高考数学大一轮复习第九章平面解析几何9-6双曲线教师用书.doc
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1、1 / 19【2019【2019 最新最新】精选高考数学大一轮复习第九章平面解析几何精选高考数学大一轮复习第九章平面解析几何9-69-6 双曲线教师用书双曲线教师用书1双曲线定义平面内与两个定点 F1,F2 的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距集合 PM|MF1|MF2|2a,|F1F2|2c,其中 a,c 为常数且 a0,c0.(1)当 2a|F1F2|时,P 点不存在2双曲线的标准方程和几何性质标准方程1(a0,b0)x2 a2y2 b21 (a0,b0)y2 a2x2 b2图形范围xa或xa,yR R
2、xR R,ya或ya对称性对称轴:坐标轴 对称中心:原点顶点A1(a,0),A2(a,0)A1(0,a),A2(0,a)性质渐近线yxb ayxa b2 / 19离心率e ,e(1,),其中cc aa2b2实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴,它的长|A1A2|2a;线段B1B2叫做双曲线的虚轴,它的长|B1B2|2b;a叫做双曲线的实半轴长,b叫做双曲线的虚半轴长a、b、c的关系c2a2b2 (ca0,cb0)【知识拓展】巧设双曲线方程(1)与双曲线1(a0,b0)有共同渐近线的方程可表示为t(t0)(2)过已知两个点的双曲线方程可设为1(mn0)表示焦点在 x 轴上的双曲线( )(3)双曲线
3、方程(m0,n0,0)的渐近线方程是0,即0.( )(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直,离心率等于.( )(5)若双曲线1(a0,b0)与1(a0,b0)的离心率分别是e1,e2,则1(此结论中两条双曲线称为共轭双曲线)( )1(教材改编)若双曲线1 (a0,b0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长,则该双曲线的离心率为( )A. B53 / 19C. D2答案 A解析 由题意得 b2a,又 a2b2c2,5a2c2.e25,e.2等轴双曲线 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,C 与抛物线 y216x的准线交于 A,B 两点,|AB|4,则 C 的实轴长为( )A. B2 C4 D8答案 C解析
4、 设 C:1.抛物线 y216x 的准线为 x4,联立1 和 x4,得A(4,),B(4,),|AB|24,a2,2a4.C 的实轴长为 4.3(2015安徽)下列双曲线中,焦点在 y 轴上且渐近线方程为y2x 的是( )Ax21 B.y21C.x21 Dy21答案 C解析 由双曲线性质知 A、B 项双曲线焦点在 x 轴上,不合题意;C、D 项双曲线焦点均在 y 轴上,但 D 项渐近线为 yx,只有 C 符合,故选 C.4 / 194(2016浙江)设双曲线 x21 的左,右焦点分别为 F1,F2.若点 P 在双曲线上,且F1PF2 为锐角三角形,则|PF1|PF2|的取值范围是_答案 (2,
5、8)解析 由已知 a1,b,c2,则 e2,设 P(x,y)是双曲线上任一点,由对称性不妨设 P 在右支上,则 1|F1F2|2,即(2x1)2(2x1)242,解得 x,所以0,b0)x2 a2由题意知,2b12,e.b6,c10,a8.双曲线的标准方程为1 或1.(2)双曲线经过点 M(0,12),M(0,12)为双曲线的一个顶点,故焦点在 y 轴上,且 a12.又 2c26,c13,b2c2a225.双曲线的标准方程为1.6 / 19(3)设双曲线方程为 mx2ny21(mn0)解得Error!双曲线的标准方程为1.命题点 3 利用定义解决焦点三角形问题例 3 已知 F1,F2 为双曲线
6、 C:x2y22 的左,右焦点,点 P 在 C上,|PF1|2|PF2|,则 cos F1PF2_.答案 3 4解析 由双曲线的定义有|PF1|PF2|PF2|2a2,|PF1|2|PF2|4,则 cosF1PF2|PF1|2|PF2|2|F1F2|2 2|PF1|PF2|.引申探究1本例中若将条件“|PF1|2|PF2|”改为“F1PF260” ,则F1PF2 的面积是多少?解 不妨设点 P 在双曲线的右支上,则|PF1|PF2|2a2,在F1PF2 中,由余弦定理,得cosF1PF2|PF1|2|PF2|2|F1F2|2 2|PF1|PF2|,所以|PF1|PF2|8,所以|PF1|PF2
7、|sin 602. 12F PFSA2本例中若将条件“|PF1|2|PF2|”改为“0” ,则F1PF2 的7 / 19面积是多少?解 不妨设点 P 在双曲线的右支上,则|PF1|PF2|2a2,由于0,所以,所以在F1PF2 中,有|PF1|2|PF2|2|F1F2|2,即|PF1|2|PF2|216,所以|PF1|PF2|4,所以|PF1|PF2|2. 12F PFSA思维升华 (1)利用双曲线的定义判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线,进而根据要求可求出双曲线方程;(2)在“焦点三角形”中,常利用正弦定理、余弦定理,经常结合|PF1|PF2|2a,运用平方的方法,建立与|PF1|PF
8、2|的联系(3)待定系数法求双曲线方程具体过程中先定形,再定量,即先确定双曲线标准方程的形式,然后再根据 a,b,c,e 及渐近线之间的关系,求出 a,b 的值,如果已知双曲线的渐近线方程,求双曲线的标准方程,可设有公共渐近线的双曲线方程为(0),再由条件求出 的值即可(1)已知 F1,F2 为双曲线1 的左,右焦点,P(3,1)为双曲线内一点,点 A 在双曲线上,则|AP|AF2|的最小值为( )A.4 B.4C.2 D.25(2)设 F1,F2 分别为双曲线1(a0,b0)的左,右焦点,双曲线8 / 19上存在一点 P 使得|PF1|PF2|3b,|PF1|PF2|ab,则该双曲线的离心率
9、为( )A. B.5 3C. D3答案 (1)C (2)B解析 (1)由题意知,|AP|AF2|AP|AF1|2a,要求|AP|AF2|的最小值,只需求|AP|AF1|的最小值,当 A,P,F1 三点共线时,取得最小值,则|AP|AF1|PF1|,|AP|AF2|的最小值为|AP|AF1|2a2.故选 C.(2)不妨设 P 为双曲线右支上一点,|PF1|r1,|PF2|r2.根据双曲线的定义,得 r1r22a,又 r1r23b,故 r1,r2.又 r1r2ab,所以ab,解得(负值舍去),故 e,故选 B.题型二 双曲线的几何性质例 4 (1)(2016浙江)已知椭圆 C1:y21(m1)与双
10、曲线C2:y21(n0)的焦点重合,e1,e2 分别为 C1,C2 的离心率,则( )9 / 19Amn 且 e1e21 Bmn 且 e1e21Cmn 且 e1e21 Dmn 且 e1e21(2)(2015山东)在平面直角坐标系 xOy 中,双曲线C1:1(a0,b0)的渐近线与抛物线 C2:x22py(p0)交于点O,A,B.若OAB 的垂心为 C2 的焦点,则 C1 的离心率为_答案 (1)A (2)3 2解析 (1)由题意可得 m21n21,即 m2n22,又m0,n0,故 mn.又ee11,e1e21.(2)由题意,不妨设直线 OA 的方程为 yx,直线 OB 的方程为 yx.由得 x
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