K第十讲 主干考点 解析几何.doc
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1、第十讲第十讲 主干考点主干考点 解析几何解析几何【名师高考导航名师高考导航】平面解析几何是高考考查的重点知识之一,它侧重于对形象思维、推理运算和数形结合等能力的考查,综合了代数、三角、几何、向量等知识,所涉及的知识点较多,对解题能力考查的层次较高解决这一类问题的关键在于:通观全局,局部入手,整体思维即在掌握通性通法的同时,不应只形成一个个的解题套路,而应当从宏观上去把握,从微观上去突破,在审题和解题思路的整体设计上下工夫,不断克服解题中的运算难关反映在解题上,就是把曲线的几何特征准确地转换为代数形式,根据方程画出图形,研究几何性质解析几何与其他学科或实际问题的综合,主要体现在用解析几何知识去解
2、有关问题,具体地说就是通过建立坐标系研究曲线的方程,并通过求解方程来解决实际问题【考点思维脑图考点思维脑图】【重要考点串讲重要考点串讲】一、直线与圆一、直线与圆1直线方程的五种形式名称条件方程适用范围点斜式斜率与点k00(,)xy00()yyk xx不含直线0xx斜截式斜率与截距kbykxb不含垂直于轴的直线x两点式两点,11( ,)x y22(,)xy112121yyxx yyxx(,)12xx12yy不含垂直于坐标轴的直线截距式截距与ab1xy ab不含垂直于坐标轴的直线和过原点的直线一般式0AxByC220AB平面直角坐标系内的直线都适用2直线的两种位置关系若给定两直线:和:,1l11y
3、k xb2l22yk xb(1)平行:且(若,直线和重合)12ll12kk12bb12bb1l2l(2)垂直:12ll121k k 【提醒】当一条直线的斜率为 0,另一条直线的斜率不存在时,两直线也垂直,此种情形易忽略3距离公式(1)两点,间的距离111( ,)P x y222(,)P xy22 121212|()()PPxxyy(2)点到直线 :的距离00(,)P xyl0AxByC0022|AxByCd AB (3)两平行线:,:的距离1l10AxByC2l20AxByC1222|CCd AB 4圆的方程(1)圆的标准方程:222()()xaybr(2)圆的一般方程:220xyDxEyF2
4、2(40)DEF圆心为,半径长为;(,)22DE22142DEF二元二次方程表示圆的充要条件是220AxBxyCyDxEyF220040ACBDEAF 5直线与圆的位置关系:相切、相交、相离(1)判断位置关系的两种方法(2)圆的切线方程若圆:,点在圆上(注意:点必须在圆上) ,则过O222xyr00(,)P xyOP点且与圆 O 相切的切线方程为P2 00x xy yr过圆 M:上点的切线方程为222()()xaybr00(,)P xy2 00()()()()xa xayb ybr(3)直线与圆相交直线与圆相交时,若 为弦长,为弦心距,为半径,则有,即ldr222( )2lrd,求弦长或已知弦
5、长求其他量的值,一般用此公式222lrd6圆与圆的位置关系:外离、外切、相交、内切、内含(1)判断圆与圆的位置关系的方法几何法位置关系图示,的关系dRr外离dRr外切dRr相交RrdRr内切dRr内含dRr代数法,设圆:,圆:,对于1C22 1110xyD xE yF2C22 2220xyD xE yF方程组,22 111 22 2220 0xyD xE yF xyD xE yF 有两组不同的实数解两圆相交;有两组相同的实数解两圆相切;无实数解两圆外离或内含(2)两圆相交时,公共弦所在直线的方程设圆: ,圆:1C22 1110xyD xE yF2C,若两圆相交,则有一条公共弦,由,得22 22
6、20xyD xE yF,121212()()0DD xEEyFF方程表示两圆与的公共弦所在直线的方程1C2C二、圆锥曲线与方程二、圆锥曲线与方程1椭圆、双曲线、抛物线的定义及几何性质椭圆、双曲线、抛物线的定义及几何性质椭圆双曲线抛物线定义12| 2PFPFa12(2|)aFF12| 2PFPFa12(2|)aFF|PFd标准方程焦点在轴上x22221xy ab(0)ab焦点在轴上x22221xy ab(0,0)ab焦点在轴正半轴x上22ypx(0)p 图象范围,|xa|yb,|xayR,0xyR顶点,(,0)a(0,)b(,0)a(0,0)对称性关于轴、轴和原点对称xy关于轴对称x焦点(,0)
7、c(,0)2p轴长轴长,短轴长2a2b实轴长,虚轴长2a2b离心率221cbeaa(01)e221cbeaa(1)e 1e 准线2px 通经22|bABa| 2ABp几何性质渐近线byxa 2与双曲线与双曲线有相同渐近线的双曲线方程可设为有相同渐近线的双曲线方程可设为(0),渐近线,渐近线22221xy ab2222xy ab方程为方程为的双曲线方程也可设为的双曲线方程也可设为(0)求双曲线求双曲线byxa 2222xy ab(0)的渐近线方程,只需令的渐近线方程,只需令即可即可2222xy ab03抛物线抛物线中中的几何意义是焦点到准线的距离的几何意义是焦点到准线的距离22ypxp4直线与圆
8、锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线方程联立,消去(或) ,得到方程(或yx20axbxc) 20aybyc若,当时,相交;0a 0 当时,相切;0 当时,相离0 若时,直线与双曲线的渐近线平行,与双曲线有一个交点直线与抛物线的0a 对称轴平行,只有一个交点5弦长问题的求解方法弦长问题的求解方法(1)斜率为的直线与圆锥曲线交于两点,则所得弦长k111( ,)P x y222(,)P xy或2 1221|1|PPkxx122121|1|PPyyk其中求与时通常使用根与系数的关系,即作如下变形:21|xx21|yy,2 211212|()4|xxxxx xa2 211212|()
9、4|yyyyy ya(2)当斜率不存在时,可求出交点坐标,直接运算(利用两点间的距离公式)k6中点弦问题的处理方法中点弦问题的处理方法(1)根与系数关系法:将直线方程代入圆锥曲线的方程,消元后得到一元二次方程,利用根与系数的关系和中点坐标公式建立等式求解,即“设而不求” (2)点差法:若直线 与圆锥曲线 C 有两个交点和,一般地,首先设出交点坐标lAB,代人曲线方程,通过作差,构造,11( ,)A x y22(,)B xy12xx12yy12xx,从而建立了中点坐标和斜率的关系12yy在椭圆中,以为中点的弦所在直线的斜率;22221xy ab00(,)P xy2 0 2 0b xka y 在双
10、曲线中,以为中点的弦所在直线的斜率;22221xy ab00(,)P xy2 0 2 0b xka y在抛物线()中,以为中点的弦所在直线的斜率22ypx0p 00(,)P xy0pky【方法技巧突破方法技巧突破】必考点必考点 1 求解直线与圆的有关问题求解直线与圆的有关问题【典例 1】(2017 全国卷)在直角坐标系中,曲线与轴交于,xOy22yxmxxA两点,点的坐标为当变化时,解答下列问题:BC(0,1)m(1)能否出现的情况?说明理由;ACBC(2)证明过,三点的圆在轴上截得的弦长为定值ABCy【解析】(1)不能出现的情况,理由如下:ACBC设,则,满足,所以1( ,0)A x2(,0
11、)B x1x2x220xmx122x x 又的坐标为,故的斜率与的斜率之积为,C(0,1)ACBC12111 2xx 所以不能出现的情况ACBC(2)的中点坐标为,可得的中垂线方程为BC21(, )22xBC2 21()22xyx x由(1)可得,所以的中垂线方程为12xxm AB2mx 联立,又,可得,2 22 1()22mxxyx x 2 2220xmx2 1 2mxy 所以过、三点的圆的圆心坐标为,半径ABC1(,)22m29 2mr故圆在轴上截得的弦长为,y222()32mr 即过、三点的圆在轴上的截得的弦长为定值ABCy【典例 2】(2016 全国) 已知直线 :与圆交于,l330m
12、xym2212xyA两点,过,分别作 的垂线与轴交于,两点若,则BABlxCD| 2 3AB =_|CD【解析】设圆心到直线的距离为,:330l mxymd则弦长,得,2| 2 122 3ABd3d 即,解得,则直线,2|33 |3 1mm 3 3m :360l xy数形结合可得|4cos30ABCD 【典例 3】过点的直线 与圆有公共点,则直线 的倾斜角的取值(3, 1)P l122 yxl范围是A B C D60,(30,(60,30,【解析】解法一 如图,要使过点的直线 与圆有公共点,则直线 在 PA 与 PB 之间,Pll因为,所以,则,1sin2623APB所以直线 的倾斜角的取值范
13、围为故选 Dl0,3解法二 因为直线 与圆有公共点,所以设 :,l122 yxl1(3)yk x 即 :,则圆心到直线 的距离,l310kxyk (0,0)l 2|31|1 1kk得,即,故直线 的倾斜角的取值范围是 230kk03kl0,3【误区警示】求倾斜角时要注意斜率是否存在利用三角函数的单调性,借助图象或单位圆数形结合,确定倾斜角的取值范围【典例 4】在平面直角坐标系中,直线被圆截得xOy230xy22(2)(1)4xy的弦长为 【解析】因为圆心到直线的距离,所以直线(2, 1)230xy|223|3 55d被圆截得的弦长为230xy92 552 455【方法探究】求圆的弦长的方法一是
14、直接求出直线与圆的交点坐标,利用两点间的距离公式求得二是不求交点坐标,利用一元二次方程根与系数的关系得出,即设直线的斜率为,k联立直线方程与圆的方程消去后得到方程两根为,则弦y1x2x长2 121|dkxx三是利用半弦长、弦心距及半径构成的直角三角形来求,对于圆中的弦长问题,一般利用第三种方法较为简单,本题的求解运用的就是此种方法必考点必考点 2 求解直线与圆锥曲线的相关问题求解直线与圆锥曲线的相关问题角度角度 l 圆锥曲线的几何性质及应用圆锥曲线的几何性质及应用【典例 1】(2017 天津) 已知双曲线的左焦点为,离心率22221(0,0)xyababF为若经过和两点的直线平行于双曲线的一条
15、渐近线,则双曲线的方程2F(0,4)P为A B C D22 144xy22 188xy22 148xy22 184xy【解析】设,双曲线的渐近线方程为,由,由题意有(,0)Fcbyxa 44PFkcc,又,得,选 B4b ca2c a222cab2 2b 2 2a 【典例 2】(2016 浙江)已知椭圆:()与双曲线:(1C2 2 21xym1m 2C2 2 21xyn)的焦点重合,分别为,的离心率,则0n 1e2e1C2CA且 B且mn1 21ee mn1 21ee C且 D且mn1 21ee mn1 21ee 【解析】由于,则,故,221mc 221nc 222mnmn又=1+1,2222
16、24 21 2 1 22222421111()22nmnnnne emnnnnn421 2nn所以1故选 A1 2e e【典例 3】设椭圆的左、右焦点分别为,过作轴的01:2222 baby axC21FF,2Fx垂线与交于两点,与轴相交于点,若,则椭圆的离心CBA,BF1yDBFAD1C率等于_【解析】由题意知,其中,因为过且与轴垂直的直1(,0)Fc2( ,0)F c22cab2Fx线为,由椭圆的对称性可设它与椭圆的交点为,因为 ABxc2 ( ,)bA ca2 ( ,)bB ca平行于 y 轴,且,所以,即 D 为线段为的中点,所12| |FOOF1| |FDBDD1FB以点的坐标为,由
17、,所以,D2 (0,)2b aBFAD1 11ADF Bkk 即,整理得,所以,222 ()0210()bbb aaa ccc 232bac223()2acac又,所以,解得(舍去) cea01e23230ee3 3e 3e 【方法探究】对椭圆性质的考查主要集中在其离心率上,求解椭圆的离心率及其范围问题,其关键是确立一个关于,的关系式,再根据,的关系消掉得到,abcabcba的关系式,建立关于,的关系式要充分利用椭圆的几何性质、点的坐标的范围cabc等【误区警示】椭圆的离心率越接近 1,则越接近,从而越小,因此eca22bac椭圆越扁;越接近 0,则越接近,这时椭圆接近于圆,当且仅当时,eba
18、ab0c 这时两个焦点重合,椭圆就变为圆,方程为注意椭圆中,不要222xya222abc把这个关系与双曲线中,的关系混淆了,同时要注意椭圆的离心率的取值范围abce是01e【典例 4】设直线与双曲线的两条渐近线分别30(0)xymm22221(0,0)xyabab交于点,若点满足,则该双曲线的离心率是_AB( ,0)P m| |PAPB【解析】本题考查双曲线的几何性质、直线与双曲线的位置关系联立直线方程与双曲线的渐近线方程可解得交点为,而byxa (,)33ambmAbaba(,)33ambmBbaba ,设 AB 的中点为 E,由,可得 AB 的中点 E 与点 P的连线的斜率1 3ABk|
19、|PAPB为,即,化简得,所以33302333 2bmbm babaamam babam 224ba5 2e 【方法探究】在求双曲线的渐近线方程时要掌握其简易求法由,所以可以把标准方程,0bxyyxaab 22220xy ab22221xy ab(0a 中的“l”用“0”替换即可得出渐近线方程,双曲线的离心率是描述双曲线“张口”0)b 大小的一个数据,由于,当逐渐增大时,的值就逐渐增大,22 21bcaeaaeb a双曲线的“张口”就逐渐增大【典例 5】设为抛物线 C:的焦点,过且倾斜角为 30的直线交于两F23yxFC,A B点,为坐标原点,则的面积为OOABA B C D3 3 49 3
20、863 329 4【解析】易知抛物线中,焦点,直线的斜率,故直线的方3 2p 3( ,0)4FAB3 3k AB程为,代入抛物线方程,整理得33()34yx23yx22190216xx设,则,1122( ,), (,)A x yB xy1221 2xx由物线的定义可得弦长,12|12ABxxp结合图象可得到直线的距离,OAB3sin3028pd 所以的面积选 DOAB19|24SAB d【技巧点拨】直线与圆锥曲线相交问题中,求相关三角形的面积是一类基本问题,本题中利用直线“过焦点”的特征及抛物线的定义并结合图象进行转化、求解,简化了运算过程,若按一般的相交弦问题处理,其过程如下:由方程得,可1
21、221 2xx129 16x x 得弦长,又到直线 AB 的距离,所以22 1212|1()4ABkxxx xO 23 4 1d k OAB 的面积2 1212139|()4284SAB dxxx x角度角度 2 圆锥曲线中定点、定值问题的求解圆锥曲线中定点、定值问题的求解【典例 1】(2017 全国卷)已知椭圆:,四点,C22221(0)xyabab1(1,1)P,2(0,1)P,中恰有三点在椭圆上33( 1,)2P 43(1,)2P C(1)求的方程;C(2)设直线 不经过点且与相交于,两点若直线与直线的斜率的l2PCAB2P A2P B和为,证明: 过定点1l【解析】(1)由于,两点关于
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- 第十 主干 考点 解析几何
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