大一经典高数复习资料经典全面复习.docx
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1、1/(x)|WM函数|/(刈在x =玉)高等数学(本科少学时类型)第一章函数与极限第一节函数O函数基础(高中函数部分相关知识) ()O邻域(去心邻域)()第二节数列的极限。数列极限的证明()【题型示例】已知数列卜,证明= ax-co I )【证明示例】N语言1 .由氏一同N时,始终有不等式氏成 立,/. lim %“ = axCO第三节函数的极限OxfX。时函数极限的证明() 【题型示例】已知函数/(X),证明lim f(x) = A【证明示例】-5语言1.由/(尤)一 化简得0 x-xQ 0, ms = g(e),当0|x不|b时,始终有不等式 /(%)-A g, X = g2 .即对Ve0
2、, mx = g(e),当NX 时,始终有不等式/(%)-A|00第四节无穷小与无穷大。无穷小与无穷大的本质()函数了无穷小。lim f(x) = 0 函数无穷大=lim f(x) = co。无穷小与无穷大的相关定理与推论 ()(定理三)假设了为有界函数, g(%)为无穷小,则lim/(x)-g(x) = 0(定理四)在自变量的某个变化过程 中,若/为无穷大,则广(X)为 无穷小;反之,若/(%)为无穷小, 且一)w0,则尸为无穷大 【题型示例】计算:(或X - 00 )的任一去心邻域内是有界的;(.刈 WM, .,.函数在上有界;)2 . lim g(x) = O 即函数 g(x)是 x f
3、/时的无穷小;(lim g(x) = 0即函数g(x)是x f 8时的Xco无穷小;)3 .由定理可知lim /(%).g(x) = O(则/(x).g(切=0)第五节极限运算法则。极限的四则运算法则()(定理一)加减法则(定理二)乘除法则关于多项式(%)、次%)商式的极限运 算lim/。(切=/ 理夕(%)【题型示例】求值:limx-3x -3x2-9? Vx e 0,-,I 2jsinxx tanxpx = aQxm + axm +. + am攻:1、_iqx)- b(x11 + bxn +. + bnoo n m贝! J 有 lim 找= mV.(特别地,当limg4 = 9 (不定型)
4、0时,通常分子分母约去公因式即约去 可去间断点便可求解出极限值,也可以用罗比达法则求解)【题型示例】求值lim二13 x2-9【求解示例】解:因为Xf3,从而可得xw3,所以原式1. x 3.x 311=lim -=lim - = lim=-T Y -9x-3 (冗 + 3)(工_3)x-3 x + 3 dY 3其中x = 3为函数,f(x) =卷上的可去间 x 9断点倘若运用罗比达法则求解(详见第三章第 二节):o,A77. x 3 6(x-3) r 11角牛:lim- =lim- - = lim=x-3 x2 -9 L,13(工2 _9 j 7 2x 6。连续函数穿越定理(复合函数的极限
5、求解)()(定理五)若函数是定义域上的连 续函数,那么,【求解示例】ix-3rx-3rr a第六节 极限存在准则及两个重要极限。夹迫准则(P53) ()第一个重要极限:lim = 1 x-0 X sinx ilim= 1d x(特别地,limSinU-X()=l)x-x0。单调有界收敛准则(P57) ()/ i、大第二个重要极限:lim 1 + - =ex-00、 Y(一般地,lim/( 0 )0该怎样选择数。,使得了(%)成为在R上的连续函数?【求解示例】f(0 ) = * -ex-eL 7 J/(O+) = 6Z + O+=6Z“0)=。2.由连续函数定义lim /(x) = lim f(
6、x) = f(0)= e a = e第九节闭区间上连续函数的性质O零点定理()【题型示例】证明:方程/(x) = g(x) + C至 少有一个根介于a马b之间【证明示例】1 .(建立辅助函数)函数(x) = /(x)-g(x)_C在闭区间,句上连续;2 . ,.,夕(4)夕(5)0 (端点异号).,由零点定理,在开区间(a,/?)内至 少有一点使得夕仔) = 0,即 f)-g(-C = 0(0 0【求解示例】/(0一) = * +l = e + l = 2/0+) = b/(O)= e + l = 22.由函数可导定义|/(0j = /(0+) = /(0)= Z7 = 2 a = l,b =
7、 2【题型示例】求丁 = /在尤=。处的切线与 法线方程(或:过y = /(九)图像上点()处的切线与法线方程)【求解示例】1 . y = r(x), yLa=r(。)2 .切线方程:y_/(a) = /M)(x-a)法线方程:y-f(a) =- 一二(X-)第二节函数的和(差)、积与商的求 导法则。函数和(差)、积与商的求导法则(1 .线性组合(定理一):(au = au + /3V特别地,当。=1时,有(u v)f = 土 M2 .函数积的求导法则(定理二):(uvY = ufv + uvr3 .函数商的求导法则(定理三):,_ ufv-uvrV2第三节反函数和复合函数的求导法则。反函数的
8、求导法则()【题型示例】求函数,尸(X)的导数【求解示例】由题可得/(X)为直接函数,其 在定于域。上单调、可导,且 广(+0;.广()= 就O复合函数的求导法则()【题型示例】设y = Insin庐+ / ),求【求解示例】第四节高阶导数0/()(%) = )(%)(或山史力)()dxn 加T_题型示例】求函数y = ln(l + %)的阶导数 【求解示例】y=匚=(1+厂,1 I X【题型示例】设参数方程=如)求叁y=(i+工厂 =(t),(i+x)2,第五节隐函数及参数方程型函数的导 数O隐函数的求导(等式两边对x求导) ()【题型示例】试求:方程y = x所给定的曲线C: y = y(
9、x)在点1-e,l)的切线方 程与法线方程【求解示例】由y = x + e,两边对x求导即V = + ( j化简得V = 1 + /V切线方程:y-l = (x-l + e) 1-e法线方程:y -1 = _(1 - ex -1 + e)。参数方程型函数的求导【求解示例】1.孚=照2.仪=里_ dx (p (?) dx cp (f)第六节变化率问题举例及相关变化率 (不作要求)第七节函数的微分。基本初等函数微分公式与微分运算法则()第三章中值定理与导数的应用第一节中值定理。引理(费马引理)().。罗尔定理().【题型示例】现假设函数在0,可上连续,在(0,乃)上可导,试证明:至0,使得 f c
10、osj + /(J)sin 4 = 0成立【证明示例】.(建立辅助函数)令0(x) = /(x)sin x 显然函数9(力在闭区间0,句上连续,在开区间(0,句上可导;1 .又(O)= /(O)sinO = O即0=0(4)=02 . .由罗尔定理知三自(0,),使得/cosJ + /sin a O成立。拉格朗日中值定理()【题型示例】证明不等式:当X1时,Xe ex【证明示例】.(建立辅助函数)令函数/(%) = , 则对V%1,显然函数/(%)在闭区间 L可上连续,在开区间(1,%)上可导, 并且/(%) = ;1 .由拉格朗日中值定理可得,至c 1, x使得等式e, J = (%1) /
11、成 立,又.净 ,/.e J (x1)/ = exe ,化简得即证得:当xl时,ex e x【题型示例】证明不等式:当工0时,ln(l + x) 0 ,函数/(x)在闭区间0,可上连续,在开区间(0,)上可导,并且可(力=;1 I X2 .由拉格朗日中值定理可得,至e0,可使得等式ln(l + x)-ln(l + 0)= (x-0)成立,化简得ln(l + X) =又:ln(l + x) l时,ex e-x第二节罗比达法则O运用罗比达法则进行极限运算的基 本步骤()1.2.A.等价无穷小的替换(以简化运算) 判断极限不定型的所属类型及是否 满足运用罗比达法则的三个前提条 件属于两大基本不定型(
12、2艺)且满 0 00足条件,则进行运算:r 小)r /a)lim-= hmi g(x)g(x)(再进行1、2步骤,反复直到结果得 出)B. 不属于两大基本不定型(转化为基 本不定型)0.8型(转乘为除,构造分式)【求解示例】(一般地,理人 (ln%)J0,【求解示例】(一般地,理人 (ln%)J0,其中【题型示例】求值:limxa -nx a,B g 7?)00-00型(通分构造分式,观察分母)观察分母)【题型示例】求值:limXf()sinxx)【求解示例】06= limLf x-006= limLf x-0(x-sinx)X2o, 1-cosx (. (1-cosx)=lim= hm -2
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