AN第十三讲 三角函数的图象与性质.doc
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1、 高考数学一轮第十三讲 第 1 页共 13 页 第十三讲 三角函数的图象与性质考点解读【基础性考点知识突破基础性考点知识突破】一、三角函数的图象函数sinyxcosyxtanyx图象xy-Oxy-Oxy2-2O对称性对称轴,2xk对称中心,(,0)kkZ对称轴,xk对称中心,(,0)2kkZ对称中心,(,0)2kkZ【提示】三角函数图象的对称性是三角函数的一个重要性质,因而它常出现在高考试题之中二、三角函数图象的作法1 “五点”作图法用“五点法”作()的简图时,五点的取法是:设sin()yAx0,0A,由取 0、来求相应的值,及对应的值,再描点作XxX23 22xy图类似地也可用“五点”作图法
2、作出函数及函数cos()yAx的图象,其中在取中的五点时,可取为tan()yAxtan()yAxXx、0、即可,渐近线与,当时,无意义44 2x2x 2x y2变换作图法用变换作图法作()的图象的基本变换是:sin()yAx0,0A(1)振幅变换:sinyxsinyAx将的图象上各点的纵坐标变为原来的倍(横坐标不变) ;sinyxA高考数学一轮第十三讲 第 2 页共 13 页 (2)相位变换:sinyAxsin()yAx将的图象上所有点向左()或向右()平移个单位;sinyAx00|(3)周期变换:sin()yAxsin()yAx将图象上各点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变) sin()yAx
3、1 (4)由的图象变换到的图象,一般先作相位变换,再作周sinyxsin()yAx期变换,最后作振幅变换,即sinyxsinyAxsin()yAx如果先作周期变换,再作相位变换,则左右平移时不是个单sin()yAx|位,而是个单位即,是将左右平移| sin()yxsin()yxsin()yx个单位长度| 【提示】作函数,的图象,同样可用上述类似的变换作cos()yAxtan()yAx图法作图【培优性方法技巧综合培优性方法技巧综合】一、三角函数性质1一般地,如果为函数的周期,则(且)也是,的周期,T( )f xnTnZ0n ( )f x即有()( )f xnTf x2三角函数的奇偶性的判断步骤为
4、:(1)首先看定义域是否关于原点对称;(2)在满足定义域关于原点对称的条件下,再看与的关系常见的奇函数有( )f x()fx和,偶函数有sinyAxtanyAxcosyAxb3三角函数的图象,可以用三角函数线或几何法作出,在精确度要求不高时,常用五点作图法作出4三角函数的定义域是研究三角函数一切性质的前提,求三角函数的定义域其实就是解最简单的三角不等式(组) ,可利用图象或三角函数线求解,通常要考虑周期的影响比如:的解集为,1sin2x 5(2,2)66kkkZ5三角函数的值域问题,实质上大多是三角函数与其他初等函数的复合函数的值域问高考数学一轮第十三讲 第 3 页共 13 页 题常用方法有:
5、利用换元法、配方法等方法转化为二次函数在某个区间上的值域;利用单调性及三角函数的有界性求解【提示】正切函数的图象是由直线()隔开的无穷多支曲线组成的,单调区2xkkZ间是,不能说它在整个定义域内是增函数,如,但是(,)22kkkZ3 44,当然,正切函数不存在减区间3tantan44二、求三角函数的性质的常用方法1基本函数法:对照基本函数,、的性质求相关函数的sinyxcosyxtanyx性质如求的对称中心时,由于的对称中心为,由3sin(2)3yxsinyx(,0)k=得(),故所求的对称中心为()23xk26kxkZ(,0)26kkZ2恒等变换法:先对函数解析式化简,一般要化简到所含自变量
6、只有一个角的三角函数,再利用基本函数法求相关的性质在化简时,应注意下述恒等变换思想的运用:切割化弦、 “l”的代换、收缩、和差与积的互化、降幂、角的变换、换元等考点分类精讲考点考点 1 1 三角函数图象三角函数图象1三角函数图象特征的把握2利用变换作图法作三角函数的图象3利用三角函数图象的形象直观解题【例 1】(1)已知是实数,则函数的图象不可能是 ( )a( )1sinf xaax A B C D(2)将函数)22)(2sin()(xxf的图象向右平移)0(个单位长度后得到函数)(xg的图象,若)(),(xgxf的图象都经过点)23, 0(P,则的值可以是A35B65C2D6高考数学一轮第十
7、三讲 第 4 页共 13 页 (3)定义在区间上的函数的图像与的图像的交点为, 20,6cosyx5tanyxP过点作轴于点,直线与的图像交于点,则线段的长P1PPx1P1PPsinyx2P12PP为 【解析】(1)当时,图象即为 C;当时,三角函数的周期为0a ( )1f x 01a,图象即为 A;当时,三角函数的周期为,图象即22T1a 22T为 B故选 D(2)把)23, 0(P代入)22)(2sin()(xxf,解得3,所以)232sin()(xxg,把)23, 0(P代入得,k或6 k,观察选项,故选 B(3)线段的长即为的值,且其中的满足,解得12PPsin xx6cos5tanx
8、x=线段的长为sin x2 312PP2 3点拨:要善于从三角函数图象上读出有关信息,这是解题的重要依据和切入点,同时三角函数图象的形象直观地为我们解题提供又一途径【例 2】用五点作图法画出函数的图象,3sincos22xxy 【解析】(1)列表:将函数解析式化简为,列表如下:2sin()26xy26x023 22x32 35 38 311 32sin()26xy02020(2)描点:描出点(,0)、 (,2) 、 (,0) 、 (,) 、 (,0) 32 35 38 3211 3(3)连线:用平滑的曲线将这五个点连接起来,最后将其向两端伸展,得到图象如图所示高考数学一轮第十三讲 第 5 页共
9、 13 页 xy1138353233 O考点考点 2 2 三角函数的性质三角函数的性质1探求三角函数性质2已知三角函数性质,求有关参数的取值范围3利用三角函数性质解决有关问题【例 3】(1)函数的部分图像如图所示,则的单调递减区间为( )cos()f xx( )f xA, B,13(,)44kkkZ13(2,2)44kkkZC, D,13(,)44kkkZ13(2,2)44kkkZ(2)已知,函数在单调递减,则的取值范围是0)4sin()(xxf),2(AB C D45,2143,2121, 0(2 , 0(3)已知函数,其中为实数,若对 恒成立,( )sin(2)f xx( ) |()|6f
10、 xfxR且,则的单调递增区间是()( )2ff( )f xA B,36kk()kZ,2kk()kZC D2,63kk()kZ,2kk()kZ(4)设=,其中,若对一切( )f xsin2cos2axbx, a bR0ab ( ) |()|6f xf恒成立,则xR11()012f高考数学一轮第十三讲 第 6 页共 13 页 7|()|10f|()|5f既不是奇函数也不是偶函数( )f x的单调递增区间是( )f x2,63kk()kZ存在经过点的直线与函数的图像不相交( , )a b( )f x以上结论正确的是 (写出所有正确结论的编号) 【解析】(1)由图象可知,242m+=+pp32425
11、mmZ所以,,2,4 mmZ所以函数的单调递减区间为,( )cos(2)cos()44f xxmx,即,224kxkppppp+132244kxk-+kZ(2)函数的图像可看作是由函数的图像先向左平移)4sin()(xxf( )sinf xx个单位得的图像,再将图像上所有点的横坐标缩小到原来的4( )sin()4f xx倍,纵坐标不变得到的,而函数的减区间是,所以要使1 ( )sin()4f xx5,44函数在上是减函数,需满足,解得)4sin()(xxf),2(1 42 51 4 15 24(3)因为当时,恒成立,所以,可得xR( )()|6f xf|()sin()163f 或,26k526
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- AN 第十 三讲 三角函数 图象 性质
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