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1、1配餐作业配餐作业( (五十八五十八) ) 曲线与方程曲线与方程(时间:40 分钟)一、选择题1已知点P是直线 2xy30 上的一个动点,定点M(1,2),Q是线段PM延长线上的一点,且|PM|MQ|,则Q点的轨迹方程是( )A2xy10 B2xy50C2xy10 D2xy50解析 由题意知,M为PQ中点,设Q(x,y),则P为(2x,4y),代入2xy30 得 2xy50。故选 D。答案 D2已知两定点A(2,0),B(1,0),如果动点P满足|PA|2|PB|,则动点P的轨迹是( )A直线 B圆C椭圆 D双曲线解析 设P(x,y),则2,x22y2x12y2整理得x2y24x0,又D2E2
2、4F160,所以动点P的轨迹是圆。故选 B。答案 B3已知点F,直线l:x ,点B是l上的动点。若过B作垂直于y轴的直(1 4,0)1 4线与线段BF的垂直平分线交于点M,则点M的轨迹是( )A双曲线 B椭圆C圆 D抛物线解析 由已知得|MF|MB|。由抛物线定义知,点M的轨迹是以F为焦点,l为准线的抛物线。故选 D。答案 D4已知A(0,7),B(0,7),C(12,2),以C为一个焦点作过A,B的椭圆,椭圆的另一个焦点F的轨迹方程是( )Ay21(y1) By21x2 48x2 48Cy21 Dx21x2 48y2 48解析 由题意,得|AC|13,|BC|15,|AB|14,又2|AF|
3、AC|BF|BC|,|AF|BF|BC|AC|2。故点F的轨迹是以A,B为焦点,实轴长为 2 的双曲线的下支。c7,a1,b248,点F的轨迹方程为y21(y1)。故选 A。x2 48答案 A5经过抛物线y22px焦点的弦的中点的轨迹是( )A抛物线 B椭圆C双曲线 D直线解析 设抛物线的焦点为F,坐标为,弦AB中点坐标为(x,y),且A(x1,y1),(p 2,0)B(x2,y2),由点差法得kABkMF化简得y2p,故轨迹为抛物线。2p y1y22p 2yyxp2(xp 2)故选 A。答案 A6(2017衡水调研卷)双曲线M:1(a0,b0)实轴的两个顶点为A,B,点x2 a2y2 b2P
4、为双曲线M上除A,B外的一个动点,若QAPA且QBPB,则动点Q的运动轨迹为( )A圆 B椭圆C双曲线 D抛物线解析 A(a,0),B(a,0),设Q(x,y),P(x0,y0),kAP,kBP,kAQy0 x0ay0 x0a,kBQ,由QAPA且QBPB,得kAPkAQ1,kBPkBQy xay xay0 x0ay xay0 x0a1。两式相乘即得轨迹为双曲线。故选 C。y xa答案 C二、填空题7长为 3 的线段AB的端点A,B分别在x,y轴上移动,动点C(x,y)满足2,ACCB则动点C的轨迹方程为_。解析 设A(a,0),B(0,b),则a2b29。又C(x,y),则由2,得(xa,y
5、)2(x,by)。ACCB即Error!即Error!代入a2b29,并整理,得x2y21。1 4答案 x2y211 438在平面直角坐标系xOy中,若定点A(1,2)与动点P(x,y)满足向量在向量上的OPOA投影为,则点P的轨迹方程是_。5解析 由,知x2y5,即x2y50。OPOA|OA|5答案 x2y509设过抛物线y24x的焦点F的直线交抛物线于A,B两点,且AB的中点为M,则点M的轨迹方程是_。解析 由题意知F(1,0),设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x,y),则x1x22x,y1y22y,y4x1,y4x2,后两式相减并将前两式代入,得(y1y2)2 12 2y2(x
6、1x2)。当x1x2时,y2,又A,B,M,F四点共线,所以,y1y2 x1x2y1y2 x1x2y x1代入上式,得y22(x1);当x1x2时,M(1,0)也满足这个方程,即y22(x1)是所求的轨迹方程。答案 y22(x1)三、解答题10在平面直角坐标系中,已知A1(,0),A2(,0),P(x,y),M(x,1),22N(x,2),若实数使得2(O为坐标原点)。OMONA1PA2P求P点的轨迹方程,并讨论P点的轨迹类型。解析 (x,1),(x,2),OMON(x,y),(x,y)。A1P2A2P22,OMONA1PA2P(x22)2x22y2,整理得(12)x2y22(12)为点P的轨
7、迹方程。当1 时,方程为y0,轨迹为一条直线;当0 时,方程为x2y22,轨迹为圆;当(1,0)(0,1)时,方程为1,轨迹为中心在原点,焦点x2 2y2 212在x轴上的椭圆;当(,1)(1,)时,方程为1,轨迹为中心在原x2 2y2 221点,焦点在x轴上的双曲线。答案 见解析411(2016安徽淮南二模)已知点A(2,0),P是O:x2y24 上任意一点,P在x轴上的射影为Q,2,动点G的轨迹为C,直线ykx(k0)与轨迹C交于E,F两QPQG点,直线AE,AF分别与y轴交于点M,N。(1)求轨迹C的方程;(2)以MN为直径的圆是否经过定点?若经过,求出定点的坐标;若不经过,请说明理由。
8、解析 (1)设G(x,y),Q(x,0),2,P(x,2y),QPQGP在O:x2y24 上,x24y24。轨迹C的方程为y21。x2 4(2)经过定点。设点E(x0,y0)(不妨设x00),则点F(x0,y0)。由Error!消去y得x2。4 14k2所以x0,则y0。214k22k14k2所以直线AE的方程为y(x2)k1 14k2则M。(0,2k1 14k2)同理可得点N。(0,2k1 14k2)所以|MN|。|2k1 14k22k1 14k2|14k2|k|设MN的中点为P,则点P的坐标为。(0,1 2k)则以MN为直径的圆的方程为x222,(y1 2k)(14k22|k|)即x2y2
9、y1。1 k令y0,得x21,即x1 或x1。故以MN为直径的圆经过两定点(1,0),(1,0)。答案 (1)y21x2 45(2)经过两定点(1,0),(1,0)(时间:20 分钟)1 “点M在曲线y24x上”是“点M的坐标满足方程 2y0”的( )xA充分非必要条件B必要非充分条件C充要条件D既非充分也非必要条件解析 点M的坐标满足方程 2y0,则点M在曲线y24x上,是必要条件;但当xy0 时,点M在曲线y24x上,点M的坐标不满足方程 2y0,不是充分条件。故选xB。答案 B2动圆M经过双曲线x21 的左焦点且与直线x2 相切,则圆心M的轨迹方程y2 3是( )Ay28x By28xC
10、y24x Dy24x解析 双曲线x21 的左焦点F(2,0),动圆M经过F且与直线x2 相切,则y2 3圆心M到点F的距离和到直线x2 的距离相等,由抛物线的定义知轨迹是抛物线,其方程为y28x。故选 B。答案 B3(2016湖南东部六校联考)已知两定点A(0,2),B(0,2),点P在椭圆1 上,且满足|2,则为( )x2 12y2 16APBPAPBPA12 B12C9 D9解析 由|2,可得点P(x,y)的轨迹是以两定点A、B为焦点的双曲线的APBP上支,且 2a2,c2,b。点P的轨迹方程为y21(y1)。3x2 3由Error!解得Error!所以(x,y2)(x,y2)x2y249
11、449,APBP故选 D。答案 D4(2016全国卷)已知抛物线C:y22x的焦点为F,平行于x轴的两条直线l1,l2分别交C于A,B两点,交C的准线于P,Q两点。6(1)若F在线段AB上,R是PQ的中点,证明ARFQ;(2)若PQF的面积是ABF的面积的两倍,求AB中点的轨迹方程。解析 由题知F。设l1:ya,l2:yb,则ab0,且A,B,P(1 2,0)(a2 2,a)(b2 2,b),Q,R。(1 2,a)(1 2,b)(1 2,ab 2)记过A,B两点的直线为l,则l的方程为 2x(ab)yab0。(1)证明:由于F在线段AB上,故 1ab0。记AR的斜率为k1,FQ的斜率为k2,则k1 bk2。ab 1a2ab a2ab1 aab a所以ARFQ。(2)设l与x轴的交点为D(x1,0),则SABF |ba|FD| |ba|,SPQF1 21 2|x11 2|。|ab| 2由题设可得 |ba|,所以x10(舍去)或x11。1 2|x11 2|ab| 2设满足条件的AB的中点为E(x,y)。当AB与x轴不垂直时,由kABkDE可得(x1)。2 aby x1而y,所以y2x1(x1)。ab 2当AB与x轴垂直时,E与D重合。所以,所求轨迹方程为y2x1。答案 (1)见解析 (2)y2x1
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