高考数学大一轮复习第七章不等式7-4基本不等式及其应用教师用书.doc
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1、1 / 17【2019【2019 最新最新】精选高考数学大一轮复习第七章不等式精选高考数学大一轮复习第七章不等式 7-47-4 基基本不等式及其应用教师用书本不等式及其应用教师用书1基本不等式ab 2(1)基本不等式成立的条件:a0,b0.(2)等号成立的条件:当且仅当 ab 时取等号2几个重要的不等式(1)a2b22ab(a,bR)(2)2(a,b 同号)(3)ab2 (a,bR)(4)2 (a,bR)以上不等式等号成立的条件均为 ab.3算术平均数与几何平均数设 a0,b0,则 a,b 的算术平均数为,几何平均数为,基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数4利用基本不等
2、式求最值问题已知 x0,y0,则(1)如果积 xy 是定值 p,那么当且仅当 xy 时,xy 有最小值2.(简记:积定和最小)(2)如果和 xy 是定值 p,那么当且仅当 xy 时,xy 有最大值.(简记:和定积最大)2 / 17【知识拓展】不等式的恒成立、能成立、恰成立问题(1)恒成立问题:若 f(x)在区间 D 上存在最小值,则不等式 f(x)A在区间 D 上恒成立f(x)minA(xD);若 f(x)在区间 D 上存在最大值,则不等式 f(x)A 成立f(x)maxA(xD);若 f(x)在区间 D 上存在最小值,则在区间 D 上存在实数 x 使不等式f(x)A 恰在区间 D 上成立f(
3、x)A 的解集为 D;不等式 f(x)0 且 y0”是“2”的充要条件( )(4)若 a0,则 a3的最小值为 2.( )(5)不等式 a2b22ab 与有相同的成立条件( )(6)两个正数的等差中项不小于它们的等比中项( )1(教材改编)设 x0,y0,且 xy18,则 xy 的最大值为( )3 / 17A80 B77 C81 D82答案 C解析 x0,y0,即 xy()281,当且仅当 xy9 时,(xy)max81.2(教材改编)已知 x0,a0,当 yx取最小值时,x 的值为( )A1 Ba C. D2a答案 C解析 yx2,当且仅当 x即 x时,yx有最小值 2.3若 a0,b0,且
4、 ab4,则下列不等式恒成立的是( )A. B.1C.2 Da2b28答案 D解析 4ab2(当且仅当 ab 时,等号成立),即2,ab4,选项 A,C 不成立;1,选项 B 不成立;a2b2(ab)22ab162ab8,选项 D 成立4(2016宁波期末)若正数 x,y 满足 x24y2x2y1,则 xy的最大值为_答案 2 34解析 由题意得4 / 171x24y2x2y4xy2,则,则 xy()2.题型一 利用基本不等式求最值命题点 1 通过配凑法利用基本不等式例 1 (1)已知 01)的最小值为_答案 (1) (2)1 (3)22解析 (1)x(43x)(3x)(43x)2,当且仅当
5、3x43x,即 x时,取等号(2)因为 x0,则 f(x)4x2(54x)3231.当且仅当 54x,即 x1 时,等号成立故 f(x)4x2的最大值为 1.(3)yx22x12x23 x1x122x13 x1(x1)222.当且仅当(x1),即 x1 时,等号成立命题点 2 通过常数代换法利用基本不等式例 2 已知 a0,b0,ab1,则的最小值为_答案 45 / 17解析 a0,b0,ab1,2a b224,即的最小值为 4,当且仅当 ab时等号成立引申探究1若条件不变,求(1)(1)的最小值解 (1)(1)(1)(1)(2)(2)52()549.当且仅当 ab时,取等号2已知 a0,b0
6、,4,求 ab 的最小值解 由4,得1.ab()(ab)2 1.当且仅当 ab时取等号3若将条件改为 a2b3,求的最小值解 a2b3,ab1,()(ab)2b 3a12 1.当且仅当 ab 时,取等号思维升华 (1)应用基本不等式解题一定要注意应用的前提:“一正”“二定” “三相等” 所谓“一正”是指正数, “二定”是指应用基本不等式求最值时,和或积为定值, “三相等”是指满足等号成立的条件6 / 17(2)在利用基本不等式求最值时,要根据式子的特征灵活变形,配凑出积、和为常数的形式,然后再利用基本不等式(3)条件最值的求解通常有两种方法:一是消元法,即根据条件建立两个量之间的函数关系,然后
7、代入代数式转化为函数的最值求解;二是将条件灵活变形,利用常数“1”代换的方法构造和或积为常数的式子,然后利用基本不等式求解最值(1)若正数 x,y 满足 x3y5xy,则 3x4y 的最小值是_(2)已知 x,y(0,),2x3()y,若(m0)的最小值为 3,则 m_.答案 (1)5 (2)4解析 (1)方法一 由 x3y5xy,可得1,3x4y(3x4y)()5.当且仅当,即 x1,y时,等号成立,3x4y 的最小值是 5.方法二 由 x3y5xy,得 x,x0,y0,y,3x4y4y4y4(y)25,当且仅当 y时等号成立,(3x4y)min5.7 / 17(2)由 2x3()y 得 x
8、y3,(xy)()1 x(1m)(1m2)(当且仅当,即 yx 时取等号),(1m2)3,解得 m4.题型二 基本不等式的实际应用例 3 某公司购买一批机器投入生产,据市场分析,每台机器生产的产品可获得的总利润 y(单位:万元)与机器运转时间 x(单位:年)的关系为 yx218x25(xN*),则该公司年平均利润的最大值是_万元答案 8解析 年平均利润为x18(x)18,x2 10,18(x)18108,当且仅当 x即 x5 时,取等号思维升华 (1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后,只需利用基本不等式求得函数的最值8 / 17(3)在求函
9、数的最值时,一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解某车间分批生产某种产品,每批的生产准备费用为 800元若每批生产 x 件,则平均仓储时间为天,且每件产品每天的仓储费用为 1 元为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小,每批应生产产品_件答案 80解析 设每件产品的平均费用为 y 元,由题意得y2 20.当且仅当(x0),即 x80 时“”成立题型三 基本不等式的综合应用命题点 1 基本不等式与其他知识交汇的最值问题例 4 (1)(2016杭州二模)正实数 x,y 满足:1,则x2y210xy 的最小值为_(2)(2016山西忻州一中等第一次联考)设等差数列an的
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- 高考 数学 一轮 复习 第七 不等式 基本 及其 应用 教师
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