 错误!1sin2,解得 sin 错误!,故选 B.2(2019高考全国卷)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c。已知asin Absin B4csin C,cos A错误!,则错误!()A6 B5 C4 D3 解析:选 A.由题意及正弦定理得,b2a24c2,所以
2、由余弦定理得,cos A错误!3c22bc错误!,得错误!6.故选 A。3(一题多解)(2018高考全国卷)已知 tan错误!错误!,则 tan _ 解析:法一:因为 tan错误!错误!,所以错误!错误!,即错误!错误!,解得 tan 错误!。法二:因为 tan错误!错误!,所以 tan tan错误!错误!错误!错误!。答案:错误!4(2019高考全国卷)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知asin错误!bsin A。(1)求B;(2)若ABC为锐角三角形,且c1,求ABC面积的取值范围 解:(1)由题设及正弦定理得 sin Asin错误!sin Bsin A.因为 sin A0
3、,所以 sin错误!sin B。由ABC180,可得 sin错误!cos错误!,故 cos错误!2sin错误!cos错误!.因为 cos错误!0,故 sin错误!错误!,因此B60。(2)由题设及(1)知ABC的面积SABC错误!a。由正弦定理得a错误!错误!错误!错误!。由于ABC为锐角三角形,故 0A90,0C90。由(1)知AC120,所以 30C90,故错误!a2,从而错误!SABC错误!。因此,ABC面积的取值范围是错误!。明考情 1高考对此部分的考查一般以“二小或“一大”的命题形式出现 2若无解答题,一般在选择题或填空题各有一题,主要考查三角恒等变换、解三角形,难度一般 3若以解答
4、题形式出现,主要考查三角函数与解三角形的综合问题,一般出现在解答题第 17、18 题位置上,难度中等 三角恒等变换及求值(综合型)知识整合 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)sin()sin cos cos sin。(2)cos()cos cos sin sin。(3)tan()错误!.二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin 22sin cos.(2)cos 2cos2sin22cos2112sin2。(3)tan 2错误!。典型例题 (1)若错误!错误!sin 2,则 sin 2()A.13 B。错误!C错误!D错误!(2)若,错误!,sin 错误!,cos错误!错误!,则()A。错误
5、!B.错误!C。错误!D.错误!【解析】(1)因为错误!错误!sin 2,所以错误!错误!sin 2,即 2(cos sin)错误!sin 2,两边平方得:4(1sin 2)3sin22,即 3sin224sin 240。解得:sin 22(舍去)或 sin 223。(2)由 sin 错误!,及错误!,得 cos 错误!,由 cos错误!sin 错误!,及)02,得 cos 错误!,所以 sin()sin cos cos sin 错误!错误!错误!错误!错误!,又因为(错误!,错误!),所以错误!.【答案】(1)C(2)B 错误!三角函数恒等变换的“四大策略”(1)常值代换:特别是“1”的代换
6、,1sin2cos2tan 45等 (2)项的分拆与角的配凑:如 sin22cos2(sin2cos2)cos2,()等(3)降次与升次:正用二倍角公式升次,逆用二倍角公式降次(4)弦、切互化:一般是切化弦 对点训练 1.错误!cos 154sin215cos 15()A.错误!B。错误!C1 D。错误!解析:选 D。3cos 154sin215cos 15 错误!cos 152sin 152sin 15cos 15 错误!cos 152sin 15sin 30 错误!cos 15sin 152cos(1530)错误!。2已知 tan错误!错误!,则 cos2错误!()A.错误!B。错误!C.
7、错误!D。错误!解析:选 B。tan错误!错误!错误!,解得 tan 错误!,故 cos2错误!错误!错误!错误!sin cos,其中 sin cos 错误!错误!错误!,故错误!sin cos 错误!.3(一题多解)(2019福州市质量检测)已知 sin错误!错误!,且错误!,则 cos错误!()A0 B。错误!C1 D。错误!解析:选 C.法一:由 sin6错误!,且错误!得,错误!,所以 cos错误!cos 01,故选 C。法二:由 sin错误!错误!,且错误!得,cos错误!错误!,所以 cos错误!cos错误!cos错误!cos错误!sin错误!sin错误!1,故选 C。正弦定理与余
8、弦定理的应用(综合型)知识整合 正弦定理及其变形 在ABC中,错误!错误!错误!2R(R为ABC的外接圆半径)变形:a2Rsin A,sin A错误!,abcsin Asin Bsin C等 余弦定理及其变形 在ABC中,a2b2c22bccos A;变形:b2c2a22bccos A,cos Ab2c2a22bc.三角形面积公式 SABC错误!absin C错误!bcsin A错误!acsin B。典型例题 (2019高考全国卷)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,设(sin Bsin C)2sin2Asin Bsin C。(1)求A;(2)若错误!ab2c,求 sin C.【解】
9、(1)由已知得 sin2Bsin2Csin2Asin Bsin C,故由正弦定理得b2c2a2bc.由余弦定理得 cos A错误!错误!。因为 0A180,所以A60。(2)由(1)知B120C,由题设及正弦定理得错误!sin Asin(120C)2sin C,即错误!错误!cos C错误!sin C2sin C,可得 cos(C60)错误!.由于 0C120,所以 sin(C60)错误!,故 sin Csin(C6060)sin(C60)cos 60cos(C60)sin 60 错误!.错误!正、余弦定理的适用条件(1)“已知两角和一边”或“已知两边和其中一边的对角”应采用正弦定理(2)“已
10、知两边和这两边的夹角”或“已知三角形的三边”应采用余弦定理 对点训练 1(2019济南市模拟考试)在ABC中,AC错误!,BC错误!,cos A错误!,则ABC的面积为()A。错误!B5 C10 D。错误!解析:选 A。由AC错误!,BC错误!,BC2AB2AC22ACABcos A,得AB24AB50,解得AB5,而 sin A1cos2A错误!,故SABC错误!5错误!错误!错误!.选A。2(2019贵阳市第一学期监测)已知锐角ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a1,2acos Cc2b,则角A_ 解析:由题意,2acos Cc2b,利用正弦定理,得 2sin Acos Cs
11、in C2sin B,(1),将 sin Bsin(AC)sin Acos Ccos Asin C代入(1)式得 sin C2cos Asin C,又 sin C0,故 cos A错误!,所以A错误!。答案:3 3(2019洛阳市统考)如图,四边形ABCD中,AC 3BC,AB4,ABC3.(1)求ACB;(2)若ADC错误!,四边形ABCD的周长为 10,求四边形ABCD的面积 解:(1)设BCa,则AC 3a,由余弦定理AC2AB2BC22ABBCcosABC,得 3a242a224a错误!,所以a22a80,所以a2 或a4(舍去),所以AB2AC2BC2,所以ACB2.(2)因为四边形
12、ABCD的周长为 10,AB4,BC2,所以ADCD4。又AC2AD2DC22ADDCcosADC,即 12AD2DC2ADDC(ADDC)2ADDC,所以ADDC4.所以SADC错误!ADDCsin错误!错误!.所以S四边形ABCDSABCSADC2错误!错误!3错误!.与解三角形有关的交汇问题(交汇型)典型例题 已知函数f(x)sin2xcos2x2 3sin xcos x(xR)(1)求f(x)的最小正周期;(2)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若f(BAC)2,c5,cos B错误!,求中线AD的长【解】(1)f(x)cos 2x错误!sin 2x2sin错误!,所以最
13、小正周期T错误!,所以函数f(x)的最小正周期为.(2)由(1)知f(x)2sin错误!。因为f(BAC)2,所以 sin错误!1,所以 2BAC错误!错误!,所以BAC错误!,又 cos B错误!,所以 sin B错误!,所以 sin Csin(BACB)错误!错误!错误!错误!错误!。在ABC中,由正弦定理错误!错误!,得错误!错误!,所以a7,所以BD错误!.在ABD中,由余弦定理得AD2AB2BD22ABBDcos B52错误!错误!2572错误!错误!。所以AD错误!。错误!(1)该题是解三角形与三角函数的综合型问题,三角函数在该题中的作用就是利用函数值给出三角形的内角BAC,此时的
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