高考数学一轮复习第6章不等式推理与证明第3节基本不等式教师用书文新人教A版.doc
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1、1 / 12【2019【2019 最新最新】精选高考数学一轮复习第精选高考数学一轮复习第 6 6 章不等式推理与章不等式推理与证明第证明第 3 3 节基本不等式教师用书文新人教节基本不等式教师用书文新人教 A A 版版考纲传真 1.了解基本不等式的证明过程.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题1基本不等式ab 2(1)基本不等式成立的条件:a0,b0.(2)等号成立的条件:当且仅当 ab.2几个重要的不等式(1)a2b22ab(a,bR);(2)2(a,b 同号且不为零);(3)ab2(a,bR);(4)2(a,bR)3算术平均数与几何平均数设 a0,b0,则 a,b 的算术平均数为,
2、几何平均数为,基本不等式可叙述为:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数4利用基本不等式求最值问题已知 x0,y0,则(1)如果 xy 是定值 p,那么当且仅当 xy 时,xy 有最小值是2(简记:积定和最小)2 / 12(2)如果 xy 是定值 q,那么当且仅当 xy 时,xy 有最大值是(简记:和定积最大)1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“” ,错误的打“”)(1)函数 yx的最小值是 2.( )(2)函数 f(x)cos x,x的最小值等于 4.( )(3)x0,y0 是2 的充要条件( )(4)若 a0,则 a3的最小值为 2.( )答案 (1) (2) (3) (4)2
3、若 a,bR,且 ab0,则下列不等式中,恒成立的是( )Aa2b22abBab2abC.2abD.2D D a2a2b2b22ab2ab(a(ab)20b)20,AA 错误;对于错误;对于 B B,C C,当,当a0,22.3(2016安徽合肥二模)若 a,b 都是正数,则的最小值为( )A7 B8C9D10C C aa,b b 都是正数,都是正数,5 5552 29 9,当且仅当,当且仅当b b2a02a0 时取等号,故选时取等号,故选 C.C.4若函数 f(x)x(x2)在 xa 处取最小值,则 a 等于( )【导学号:31222209】A1B133 / 12C3D4C C 当当 x2x
4、2 时,时,x x2020,f(x)f(x)(x(x2)2)22222 24 4,当且,当且仅当仅当 x x2 2(x2)(x2),即,即 x x3 3 时取等号,即当时取等号,即当 f(x)f(x)取得最小值时,取得最小值时,x x3 3,即,即 a a3 3,选,选 C.C.5(教材改编)若把总长为 20 m 的篱笆围成一个矩形场地,则矩形场地的最大面积是_m2.25 设矩形的一边为 x m,矩形场地的面积为 y,则另一边为(202x)(10x)m,则 yx(10x)225,当且仅当 x10x,即 x5 时,ymax25.利用基本不等式求最值(1)(2015湖南高考)若实数 a,b 满足,
5、则 ab 的最小值为( )A. B2C2D4(2)(2017郑州二次质量预测)已知正数 x,y 满足x22xy30,则 2xy 的最小值是_(1)C (2)3 (1)由知 a0,b0,所以2,即ab2,当且仅当即 a,b2 时取“” ,所以 ab 的最小值为 2.(2)由 x22xy30 得 yx,则2xy2xx23,当且仅当 x1 时,等号成立,所以2xy 的最小值为 3.规律方法 1.利用基本不等式求函数最值时,注意“一正、二定、三相等,和定积最大,积定和最小” 2在求最值过程中若不能直接使用基本不等式,可以考虑利用4 / 12拆项、配凑、常数代换、平方等技巧进行变形,使之能够使用基本不等
6、式变式训练 1 (1)(2016湖北七市 4 月联考)已知 a0,b0,且 2ab1,若不等式m 恒成立,则 m 的最大值等于( )A10B9C8D7(2)(2016湖南雅礼中学一模)已知实数 m,n 满足mn0,mn1,则的最大值为_(1)B (2)4 (1)41525229,当且仅当 ab时取等号又m,m9,即 m 的最大值等于 9,故选 B.(2)mn0,mn1,m0,b0,ab1,求证:(1)8;(2)9.证明 (1)2,ab1,a0,b0,2224,3 分8(当且仅当 ab时等号成立).5 分(2)法一:a0,b0,ab1,112,同理 12,5 / 12(2b a)(2a b)52
7、549,10 分9(当且仅当 ab时等号成立).12 分法二:1,由(1)知,8,10 分故19.12 分规律方法 1.“1”的代换是解决问题的关键,代换变形后能使用基本不等式是代换的前提,不能盲目变形2利用基本不等式证明不等式,关键是所证不等式必须是有“和”式或“积”式,通过将“和”式转化为“积”式或将“积”式转化为“和”式,达到放缩的效果,必要时,也需要运用“拆、拼、凑”的技巧,同时应注意多次运用基本不等式时等号能否取到变式训练 2 设 a,b 均为正实数,求证:ab2. 【导学号:31222210】证明 由于 a,b 均为正实数,所以2,3 分当且仅当,即 ab 时等号成立,又因为ab2
8、2,当且仅当ab 时等号成立,所以abab2,8 分当且仅当即 ab时取等号.12 分基本不等式的实际应用运货卡车以每小时 x 千米的速度匀速行驶 130 千米,按交通法规限制 50x100(单位:千米/时)假设汽油的价格是每升6 / 122 元,而汽车每小时耗油升,司机的工资是每小时 14 元(1)求这次行车总费用 y 关于 x 的表达式;(2)当 x 为何值时,这次行车的总费用最低,并求出最低费用的值解 (1)设所用时间为 t(h),y214,x50,100.2 分所以这次行车总费用 y 关于 x 的表达式是yx,x.(或 yx,x).5 分(2)yx26 ,当且仅当x,即 x18,等号成
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