(江苏专)高考数学二轮复习专题一三角函数与平面向量第3讲平面向量试题理.pdf
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1、3 1/15 第 3 讲 平面向量 高考定位 平面向量这部分内容在高考中的要求大部分都为 B 级,只有平面向量的应用为 A 级要求,平面向量的数量积为 C 级要求.主要考查:(1)平面向量的基本定理及基本运算,多以熟知的平面图形为背景进行考查,填空题难度中档;(2)平面向量的数量积,以填空题为主,难度低;(3)向量作为工具,还常与三角函数、解三角形、不等式、解析几何结合,以解答题形式出现.真 题 感 悟 1.(2015江苏卷)已知向量a(2,1),b(1,2),若manb(9,8)(m,nR),则mn的值为_.解析 a(2,1),b(1,2),manb(2mn,m2n)(9,8),即2mn9,
2、m2n8,解得m2,n5,故mn253.答案 3 2.(2017江苏卷)如图,在同一个平面内,向量OA,OB,OC的模分别为 1,1,2,OA与OC的夹角为,且 tan 7,OB与OC的夹角为 45.若OCmOAnOB(m,nR),则mn_.解析 如图,设ODmOA,DCnOB,则在ODC中有ODm,DCn,OC2,OCD45,由 tan 7,得 cos 210,又由余弦定理知 m2n2(2)22 2ncos 45,n2m2(2)22 2mcos,3 2/15 即m2n222n,n2m2225m,得 42n25m0,即m105n,代入得 12n249n490,解得n74或n73,当n73时,m
3、10573530(不合题意,舍去),当n74时,m1057454,故mn54743.答案 3 3.(2016江苏卷)如图,在ABC中,D是BC的中点,E,F是AD上的两个三等分点,BACA4,BFCF1,则BECE的值是_.解析 设ABa,ACb,则BACA(a)(b)ab4.又D为BC中点,E,F为AD的两个三等分点,则AD12(ABAC)12a12b,AF23AD13a13b,AE13AD16a16b,BFBAAFa13a13b23a13b,CFCAAFb13a13b13a23b,则BFCF23a13b13a23b 29a229b259ab29(a2b2)5941.可得a2b2292.又B
4、EBAAEa16a16b56a16b,CECAAEb16a16b16a56b,3 3/15 则BECE56a16b16a56b 536(a2b2)2636ab5362922636478.答案 78 4.(2017江苏卷)已知向量a(cos x,sin x),b(3,3),x0,.(1)若ab,求x的值;(2)记f(x)ab,求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值.解(1)ab,3sin x 3cos x,3sin x 3cos x0,即 sinx60.0 x,6x676,x6,x56.(2)f(x)ab3cos x 3sin x2 3sinx3.x0,x33,23,32sinx31,2 3
5、f(x)3,当x33,即x0 时,f(x)取得最大值 3;当x32,即x56时,f(x)取得最小值2 3.考 点 整 合 1.平面向量的两个重要定理(1)向量共线定理:向量a(a0)与b共线当且仅当存在唯一实数,使ba.(2)平面向量基本定理:如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数1,2,使a1e12e2,其中e1,e2是一组基底.2.平面向量的两个充要条件 若两个非零向量a(x1,y1),b(x2,y2),则(1)ababx1y2x2y10.(2)abab0 x1x2y1y20.3.平面向量的三个性质(1)若a(x,y),则|a|aax2y
6、2.(2)若A(x1,y1),B(x2,y2),则 3 4/15|AB|(x2x1)2(y2y1)2.(3)若a(x1,y1),b(x2,y2),为a与b的夹角,则 cos ab|a|b|x1x2y1y2x21y21x22y22.4.平面向量的三个锦囊(1)向量共线的充要条件:O为平面上一点,则A,B,P三点共线的充要条件是OP1OA2OB(其中121).(2)三角形中线向量公式:若P为OAB的边AB的中点,则向量OP与向量OA,OB的关系是OP12(OAOB).(3)三 角 形 重 心 坐 标 的 求 法:G为 ABC的 重 心 GAGBGC0GxAxBxC3,yAyByC3.热点一 平面向
7、量的有关运算 命题角度 1 平面向量的线性运算【例 11】(1)(2017天津卷)在ABC中,A60,AB3,AC2,若BD2DC,AEACAB(R),且ADAE4,则的值为_.(2)已知菱形ABCD的边长为 2,BAD120,点E,F分别在边BC,DC上,BC3BE,DCDF.若AEAF1,则的值为_.解析(1)ABAC32cos 603,AD13AB23AC,则ADAE13AB23AC(ACAB)23ABAC13AB223AC22331332232211354,解得311.(2)法一 如图,AEABBEAB13BC,AFADDFAD1DCBC1AB,所以AEAFAB13BCBC1AB113
8、ABBC1AB23 5/15 13BC211322cos 1204431,解得2.法二 建立如图所示平面直角坐标系.由题意知:A(0,1),C(0,1),B(3,0),D(3,0).由BC3BE,DCDF,可求点E,F的坐标分别为 E2 33,13,F311,1,AEAF2 33,43311,11 21143111,解得2.答案(1)311(2)2 探究提高 用平面向量基本定理解决此类问题的关键是先选择一组基底,并运用平面向量的基本定理将条件和结论表示成基底的线性组合,再通过对比已知等式求解.命题角度 2 平面向量的坐标运算【例 12】(1)(2017江苏冲刺卷)已知向量a(2,1),b(0,
9、1).若(ab)a,则实数_.(2)(2016全国卷改编)已知向量BA12,32,BC32,12,则ABC_.解析(1)由题意可得ab(2,1),则(ab)a(2,1)(2,1)50,解得5.(2)|BA|1,|BC|1,cosABCBABC|BA|BC|32,则ABC30.答案(1)5(2)30 探究提高 若向量以坐标形式呈现时,则用向量的坐标形式运算;若向量不是以坐标形式呈现,则可建系将之转化为坐标形式,再用向量的坐标运算求解更简捷.命题角度 3 平面向量的数量积【例 13】(1)(2017全国卷)已知向量a,b的夹角为 60,|a|2,|b|1,则|a2b|_.3 6/15(2)(201
10、7佛山二模)在等腰梯形ABCD中,已知ABDC,AB2,BC1,ABC60,动点E和F分别在线段BC和DC上,且BEBC,DF19DC,则AEAF的最小值为_.解析(1)|a2b|2|a|22|a|2b|cos 60(2|b|)2 22222122244412,|a2b|122 3.(2)法一 在梯形ABCD中,AB2,BC1,ABC60,可得DC1,AEABBC,AFAD19DC,AEAF(ABBC)(AD19DC)ABADAB19DCBCADBC19DC21cos 602191cos 6019cos 1202921718229217182918,当且仅当292,即23时,取得最小值为291
11、8.法二 以点A为坐标原点,AB所在的直线为x轴建立平面直角坐标系,则B(2,0),C32,32,D12,32.又BEBC,DF19DC,则E212,32,F1219,32,0,所以AEAF212121934171829121718229122918,0,当且仅当2912,即23时取等号,故AEAF的最小值为2918.答案(1)23(2)2918 探究提高(1)数量积的计算通常有三种方法:数量积的定义、坐标运算、数量积的几何意义,特别要注意向量坐标法的运用;可以利用数量积求向量的模和夹角,向量要分解成题中模和夹角已知的向量进行计算;在用|a|a2求向量的模时,一定要把求出的a2进行开方.(2)
12、求解几何图形中的数量积问题,通过对向量的分解转化成已知向量的数量积计算是基本方法,但是如果建立合理的平面直角坐标系,把数量积的计算转化成坐标运算也是一3 7/15 种较为简捷的方法.【训练 1】(1)(2017全国卷改编)已知ABC是边长为 2 的等边三角形,P为平面ABC内一点,则PA(PBPC)的最小值是_.(2)(2017南京、盐城模拟)如图,在矩形ABCD中,AB 2,BC2,点E为BC的中点,点F在边CD上,若ABAF 2,则AEBF的值是_.解析(1)如图,以等边三角形ABC的底边BC所在直线为x轴,以BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系,则A(0,3),B(1,0),C(1,
13、0).设P(x,y),则PA(x,3y),PB(1x,y),PC(1x,y).所以PA(PBPC)(x,3y)(2x,2y)2x22y32232.当x0,y32时,PA(PBPC)取得最小值为32.(2)法一 以A为原点,AB所在直线为x轴,AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系(以射线AB,AD的方向分别为x轴、y轴的正方向),则B(2,0),E(2,1).设F(x,2),则AF(x,2),又AB(2,0),ABAF2x2,x1,F(1,2),AEBF 2.法二 ABAF|AB|AF|cos BAF 2,|AB|2,|AF|cos BAF1,即|DF|1,|CF|21,AEBF(ABBE)(B
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