大一经典高数复习资料全面复习.pdf
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1、高 等 数 学(本 科 少 学 时 类 型)第 一 章 函 数 与 极 限 第 一 节 函 数。函 数 基 础(高 中 函 数 部 分 相 关 知 识)()。邻 域(去 心 邻 域)()第 二 节 数 列 的 极 限 O 数 列 极 限 的 证 明()【题 型 示 例】已 知 数 列%,证 明【证 明 示 例】-N 语 言 1.由 卜,一 H 化 简 得 g(),N=g 2.即 对 V o,M=g,当 N时,始 终 有 不 等 式 氏-4 成 立,limx=4X T 8第 三 节 函 数 的 极 限 O x f X。时 函 数 极 限 的 证 明()【题 型 示 例】已 知 函 数/(X),证
2、 明 lim/(x)=AX f/【证 明 示 例】-6 语 言 1.由|/()一,|化 简 得 0 卜-Xo|0,mb=g(),当 0 卜-与|3 时,始 终 有 不 等 式 4 成 立,lim/-(%)=AX f XoO x f 00时 函 数 极 限 的 证 明()【题 型 示 例】已 知 函 数/(X),证 明 lim/(x)=AX T C O【证 明 示 例】-X 语 言 1.由|/(力 一 山 g(),.X=g()2.即 对 V 0,3X=g(),当 M X时,始 终 有 不 等 式 0 0第 四 节 无 穷 小 与 无 穷 大。无 穷 小 与 无 穷 大 的 本 质()函 数/(X
3、)无 穷 小 o lim/(X)=0函 数 无 穷 大 o limf x)=co。无 穷 小 与 无 穷 大 的 相 关 定 理 与 推 论()(定 理 三)假 设/(x)为 有 界 函 数,g(x)为 无 穷 小,则=0(定 理 四)在 自 变 量 的 某 个 变 化 过 程 中,若/(x)为 无 穷 大,则 尸(x)为 无 穷 小;反 之,若/(x)为 无 穷 小,且/(上 0,则 尸(x)为 无 穷 大【题 型 示 例】计 算:lim/(x).g(x)(或 X-8)1.V|/(x)|A f 二 函 数|/(x)|在 x=x 0 的 任 一 去 心 邻 域 看 仁 仆)内 是 有 界 的;
4、.函 数 在 x e。上 有 界;)2.lim g(x)=0 即 函 数 g(x)是 x f X。时 的 无 穷 小;(lim g(x)=0 即 函 数 g(x)是 x f 8 时 的 X-OD无 穷 小;)3.由 定 理 可 知 lim=0(照 卜 工 卜。)第 五 节 极 限 运 算 法 则。极 限 的 四 则 运 算 法 则()(定 理 一)加 减 法 则(定 理 二)乘 除 法 则 关 于 多 项 式 p(x)、q(x)商 式 的 极 限 运 算 设:px=aQxni+a,”q(x)=bQxn 4-+o o n in(特 别 地,当 1加 胆=9(不 定 型)Xf%g(x)0时,通 常
5、 分 子 分 母 约 去 公 因 式 即 约 去 可 去 间 断 点 便 可 求 解 出 极 限 值,也 可 以 用 罗 比 达 法 则 求 解)【题 型 示 例】求 值 lim二 E1 3 X2-9【求 解 示 例】解:因 为 X f 3,从 而 可 得 x*3,所 以 原 式 x-3.x-3.1lim.=lim-=lim-=x3 X2-9 X T 3(x+3)(%-3)X T 3%+3其 中 x=3为 函 数/(x)=g q 的 可 去 间 断 点 满 若 运 用 罗 比 达 法 则 求 解(详 见 第 三 章 第 二 节):0,物.x-3 0(x-3 1 1解:lim-=lim-=lim
6、=X T 3 x-9 1 3 卜 2 9,x-3 2X 6O 连 续 函 数 穿 越 定 理(复 合 函 数 的 极 限 求 解)()(定 理 五)若 函 数/(X)是 定 义 域 上 的 连 续 函 数,那 么,5/e(x)=/lim夕【题 型 示 例】求 值:limX T 3x-3X2-9【求 解 示 例】第 六 节 极 限 存 在 准 则 及 两 个 重 要 极 限 O 夹 迫 准 则(P53)()第 一 个 重 要 极 限:=lX16*/Vx e,sinx x 0)【题 型 示 例】求 值:lim信 色 广 X-8 2x 4-1 J【求 解 示 例】第 七 节 无 穷 小 量 的 阶(
7、无 穷 小 的 比 较)C)等 价 无 穷 小()1.。sin U tan U arcsin U arctan U ln(l+U)(e J)1,2,-U2-1-c o s U2(乘 除 可 替,加 减 不 行)【题 型 示 例】求 值:地 乂 目 也 应 x-0 X+3x【求 解 示 例】第 八 节 函 数 的 连 续 性 O 函 数 连 续 的 定 义()O 间 断 点 的 分 类(P67)()第 一 类 间 断 点(左 右 极 限 存 在)跳 譬 吃(黛)可 去 间 断 点(相 等)第 二 类 间 断 点 无 穷 间 断 点(极 限 为 8)(特 别 地,可 去 间 断 点 能 在 分 式
8、 中 约 去 相 应 公 因 式)【题 型 示 例】设 函 数/(x)=f 2,”0该 怎 样 选 择 数 4,使 得/(X)成 为 在&上 的 连 续 函 数?【求 解 示 例】/(-)=/=3=eL V-/(0+)=a+0+=a/(O)=a2.由 连 续 函 数 定 义 lim/(x)=lim/(x)=/(0)=eX T(r X-0+Q=e第 九 节 闭 区 间 上 连 续 函 数 的 性 质。零 点 定 理()【题 型 示 例】证 明:方 程/(x)=g(x)+C 至 少 有 一 个 根 介 于 a 与 b 之 间【证 明 示 例】1.(建 立 辅 助 函 数)函 数 夕(x)=/(x)
9、-g(x)C 在 闭 区 间 a,4 上 连 续;2.,.,/(a).尹 伍)0(端 点 异 号)3.由 零 点 定 理,在 开 区 间(a,b)内 至 少 有 一 点 却 使 得 9怎)=0,即/()-g()-C=O(01)4.这 等 式 说 明 方 程/(x)=g(x)+C 在 开 区 间(a,b)内 至 少 有 一 个 根 J第 二 章 导 数 与 微 分 第 一 节 导 数 概 念。高 等 数 学 中 导 数 的 定 义 及 几 何 意 义(P83)()【题 型 示 例】已 知 函 数/(x)=F+i,x-在 x=0处 可 导,求 a,h【求 解 示 例】(O)=T=l,(0 X。+。
10、+1=2/;(0)=a/0,)=b/(0)=e+l=22.由 函 数 可 导 定 义 N(O)=(O)=a=l,(0-)=/(0+)=0)=6=2 a=1,6=2【题 型 示 例】求 y=/(x)在 x=a 处 的 切 线 与 法 线 方 程(或:过 丁=/(x)图 像 上 点 d/处 的 切 线 与 法 线 方 程)【求 解 示 例】1.y=/(x),2.切 线 方 程:法 线 方 程:I=一 奇 x-a)第 二 节 函 数 的 和(差)、积 与 商 的 求 导 法 则。函 数 和(差)、积 与 商 的 求 导 法 则()1.线 性 组 合(定 理 一):(au 0v)=au+夕 M特 别
11、地,当 a=l时,有(uv)r=urvr2.函 数 积 的 求 导 法 则(定 理 二):(uv)r=u,v+uv,3.函 数 商 的 求 导 法 则(定 理 三):u v-u v V2第 三 节 反 函 数 和 复 合 函 数 的 求 导 法 则 O 反 函 数 的 求 导 法 则()【题 型 示 例】求 函 数,尸(X)的 导 数【求 解 示 例】由 题 可 得/I)为 直 接 函 数,其 在 定 于 域。上 单 调、可 导,且/(X)H O;广(切=木 O 复 合 函 数 的 求 导 法 则()题 型 示 例】设 y=Ink 由 G7+&+/y【求 解 示 例】第 四 节 高 阶 导 数
12、 O/W(x)=(x)(或,求 dx加(I)()【题 型 示 例】求 函 数 y=ln(l+x)的 阶 导 数【求 解 示 例】/=(1+%)-1,l+x、7(-1).(1+X)L第 五 节 隐 函 数 及 参 数 方 程 型 函 数 的 导 数O 隐 函 数 的 求 导(等 式 两 边 对 X 求 导)()【题 型 示 例】试 求:方 程 y=x+e”所 给 定 的 曲 线 C:=)在 点(1-自 1)的 切 线 方 程 与 法 线 方 程【求 解 示 例】由=x+e两 边 对 x 求 导 f即 _/=+)化 简 得 y=1+ey-y,1 1 y=-r=-1-e 1-e,切 线 方 程:y
13、1-(%1+e)-e法 线 方 程:y-1=-(1-e x-1+e)O 参 数 方 程 型 函 数 的 求 导 Jx=Q(f).d-y【题 型 示 例】设 参 数 方 程 b=dx2dydx【求 解 示 例】1.虫=zl)2 d 2 y-_dx(p(t)dx2(p(t)第 六 节 变 化 率 问 题 举 例 及 相 关 变 化 率(不 作 要 求)第 七 节 函 数 的 微 分 O 基 本 初 等 函 数 微 分 公 式 与 微 分 运 算 法 则()第 三 章 中 值 定 理 与 导 数 的 应 用 第 一 节 中 值 定 理 O 引 理(费 马 引 理)()。罗 尔 定 理()【题 型 示
14、 例】现 假 设 函 数/(X)在 0,村 上 连 续,在(0,乃)上 可 导,试 证 明:*0,万),使 得./cos J+/偌)sin。=0 成 立【证 明 示 例】1.(建 立 辅 助 函 数)令 e(x)=/(x)sinx显 然 函 数 8(x)在 闭 区 间 0,句 上 连 续,在 开 区 间(0,万)上 可 导;2.X(0)=/(0)sin0=0即 夕(o)=.(4)=03.由 罗 尔 定 理 知 遮 0,不),使 得/cosj+/(g)sing=0 成 立 O 拉 格 朗 日 中 值 定 理()【题 型 示 例】证 明 不 等 式:当 x l 时,ex e-x【证 明 示 例】1
15、.(建 立 辅 助 函 数)令 函 数/卜)=,则 对 V x l,显 然 函 数/(x)在 闭 区 间 1,可 上 连 续,在 开 区 间(l,x)上 可 导,并 且/(x)=e*;2.由 拉 格 朗 日 中 值 定 理 可 得,3(x-l)e=e-x-e,化 简 得 e*e.x,即 证 得:当 xl时,ex e-x【题 型 示 例】证 明 不 等 式:当 x 0 时,ln(l+x)0,函 数/(x)在 闭 区 间 0,可 上 连 续,在 开 区 间(0,不)上 可 导,并 且 x)=占;2.由 拉 格 朗 日 中 值 定 理 可 得,3e0,x使 得 等 式 ln(l+x)_ln(l+0)
16、=(x_0)成 立,化 简 得 皿 1+4=一 又 一 J w0,x,./簿)=_1-i,1+4ln(l+x)l时,e、e-x第 二 节 罗 比 达 法 则。运 用 罗 比 达 法 则 进 行 极 限 运 算 的 基 本 步 骤()1.*等 价 无 穷 小 的 替 换(以 简 化 运 算)2.判 断 极 限 不 定 型 的 所 属 类 型 及 是 否 满 足 运 用 罗 比 达 法 则 的 三 个 前 提 条 件A.属 于 两 大 基 本 不 定 型(9,2)且 满 0 00足 条 件,则 进 行 运 算:XH g(x)f g,(x)(再 进 行 1、2 步 骤,反 复 直 到 结 果 得 出
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