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1、一、不定积分的概念二、基本积分公式 三、不定积分的性质第一节第一节 不定积分的概念及性质不定积分的概念及性质第1页/共157页 1原函数的概念原函数说明:一、不定积分的概念一、不定积分的概念第2页/共157页 第3页/共157页第4页/共157页 2.不定积分的概念 例 1 求下列不定积分:第5页/共157页积分运算与微分运算之间的互逆关系:第6页/共157页 由于求不定积分是求导数的逆运算,所以由导数公 式可以相应地得出下列积分公式:二、二、基本积分公式基本积分公式第7页/共157页第8页/共157页 性质1 被积函数中不为零的常数因子可提到积分号外,即 性质2 两个函数代数和的积分,等于各
2、函数积分 的代数和,即例 4 求下列不定积分:三、三、不定积分的性质不定积分的性质第9页/共157页 例 5 求下列不定积分:第10页/共157页 例 6 求下列不定积分:(2)(2)第11页/共157页得得第12页/共157页思考题2思考下列问题:第13页/共157页一、换元积分法二、分部积分法 三、简单有理数的积分 第二节第二节 不定积分的积分方法不定积分的积分方法 第14页/共157页 1第一换元积分法(凑微分法)直接验证得知,计算方法正确,我们可以把原积分作下列变形后计算:,我们可以把原积分作下列变形后计算:换和计算:一、换元积分法一、换元积分法第15页/共157页 还成立?回答是肯定
3、的,我们有下述定理:第16页/共157页 可一般化为下列计算程 序:第17页/共157页第18页/共157页 下面的例子,将继续展示凑微分法的解题技巧第19页/共157页 例 6 求下列积分:解解(1 1)第20页/共157页 本题六个积分今后经常用到,可以作为公式使用 第21页/共157页 例 7 求下列积分:解 本题积分前,需先用代数运算或三角变换对被 积函数做适当变形第22页/共157页第23页/共157页第24页/共157页第25页/共157页本题说明,选用不同的积分方法,可能得出不同形式的积分结果第26页/共157页第二换元积分法第27页/共157页第28页/共157页第29页/共1
4、57页第30页/共157页第31页/共157页一般地说,当被积函数含有第32页/共157页二、分部积分法二、分部积分法第33页/共157页第34页/共157页第35页/共157页第36页/共157页第37页/共157页第38页/共157页第39页/共157页 解一 分项,凑微分第40页/共157页 解五 分部积分第41页/共157页利用多项式除法,总可把假分式化为一多项式与真分式之和,例如 多项式部分可以逐项积分,因此以下只讨论真分式的积 分法三、简单有理式的积分三、简单有理式的积分第42页/共157页 化真分式为部分分式之和举例说明:第43页/共157页第44页/共157页第45页/共157
5、页 有理真分式的积分:有理真分式的积分大体有下面 三种形式:前两种积分,简单凑微分法即可获解,下面举例说 明(3)式的积分方法第46页/共157页第47页/共157页第48页/共157页第49页/共157页第50页/共157页思考题 1.第一换元法(即凑微分法)与第二换元法的区别是 什么?第51页/共157页 一、定积分的实际背景 二、定积分的概念三、定积分的几何意义四、定积分的性质第三节第三节 定积分的概念定积分的概念第52页/共157页第三节第三节 定积分的概念定积分的概念 1.曲曲边边梯梯形形的的面面积积 曲曲边边梯梯形形:若若图图形形的的三三条条边边是是直直线线段段,其其中中有有两两条
6、条垂垂直直 于于第第三三条条底底边边,而而其其第第四四条条边边是是曲曲线线,这这样样的的图图形形称称为为曲曲 边边梯梯形形,如如左左下下图图所所示示.yOMPQNBxCAA推广为推广为一、定积分的实际背景一、定积分的实际背景第53页/共157页 曲边梯形面积的确定方法:把该曲边梯形沿着 y轴方向切割成许多窄窄的长条,把每个长条近似看作一个矩形,用长乘宽求得小矩形面积,加起来就是曲边梯形面积的近似值,分割越细,误差越小,于是当所有的长条宽度趋于零时,这个阶梯形面积的极限就成为曲边梯形面积的精确值了.如下图所示:0 x1x2xxnOxy y=f(x)0 x=axn=b第54页/共157页第55页/
7、共157页 2变速直线运动的路程变速直线运动的路程 第56页/共157页二、定积分的概念二、定积分的概念 第57页/共157页第58页/共157页第59页/共157页三、定积分的几何意义三、定积分的几何意义第60页/共157页第61页/共157页第62页/共157页四、定积分的性质四、定积分的性质第63页/共157页仍有仍有第64页/共157页第65页/共157页第66页/共157页第67页/共157页思考题第68页/共157页一、变上限的定积分二、牛顿-莱布尼茨(Newton-Leibniz)公式第四节第四节 微积分基本公式微积分基本公式第69页/共157页第四节第四节 微积分基本公式微积分
8、基本公式 第70页/共157页一、变上限的定积分一、变上限的定积分第71页/共157页第72页/共157页如右图所示如右图所示:第73页/共157页例2 求下列函数的导数:第74页/共157页第75页/共157页二、二、牛顿牛顿-莱布尼茨莱布尼茨(Newton-LeibnizNewton-Leibniz)公)公式式 第76页/共157页第77页/共157页例1求定积分:第78页/共157页第79页/共157页第80页/共157页思考题思考题 第81页/共157页一、定积分的换元积分法二、定积分的分部积分法第五节第五节 定积分的积分方法定积分的积分方法第82页/共157页第五节 定积分的积分方法
9、一、定积分的换元积分法一、定积分的换元积分法第83页/共157页第84页/共157页第85页/共157页第86页/共157页第87页/共157页第88页/共157页注意注意:求定积分一定要注意定积分的存在性求定积分一定要注意定积分的存在性.第89页/共157页第90页/共157页第91页/共157页第92页/共157页二、定积分的分部积分法二、定积分的分部积分法第93页/共157页第94页/共157页第95页/共157页第96页/共157页第97页/共157页第98页/共157页一、无穷区间上的广义积分二、无界函数的广义积分第六节第六节 广广 义义 积积 分分第99页/共157页第六节 广 义
10、 积 分一、无穷区间上的广义积分一、无穷区间上的广义积分第100页/共157页第101页/共157页第102页/共157页第103页/共157页第104页/共157页第105页/共157页二、被积函数有无穷间断点的广义积分二、被积函数有无穷间断点的广义积分第106页/共157页第107页/共157页第108页/共157页第109页/共157页第110页/共157页第111页/共157页第112页/共157页一、一、定积分应用的微元法定积分应用的微元法二、二、用定积分求平面图形的面积用定积分求平面图形的面积三、三、用定积分求体积用定积分求体积四、四、平面曲线的弧长平面曲线的弧长第七节第七节 定积
11、分的应用定积分的应用五、五、定积分的物理应用定积分的物理应用六、经济应用问题举例第113页/共157页 第七节第七节 定积分的应用定积分的应用 用定积分计算的量的特点:用定积分计算的量的特点:一、一、定积分应用的微元法定积分应用的微元法 第114页/共157页用定积分概念解决实际问题的四个步骤:用定积分概念解决实际问题的四个步骤:第115页/共157页定积分应用的微元法定积分应用的微元法:第116页/共157页微元法中微元的两点说明:微元法中微元的两点说明:第117页/共157页 1.1.直角坐标系下的面积计算直角坐标系下的面积计算 二、用定积分求平面图形的面积二、用定积分求平面图形的面积第1
12、18页/共157页第119页/共157页第120页/共157页第121页/共157页第122页/共157页 2.2.极坐标下的面积计算极坐标下的面积计算 第123页/共157页第124页/共157页第125页/共157页1.1.平行截面面积为已知的立体体积平行截面面积为已知的立体体积三、用定积分求体积三、用定积分求体积第126页/共157页第127页/共157页解解 取坐标系如图,则底圆方程为取坐标系如图,则底圆方程为.第128页/共157页2、旋转体体积旋转体体积 第129页/共157页第130页/共157页第131页/共157页四、平面曲线的弧长四、平面曲线的弧长第132页/共157页第1
13、33页/共157页第134页/共157页第135页/共157页第136页/共157页 思考题 第137页/共157页1.1.功功(1)(1)变力做功变力做功 五、定积分的物理应用五、定积分的物理应用 第138页/共157页第139页/共157页于是功为于是功为 若移至无穷远处,则做功为若移至无穷远处,则做功为 第140页/共157页第141页/共157页第142页/共157页(2)(2)抽水做功抽水做功 第143页/共157页于是功为于是功为 第144页/共157页2.2.液体对平面薄板的压力液体对平面薄板的压力 第145页/共157页于是,端面所受的压力为第146页/共157页第147页/共157页 3.3.转动惯量转动惯量 第148页/共157页第149页/共157页第150页/共157页第151页/共157页1 1已知总产量的变化率求总产量已知总产量的变化率求总产量.六、经济应用问题举例六、经济应用问题举例第152页/共157页2、已知边际函数求总量函数、已知边际函数求总量函数.第153页/共157页第154页/共157页第155页/共157页思考题思考题 第156页/共157页感谢您的观看!第157页/共157页
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