指数型对数型函数模型的应用实例.pptx
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1、 2003年5月8日,西安交通大学医学院紧急启动“建立非典流行趋势预测与控制策略数学模型”研究项目,马知恩教授率领一批专家昼夜攻关,于5月19日初步完成了第一批成果,并制成了供决策部门参考的应用软件。这一数学模型利用实际数据拟合参数,并对全国和北京、山西等地的疫情进行了计算仿真,结果指出,将患者及时隔离对于抗击非典至关重要.分析报告说,就全国而论,非典病人延迟隔离1天,就医人数将增加1000人左右;若外界输入1000人中包含一个病人和一个潜伏病人,将增加患病人数100人左右;若4月21日以后,政府不采取隔离措施,则高峰期病人人数将达60万人。这项研究在充分考虑传染病控制中心每日发布的数据,建立
2、了非典流行趋势预测动力学模型和优化控制模型,并对非典未来的流行趋势做了分析预测。第1页/共25页例例1.1.按复利计算利息的一种储蓄,本金为按复利计算利息的一种储蓄,本金为a a元,每期利率元,每期利率为为r r,设本利和为,设本利和为y y,存期为,存期为x x,写出本利和,写出本利和y y随存期随存期x x变化变化的函数式。如果存入本金的函数式。如果存入本金10001000元,每期利率元,每期利率2.25%2.25%,试计,试计算算5 5期后的本利和是多少?期后的本利和是多少?复利是计算利率的一个方法,即把前一期的利息和本金加复利是计算利率的一个方法,即把前一期的利息和本金加在一起做本金,
3、再计算下一期的利息,设本金为在一起做本金,再计算下一期的利息,设本金为P P,每期利,每期利率为率为r r,本利和为,本利和为y,y,存期为存期为x,x,则复利函数式为则复利函数式为y=p(1+r)y=p(1+r)x x.思路分析 第2页/共25页解:1期后本利和为:2期后本利和为:x期后,本利和为:将a=1000元,r=2.25%,x=5代入上式:由计算器算得:y=1117.68(元)第3页/共25页其中其中t t表示经过的时间,表示经过的时间,表示表示t t0 0时的人口数,时的人口数,r r表示人口的年平均增长率表示人口的年平均增长率.例2.人口问题是当今世界各国普遍关注的问题,认识人口
4、数量的变化规律,可以为有效控制人口增长提供依据。早在1798年,英国经济学家马尔萨斯(T.R.Malthus,1766-1834)就提出了自然状态下的人口增长模型:第4页/共25页年份19501950195119511952195219531953195419541955195519561956195719571958195819591959人数万人5519655196563005630057482574825879658796602666026661456614566282862828645636456365994659946720767207下表是下表是1950195019591959年我
5、国的人口数据资料:年我国的人口数据资料:(1)(1)如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率(精确到率(精确到0.00010.0001),用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时),用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期具体人口增长模型,并检验所得模型与实际人口数据是否相符期具体人口增长模型,并检验所得模型与实际人口数据是否相符;(2 2)如果按表的增长趋势,大约在哪一年我国的人口达到1313亿?第5页/共25页解解:(1 1)设设1951195119591959年的人口增长率分别为年的人口增长率分别为于是于是,1951,1
6、95119591959年期间年期间,我国人口的年均增长率为我国人口的年均增长率为由由可得可得19511951的人口增长率为的人口增长率为同理可得,同理可得,第6页/共25页根据表格中的数据作出散点图根据表格中的数据作出散点图,并作出函数的图象并作出函数的图象.令令则我国在则我国在1950195019591959年期间的人口年期间的人口增长模型为增长模型为第7页/共25页由图可以看出由图可以看出,所得模型所得模型 与与1950195019591959年的实际人口数据基本吻合年的实际人口数据基本吻合.所以,如果按上表的增长趋势,那么大约在1950年后的第39年(即1989年)我国的人口就已达到13
7、亿.由此可以看到,如果不实行计划生育,而是让人口自然增长,今天我国将面临难以承受的人口压力.(1)将y=130000代入由计算器可得第8页/共25页(2 2)海拔为)海拔为h h米处的大气压强为米处的大气压强为0.5066(100.5066(105 5Pa)Pa),求该处的海拔求该处的海拔h h (c,kc,k为常量)为常量)y=cey=cekxkx在海拔在海拔5(km)5(km)处的大气压强为处的大气压强为0.5683(100.5683(105 5Pa)Pa),在海拔在海拔5.5(km)5.5(km)处的大气压强为处的大气压强为0.5366(100.5366(105 5Pa)Pa),(1 1
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