常微分方程 可降阶的高阶微分方程.pptx
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1、会计学1常微分方程常微分方程 可降阶的高阶微分方程可降阶的高阶微分方程2 前一章介绍了一些一阶微分方程的解法前一章介绍了一些一阶微分方程的解法前一章介绍了一些一阶微分方程的解法前一章介绍了一些一阶微分方程的解法,在实际的应用中,还会遇到高阶的微分方程,在实际的应用中,还会遇到高阶的微分方程,在实际的应用中,还会遇到高阶的微分方程,在实际的应用中,还会遇到高阶的微分方程,在这一章,我们讨论二阶及二阶以上的微分方程在这一章,我们讨论二阶及二阶以上的微分方程在这一章,我们讨论二阶及二阶以上的微分方程在这一章,我们讨论二阶及二阶以上的微分方程,即高阶微分方程的求解方法和理论即高阶微分方程的求解方法和理
2、论即高阶微分方程的求解方法和理论即高阶微分方程的求解方法和理论.第1页/共35页33.1 3.1 可降阶的高阶方程可降阶的高阶方程可降阶的高阶方程可降阶的高阶方程n阶微分方程的一般形式是阶微分方程的一般形式是:当当时时,统称为高阶微分方程统称为高阶微分方程.一、可降阶的高阶方程1、不显含未知函数的方的方程程(3.1.2(3.1.2)不显含未知函数不显含未知函数x x 或不显含未知函数及其或不显含未知函数及其 直到直到阶导数的方程是阶导数的方程是第2页/共35页4对上式进行对上式进行k 次积分次积分,可求出方程的解可求出方程的解.求解方法:若能求得其通解为若能求得其通解为:令 就可把化为关于 的
3、 阶方程:即即 第3页/共35页5例 求解方程解将方程积分三次,通解:第4页/共35页6它是一个一阶方程它是一个一阶方程,通解是通解是:则方程可化为则方程可化为:即即解解:令令例、求解方程积分四次积分四次,得原方程的通解为得原方程的通解为:第5页/共35页7例 解方程 解令代入原方程,第6页/共35页82 2、不显含自变量、不显含自变量、不显含自变量、不显含自变量t t t t 的方程的方程的方程的方程求解方法求解方法:方程的一般形式为方程的一般形式为:作为新未知函数,用用而把而把作为新的自变量,因为(3.1.3)(3.1.3)第7页/共35页9由数学归纳法知由数学归纳法知,可用可用 来表达来
4、表达,将这些表达式代入将这些表达式代入(3.1.3)(3.1.3)可得可得(3.1.3)(3.1.3)即有新方程即有新方程:它比原来的方程降低了一阶它比原来的方程降低了一阶.第8页/共35页10解代入原方程例可分离变量方程第9页/共35页11所以所以例 求解方程从而可得从而可得及及于是原方程化为于是原方程化为:作为新未知变量,取代入原变量得代入原变量得:故原方程的解为故原方程的解为:第10页/共35页123 3 3 3、全微分方程和积分因子全微分方程和积分因子全微分方程和积分因子全微分方程和积分因子若方程若方程若方程若方程的左端是某个的左端是某个n-1n-1阶微分表达式阶微分表达式对对t t
5、的全导数,即的全导数,即 称为全微分方程,显然有称为全微分方程,显然有(3.1.5)(3.1.5)第11页/共35页13若求得()的全部解若求得()的全部解若求得()的全部解若求得()的全部解:则它也一定是的解则它也一定是的解.后就成为全微分方程.称其为方程(3.1.4)的积分本身不是全微分方程本身不是全微分方程,有时方程(3.1.4)积分因子:但乘以一个合适的因子因子.(3.1.5)(3.1.5)第12页/共35页14例例例例 求解方程求解方程求解方程求解方程解:原方程可解:原方程可以写成以写成即即积分后得通解为故有第13页/共35页15例例例例 求解方程求解方程求解方程求解方程解解解解:方
6、程两边乘以因子方程两边乘以因子方程两边乘以因子方程两边乘以因子方程化为方程化为:故有故有 解得解得 故原方程的解为故原方程的解为 显然显然也是原方程的解也是原方程的解.第14页/共35页16微分方程满足条件的特解是或解可分离变量方程即第15页/共35页17求微分方程的积分曲线,使该积分曲线过点且在该点的切线斜率为2.解方程代入方程,得所求积分曲线为第16页/共35页18 思考题解积分方程过曲线 y=f(x)上点(x,f(x)处的切线方程为第17页/共35页19积分方程两边对x求导,即代入上式,得可分离变量方程可降阶的高阶微分方程xttfxy0,d)(1轴上的截距等于的切线在)()(d)(0 x
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