一元函数积分学.pptx
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1、第十六章第十六章 一元函数积分学一元函数积分学 微分和积分是高等数学中的两大基本运算.微分的基本问题是:已知一个函数,求它的导数.但是,在许多实际问题中往往会遇到反问题:已知一个函数的导数,求原来的函数.由此产生了积分学.积分学包括不定积分和定积分两大部分.第1页/共154页第一节第一节 不定积分的概念与性质不定积分的概念与性质一、原函数第2页/共154页第3页/共154页证第4页/共154页二、不定积分第5页/共154页证第6页/共154页由导数与不定积分定义,很容易得到如下规律:(微分运算与不定积分的运算是互逆的!)第7页/共154页三、不定积分的几何意义第8页/共154页由于不定积分是微
2、分的逆运算,所以根据微分基本公式就得对应的积公式:四、基本的积分公式第9页/共154页 以上13个公式是积分法的基础,必须熟记,不仅要记住等式右端的结果,还要熟悉左端被积函数的形式!第10页/共154页 由导数的运算法则和不定积分的定义,可以得到以下不定积分的运算法则.法则1对于有限个函数的代数和也是成立的!五、积分的基本运算法则第11页/共154页解第12页/共154页解解第13页/共154页解解第14页/共154页解第15页/共154页解第16页/共154页思考题答案答案答案第17页/共154页课堂练习题答案答案第18页/共154页第二节第二节 不定积分不定积分 利用直接积分法能计算的不定
3、积分是非常有限的,因此有必要探索计算不定积分的新方法.本节介绍换元积分法与分部积法、换元积分法可分为第一类换元法和第二类换元法.第一类换元积分法(又称凑微分法)是与微分分学中的复合函数微分法则相应的积分法.一、第一类换元积分法第19页/共154页注:换元过程可以省略.第20页/共154页一般地,若不定积分被积表达式能写成第21页/共154页下面举例说明解解第22页/共154页解解第23页/共154页 以上几例都是直接用凑微分求积分的,下在介绍几个常用的凑微分的等式供参考第24页/共154页解解第25页/共154页解第26页/共154页解第27页/共154页解第28页/共154页解法二解法一第2
4、9页/共154页二、第二类换元积分法第30页/共154页解第31页/共154页解第32页/共154页解图16-3 辅助直角三角形第33页/共154页解图16-4 辅助直角三角形第34页/共154页解图16-5 辅助直角三角形第35页/共154页图16-3 辅助直角三角形图16-4 辅助直角三角形图16-5 辅助直角三角形第36页/共154页 第二类换元法常用于被积函数中含有根式的情况,常用的变量替换可总结如下.在做三角替换时,可以利用直角三角形的边角关系确定有关三角函数的关系,按图做代换及还原.第37页/共154页 本节一些例题的结果,可当作公式使用,为便于读者使用,将这些常用的积分公式列举如
5、下.第38页/共154页 两类换元法就介绍这里,归纳起来看,它们的实质就是变量代换,变量代换是求不定积分的最基本的方法之一。因此,善于恰当地利用变量代换是掌握积技巧的关键.想要做到恰当,第一要熟悉基本积分公式,因为变量代换最终要化为积分公式中已有的形式;第二要熟悉微分表,因为变量代换(或凑微分)时经常用到它,同时要熟具体函数及其微分特征,这样才较好地掌握换元积分法.第39页/共154页三、分部积分法第40页/共154页解第41页/共154页解解在此例中,两次用了分部积分法.第42页/共154页解第43页/共154页解第44页/共154页解第45页/共154页解法二解法一第46页/共154页解法
6、三 由例22可以看出,求不定积分,常有多种方法,比较灵活,各种解法都有其特点,学习中要注意不断积累经验.第47页/共154页思考题答案答案第48页/共154页课堂练习题答案答案答案第49页/共154页第三节第三节 定积分的概念与性定积分的概念与性质质1.曲边梯形的面积 在初等数学中,已经解决了圆、三角形、矩形及多边形等图形的面积问题,而对由任意曲线所围成的一般平面图形的面积计算问题还未解决,其原因是用初等数学方法是非常困难的.这里介绍计算曲边梯形的面积的方法,有了这种方法就可以解决一般封闭图形的面积问题.一、两个实例第50页/共154页图16-7 求曲边梯形面积第51页/共154页第52页/共
7、154页(见图167)第53页/共154页第54页/共154页2.变速直线运动的路程第55页/共154页第56页/共154页 以上的两个实例具有不同的实际意义,但计算这些量时使用的方法是相同的.抛开这些问题的具体意义,由表达式在数量关系上的共同特性,抽象出定积分的概念.二、定积分的定义第57页/共154页第58页/共154页第59页/共154页关于定积分的定义做以下三点说明.第60页/共154页三、定积分的几何意义第61页/共154页第62页/共154页第63页/共154页例1 用定积分表示图16-9中四个图形阴影部分的面积解16-9(a)16-9(b)第64页/共154页16-9(c)16-
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