高考数学一轮复习第6章不等式推理与证明第4节合情推理与演绎推理教师用书文新人教A版.doc
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1、1 / 15【2019【2019 最新最新】精选高考数学一轮复习第精选高考数学一轮复习第 6 6 章不等式推理与章不等式推理与证明第证明第 4 4 节合情推理与演绎推理教师用书文新人教节合情推理与演绎推理教师用书文新人教 A A 版版考纲传真 1.了解合情推理的含义,能进行简单的归纳推理和类比推理,体会合情推理在数学发现中的作用.2.了解演绎推理的含义,了解合情推理和演绎推理的联系和差异;掌握演绎推理的“三段论” ,能运用“三段论”进行一些简单的演绎推理1合情推理类型定义特点归纳推理根据一类事物的部分对象具有某种特征,推出这类事物的全部对象都具有这种特征的推理由部分到整体、由个别到一般类比推理
2、由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征,推出另一类对象也具有这些特征的推理由特殊到特殊2.演绎推理(1)定义:从一般性的原理出发,推出某个特殊情况下的结论,我们把这种推理称为演绎推理简言之,演绎推理是由一般到特殊的推理(2)“三段论”是演绎推理的一般模式,包括:大前提已知的一般原理;小前提所研究的特殊情况;结论根据一般原理,对特殊情况做出的判断1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“” ,错误的2 / 15打“”)(1)归纳推理与类比推理都是由特殊到一般的推理( )(2)在类比时,平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适( )(3)“所有 3 的倍数都是 9
3、的倍数,某数 m 是 3 的倍数,则 m 一定是 9 的倍数” ,这是三段论推理,但其结论是错误的( )(4)在演绎推理中,只要符合演绎推理的形式,结论就一定正确( )答案 (1) (2) (3) (4)2由“半径为 R 的圆内接矩形中,正方形的面积最大” ,推出“半径为 R 的球的内接长方体中,正方体的体积最大”是( )A归纳推理B类比推理C演绎推理D以上都不是B B 类比推理的一般步骤是:类比推理的一般步骤是:(1)(1)找出两类事物之间的相似性或找出两类事物之间的相似性或一致性一致性(2)(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一
4、个明确的命题明确的命题( (猜想猜想) )所以,由所以,由“半径为半径为 R R 的圆内接矩形中,正方形的圆内接矩形中,正方形的面积最大的面积最大” ,推理出,推理出“半径为半径为 R R 的球的内接长方体中,正方体的体的球的内接长方体中,正方体的体积最大积最大”是类比推理,选是类比推理,选 B.B.3(教材改编)已知数列an中,a11,n2 时,anan12n1,依次计算 a2,a3,a4 后,猜想 an 的表达式是( )Aan3n1Ban4n3Cann2Dan3n1C C a1a11 1,a2a24 4,a3a39 9,a4a41616,猜想,猜想 anann2.n2.4 “因为指数函数
5、yax 是增函数(大前提),而 yx 是指数函数(小前提),所以函数 yx 是增函数(结论)” ,上面推理的错误在3 / 15于( )A大前提错误导致结论错误B小前提错误导致结论错误C推理形式错误导致结论错误D大前提和小前提错误导致结论错误A A “指数函数指数函数 y yaxax 是增函数是增函数”是本推理的大前提,它是错是本推理的大前提,它是错误的因为实数误的因为实数 a a 的取值范围没有确定,所以导致结论是错误的的取值范围没有确定,所以导致结论是错误的 5(2014全国卷)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A,B,C 三个城市时,甲说:我去过的城市比乙多,但没去过 B 城市;乙说:我没去
6、过 C 城市;丙说:我们三人去过同一城市由此可判断乙去过的城市为_A A 由题意可推断:甲没去过由题意可推断:甲没去过 B B 城市,但比乙去的城市多,而城市,但比乙去的城市多,而丙说丙说“三人去过同一城市三人去过同一城市” ,说明甲去过,说明甲去过 A A,C C 城市,而乙城市,而乙“没去过没去过C C 城市城市” ,说明乙去过城市,说明乙去过城市 A A,由此可知,乙去过的城市为,由此可知,乙去过的城市为 A.A.归纳推理(1)(2016武汉 4 月调研)数列, , , , , , , , ,的第 20 项是( )A. B. C. D.6 7(2)(2016山东高考)观察下列等式:221
7、2;(sin 3)222223;(sin 5)4 / 15222234;222245;(sin 7)照此规律,2222_.(sin 2n1)(1)C (2)n(n1) (1)数列在数列中是第 123m项,当 m5 时,即是数列中第 15 项,则第 20 项是,故选 C.(2)通过观察已给出等式的特点,可知等式右边的是个固定数,后面第一个数是等式左边最后一个数括号内角度值分子中 的系数的一半,后面第二个数是第一个数的下一个自然数,所以,所求结果为n(n1),即 n(n1)规律方法 1.常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类:(1)数的归纳包括数字归纳和式子归纳,解决此类问题时,需要细心观察,寻
8、求相邻项及项与序号之间的关系,同时还要联系相关的知识,如等差数列、等比数列等;(2)形的归纳主要包括图形数目归纳和图形变化规律归纳,合理利用特殊图形归纳推理得出结论,并用赋值检验法验证其真伪性2归纳推理的一般步骤:(1)通过观察个别情况发现某些相同性质;(2)从相同性质中推出一个明确表述的一般性命题变式训练 1 (1)已知 x(0,),观察下列各式:x2,x3,x4,类比得xn1(nN*),则 a_.(2)下面图形由小正方形组成,请观察图 641(1)至图(4)的规律,并依此规律,写出第 n 个图形中小正方形的个数是_. 5 / 15【导学号:31222221】图 641(1)nn(nN*)
9、(2)(nN*) (1)第一个式子是 n1 的情况,此时 a111;第二个式子是 n2 的情况,此时 a224;第三个式子是 n3 的情况,此时 a3327,归纳可知 ann.(2)由题图知第 n 个图形的小正方形个数为 123n.所以总个数为(nN*)类比推理(1)(2016陕西师大附中模拟)若数列an是等差数列,则数列bn也是等差数列,类比这一性质可知,若正项数列cn是等比数列,且dn也是等比数列,则 dn 的表达式应为( )Adn Bdnc1c2cn nCdnDdnnc1c2cn(2)(2016贵州六校联考)在平面几何中,ABC 的C 的平分线 CE 分 AB 所成线段的比为.把这个结论
10、类比到空间:在三棱锥ABCD 中(如图 642),DEC 平分二面角 ACDB 且与 AB 相交于 E,则得到类比的结论是_图 642(1)D (2) (1)法一:从商类比开方,从和类比到积,则算术平均数可以类比几何平均数,故 dn 的表达式为 dn.法二:若an是等差数列,则a1a2anna1d,bna1dna1,即bn为等差数列;若cn是等比数列,则 c1c2cncq12(n1)cq,dnc1q,即dn为等比数列,故选 D.6 / 15(2)由平面中线段的比转化为空间中面积的比可得.规律方法 1.进行类比推理,应从具体问题出发,通过观察、分析、联想进行对比,提出猜想,其中找到合适的类比对象
11、是解题的关键2类比推理常见的情形有:平面与空间类比;低维与高维类比;等差数列与等比数列类比;运算类比(和与积、乘与乘方,差与除,除与开方)数的运算与向量运算类比;圆锥曲线间的类比等变式训练 2 给出下面类比推理(其中 Q 为有理数集,R 为实数集,C 为复数集):“若 a,bR,则 ab0ab”类比推出“a,cC,则ac0ac” ;“若 a,b,c,dR,则复数 abicdiac,bd”类比推出“a,b,c,dQ,则 abcdac,bd” ;“a,bR,则 ab0ab”类比推出“若 a,bC,则ab0ab” ;“若 xR,则|x|11x1”类比推出“若 zC,则|z|11z1.”其中类比结论正
12、确的个数为( )A1 B2C3D4B B 类比结论正确的有类比结论正确的有.演绎推理数列an的前 n 项和记为 Sn,已知a11,an1Sn(nN*)证明:(1)数列是等比数列;(2)Sn14an. 【导学号:31222222】7 / 15证明 (1)an1Sn1Sn,an1Sn,(n2)Snn(Sn1Sn),即 nSn12(n1)Sn.2 分2,又10,(小前提)故是以 1 为首项,2 为公比的等比数列(结论)(大前提是等比数列的定义,这里省略了)5 分(2)由(1)可知4(n2),Sn14(n1)4Sn14an(n2),(小前提)8 分又 a23S13,S2a1a21344a1,(小前提)
13、对于任意正整数 n,都有 Sn14an.(结论)(第(2)问的大前提是第(1)问的结论以及题中的已知条件)12 分规律方法 演绎推理的一般模式为三段论,三段论推理的依据是:如果集合 M 的所有元素都具有性质 P,S 是 M 的子集,那么 S中所有元素都具有性质 P.应用三段论解决问题时,首先应该明确什么是大前提,小前提,然后再找结论变式训练 3 如图 643 所示,D,E,F 分别是 BC,CA,AB上的点,BFDA,且 DEBA.求证:EDAF(要求注明每一步推理的大前提、小前提和结论,并最终把推理过程用简略的形式表示出来)图 643证明 (1)同位角相等,两条直线平行,(大前提)BFD 与
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