高考数学一轮复习第十四单元概率学案文.doc
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1、1 / 33【2019【2019最新最新】精选高考数学一轮复习第十四单元概率学案文精选高考数学一轮复习第十四单元概率学案文 教材复习课“概率”相关基础知识一课过互斥事件与对立事件过双基事件定义性质互斥事件在一个随机试验中,我们把一次试验下不能同时发生的两个事件A与B称作互斥事件P(AB)P(A)P(B),(事件A,B是互斥事件);P(A1A2An)P(A1)P(A2)P(An)(事件A1,A2,An任意两个互斥)对立事件在一个随机试验中,两个试验不会同时发生,并且一定有一个发生的事件A和 称为对立事件AP( )1P(A)A1把红、蓝、黑、白4张纸牌随机分给甲、乙、丙、丁4个人,每个人分得一张,
2、事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是( )A对立事件 B互斥但不对立事件C不可能事件 D以上都不对解析:选B 由于每人分得一张牌,故“甲分得红牌”意味着“乙分得红牌”是不可能的,故是互斥事件,但不是对立事件,故选B.2甲、乙两人下棋,两人和棋的概率是,乙获胜的概率是,则乙不输的概率是( )A. B.2 3C. D.1 3解析:选A 乙不输包含两种情况:一是两人和棋,二是乙获胜,故所求概率为.3某产品分甲、乙、丙三级,其中乙、丙两级均属次品在正常生产情况2 / 33下,出现乙级品和丙级品的概率分别是5%和3%,则抽验一件是正品(甲级品)的概率为( )A0.92 B0.95C0.97 D0.0
3、8解析:选A 记事件A:“生产的产品为甲级品”,B:“生产的产品为乙级品”,C:“生产的产品为丙级品”,则P(B)0.05,P(C)0.03,且事件A,B,C两两互斥,P(ABC)P(A)P(B)P(C)1,所以P(A)0.92.清易错易忽视互斥事件与对立事件的关系而致误互斥事件是不可能同时发生的两个事件,而对立事件除要求这两个事件不同时发生外,还要求二者之一必须有一个发生,因此,对立事件是互斥事件的特殊情况,而互斥事件未必是对立事件在一次随机试验中,彼此互斥的事件A,B,C,D的概率分别为0.2,0.2,0.3,0.3,则下列说法正确的是( )AAB与C是互斥事件,也是对立事件BBC与D是互
4、斥事件,也是对立事件CAC与BD是互斥事件,但不是对立事件DA与BCD是互斥事件,也是对立事件解析:选D 由于A,B,C,D彼此互斥,且ABCD是一个必然事件,故其事件的关系可由如图所示的Venn图表示,由图可知,任何一个事件与其余3个事件的和事件必然是对立事件,任何两个事件的和事件与其余两个事件的和事件也是对立事件古典概型过双基3 / 331特点:(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个,即有限性(2)每个基本事件发生的可能性相等,即等可能性2古典概型概率公式:P(A).1有3个兴趣小组,甲、乙两位同学各自参加其中一个小组,每位同学参加各个小组的可能性相同,则这两位同学参加同一个兴趣小组
5、的概率为( )B.A. 1 2D.C. 3 4解析:选A 甲、乙两位同学参加3个小组的所有可能性有9种,其中,甲、乙参加同一小组的情况有3种故甲、乙参加同一个兴趣小组的概率P.25张卡片上分别写有数字1,2,3,4,5,从这5张卡片中随机抽取2张,则取出2张卡片上数字之和为偶数的概率为( )B.A. 2 5D.C. 2 3解析:选B 从这5张卡片中随机抽取2张的所有基本事件为(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5),共10个,其中取出2张卡片上数字之和为偶数的基本事件为(1,3),(1,5),(2,4),(3,5),
6、共4个,所以从这5张卡片中随机抽取2张,取出2张卡片上数字之和为偶数的概率为.3小明忘记了微信登陆密码的后两位,只记得最后一位是字母A,a,B,b中的一个,另一位是数字4,5,6中的一个,则小明输入一次密码能够成功登陆的概率是_解析:开机密码有(4,A),(4,a),(4,B),(4,b),(5,A),(5,a),(54 / 33,B),(5,b),(6,A),(6,a),(6,B),(6,b),共12种可能,所以小明输入一次密码能够成功登陆的概率是.答案:1 12清易错1在计算古典概型中试验的所有结果数和事件发生结果时,易忽视他们是否是等可能的2概率的一般加法公式P(AB)P(A)P(B)P
7、(AB)中,易忽视只有当AB,即A,B互斥时,P(AB)P(A)P(B),此时P(AB)0.1一个袋子里装有红、黄、绿三种颜色的球各2个,这6个球除颜色外完全相同,从中摸出2个球,则这2个球中至少有1个是红球的概率是( )B.A. 2 5D.C. 3 5解析:选D 由题意知,摸出2个球的事件数共15个,至少有1个是红球的对立事件为两个均不是红球,事件个数为6个,设两个均不是红球为事件A,则P(A),所以其对立事件2个球中至少有1个是红球的概率P1.2从一副混合后的扑克牌(除去大、小王52张)中,随机抽取1张事件A为“抽到红桃K”,事件B为“抽到黑桃”,则P(AB)_(结果用最简分数表示)解析:
8、P(A),P(B),P(AB)P(A)P(B).答案:7 26几何概型过双基1定义:如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积5 / 33)成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型,简称为几何概型2特点:(1)无限性:在一次试验中,可能出现的结果有无限多个;(2)等可能性:每个结果的发生具有等可能的3公式:P(A).1在区间上随机地取一个数x,则事件“1log(x1)1”不发生的概率为( )A. B.2 3C. D.1 9解析:选D 因为1log(x1)1,所以x2,所以所求事件的概率为1.2已知点P,Q为圆C:x2y225上的任意两点,且|PQ|6,若PQ中点组成的区域为M,
9、在圆C内任取一点,则该点落在区域M上的概率为( )A. B.9 25C. D.2 5解析:选B PQ中点组成的区域M如图阴影部分所示,那么在C内部任取一点落在M内的概率为.3(2018西宁复习检测)已知球O内切于棱长为2的正方体,若在正方体内任取一点,则这一点不在球内的概率为_解析:由题意知球的半径为1,其体积为V球,正方体的体积为V正方体238,6 / 33则这一点不在球内的概率P11.答案:1 64数轴上有四个间隔为1的点依次为A,B,C,D,在线段AD上随机取一点E,则E点到B,C两点的距离之和小于2的概率为_解析:如图,数轴上AD3,而到B,C两点的距离之和小于2的点E在线段MN内,且
10、MN2,所以E点到B,C两点的距离之和小于2的概率P.答案:2 3一、选择题1从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球,那么互斥而不对立的两个事件是( )A至少有1个白球,都是红球B至少有1个白球,至多有1个红球C恰有1个白球,恰有2个白球D至多有1个白球,都是红球解析:选C 从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球共有三种可能:两个白球、两个红球、一个白球和一个红球,三者互斥,“至少有1个白球”和“都是红球”是对立事件,“至少有1个白球”和“至多有1个红球”不互斥,“恰有1个白球”和“恰有2个白球”互斥不对立,故选C.2一批产品次品率为4%,正品中一等品率为75%.现从这批产品中任取一件
11、,恰好取到一等品的概率为( )A0.75 B0.71C0.72 D0.3解析:选C 由题意可知,正品率为96%,因为正品中一等品率为75%,所以一等品率为96%75%72%,7 / 33所以任取一件产品,恰好是一等品的概率为0.72.3如图,在一不规则区域内,有一边长为1 m的正方形,向区域内随机地撒1 000颗黄豆,数得落在正方形区域内(含边界)的黄豆数为375,以此试验数据为依据可以估计出该不规则图形的面积为( )A.m2 B2 m2C.m2 D3 m2解析:选A 由几何概型的概率计算公式及题意可近似得到,所以该不规则图形的面积大约为 (m2)4抛掷两颗质地均匀的骰子,则向上的点数之积为6
12、的概率等于( )A. B.1 9C. D.5 36解析:选B 由题意抛掷两颗质地均匀的骰子,向上的点数所有可能情况为(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6),共36种情况,其中点数之积为6的情况为(1,6),(2,3),(3,2),(6,1),共4种情况,故所求概率为P.5一只小蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行,若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1,称其为“安全飞行”,则蜜蜂“安全飞行”的概率为(
13、)A. B.1 27C. D.15 27解析:选B 依题意,小蜜蜂的安全飞行范围为以这个正方体的中心为中心且棱长为1的小正8 / 33方体内,这个小正方体的体积为1,大正方体的体积为3327,故根据几何概型得安全飞行的概率为P.6已知5件产品中有2件次品,其余为合格品现从这5件产品中任取2件,恰有一件次品的概率为( )A0.4 B0.8C0.6 D1解析:选C 标记5件产品中的次品为1,2,合格品为3,4,5.从这5件产品中任取2件,不同的取法有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5),即基本事件的总数为10.“从这
14、5件产品中任取2件,恰有一件次品”的取法有:(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),共6种取法,所以恰有一件次品的概率P0.6.7将一枚骰子连续抛掷两次,若先后出现的点数分别为b,c,则方程x2bxc0有实根的概率为( )A. B.1 2C. D.2 5解析:选C 将一枚骰子连续抛掷两次共有36种结果方程x2bxc0有实根,则b24c0,即b2,其包含的结果有:(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),(6,1),(3,2),(4,2),(5,2),(6,2),(4,3),(5,3),(6,3),(4,4),(5,4),(6,4),(5,5),(6,5),
15、(5,6),(6,6),共19种,由古典概型的概率计算公式可得P.8设实数x,y满足x2(y1)21,则xy20的概率为( )A. B. 4C. D.42 49 / 33解析:选C 如图,x2(y1)21表示圆心为(0,1),半径为1的圆面,面积为;同时,xy20表示圆面内在xy20左上方的点构成的平面区域,连接CB,则CACB,阴影部分的面积为11,由几何概型的概率公式得P.二、填空题9点A为周长等于3的圆周上的一个定点,若在该圆周上随机取一点B,则劣弧的长度小于1的概率为_解析:如图,可设与的长度等于1,则由几何概型可知其整体事件是其周长3,则其概率是.答案:2 310在圆x2y24所围成
16、的区域内随机取一个点P(x,y),则|x|y|2的概率为_解析:不等式|x|y|2表示的平面区域如图中的阴影部分所示,则|x|y|2的概率为P.答案:2 11在一个不透明的空袋子里,放入仅颜色不同的2个红球和1个白球,从中随机摸出1个球后不放回,再从中随机摸出1个球,两次都摸到红球的概率为_解析:画树状图为:红红白 红白红 白红红共有6种等可能的结果数,其中两次都摸到红球的结果数为2,则随机摸出1个球,两次都摸到红球的概率为.答案:1 310 / 3312高一年级某班有63名学生,现要选一名学生标兵,每名学生被选中是等可能的,若“选出的标兵是女生”的概率是“选出的标兵是男生”的概率的,则这个班
17、的男生人数为_解析:根据题意,设该班的男生人数为x,则女生人数为63x,因为每名学生被选中是等可能的,根据古典概型的概率计算公式知,“选出的标兵是女生”的概率是,“选出的标兵是男生”的概率是,故,解得x33,故这个班的男生人数为33.答案:33三、解答题13如图,A地到火车站共有两条路径L1和L2,现随机抽取100位从A地到达火车站的人进行调查,调查结果如下:所用时间(分钟)10202030304040505060选择L1的人数612181212选择L2的人数0416164(1)试估计40分钟内不能赶到火车站的概率;(2)分别求通过路径L1和L2所用时间落在上表中各时间段内的频率;(3)现甲、
18、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站,为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站,试通过计算说明,他们应如何选择各自的路径解:(1)由题意知共调查了100人,其中40分钟内不能赶到火车站的有121216444(人),用频率估计相应的概率约为0.44.(2)选择L1的有60人,选择L2的有40人,由调查结果得:所用时间(分钟)10202030304040505060L1的频率0.10.20.30.20.2L2的频率00.10.40.40.1(3)A1,A2分别表示甲选择L1,L2时,在40分钟内赶到火车站;B1,B2分别表示乙选择L1,L2时,在50分钟内赶到火车站11 / 33由(2)
19、知P(A1)0.10.20.30.6,P(A2)0.10.40.5,P(A1)P(A2),甲应选择L1;P(B1)0.10.20.30.20.8,P(B2)0.10.40.40.9,P(B2)P(B1),乙应选择L2.14在某高校自主招生考试中,所有选报类志向的考生全部参加了“数学与逻辑”和“阅读与表达”两个科目的考试,成绩分为A,B,C,D,E五个等级某考场考生的两科考试成绩数据统计如图所示,其中“数学与逻辑”科目的成绩为B的考生有10人(1)求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩为A的人数;(2)若等级A,B,C,D,E分别对应5分,4分,3分,2分,1分,求该考场考生“数学与逻辑”科目的
20、平均分;(3)已知参加本考场测试的考生中,恰有两人的两科成绩均为A.在至少一科成绩为A的考生中,随机抽取两人进行访谈,求这两人的两科成绩均为A的概率解:(1)因为“数学与逻辑”科目中成绩等级为B的考生有10人,所以该考场有40(人),所以该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩等级为A的人数为40(10.3750.3750.150.025)400.0753.(2)由图知,“数学与逻辑”科目的成绩为D的频率为10.20.3750.250.0750.1,故该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分为10.220.130.37540.2550.0752.9.(3)因为两科考试中,共有6个得分等级为A,又恰有两
21、人的两科成绩等级均为A,所以还有2人只有一个科目得分为A,设这四人为甲,乙,丙,丁,其中甲,乙是两科成绩都是A的同学,则在至少一科成绩等级为A的考生中,随机抽取两人进行访谈,基本事件空间为(甲,乙),(甲,丙),(甲,丁),(乙,丙),(乙,丁),(丙,丁),有6个基本事件设“随机抽取两人进行访谈,这两人12 / 33的两科成绩等级均为A的为事件B,所以事件B中包含的基本事件有1个,则P(B).高考研究课(一)古典概型命题2类型简单问题、交汇问题全国卷5年命题分析考点考查频度考查角度古典概型5年8考求古典概型的概率古典概型的简单问题典例 (1)有五条长度分别为1,3,5,7,9的线段,若从这五
22、条线段中任取三条,则所取三条线段能构成一个三角形的概率为( )A. B.3 10C. D.7 10(2)(2017山东高考)某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A1,A2,A3和3个欧洲国家B1,B2,B3中选择2个国家去旅游若从这6个国家中任选2个,求这2个国家都是亚洲国家的概率;若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个,求这2个国家包括A1但不包括B1的概率解 (1)由题意,从这五条线段中任取三条,有10种不同的取法,其中所取三条线段能构成一个三角形的取法有:(3,5,7),(3,7,9),(5,7,9),共有3种不同的取法,所以所取三条线段能构成一个三角形的概率为.答案:B(2)由题意知,从6个国家
23、中任选2个国家,其所有可能的结果组成的基本事件有:A1,A2,A1,A3,A2,A3,A1,B1,A1,B2,A1,B3,A2,B1,A2,B2,A2,B3,A3,B1,A3,B2,A3,B3,B1,B2,B1,B3,B2,B3,共15个所选两个国家都是亚洲国家的事件所包含的基本事件有:A1,A2,A1,A13 / 333,A2,A3,共3个则所求事件的概率为P.从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个,其所有可能的结果组成的基本事件有:A1,B1,A1,B2,A1,B3,A2,B1,A2,B2,A2,B3,A3,B1,A3,B2,A3,B3,共9个包括A1但不包括B1的事件所包含的基本事件有:A1,
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