2021年全国统一高考数学试卷(文科)(大纲版).docx
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1、2021 年全国统一高考数学试卷(文科)(大纲版)一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分)1(5 分)(2011大纲版)设集合 U1,2,3,4,M1,2,3,N2,3,4,则U(MN)()A1,2B2,3C2,4D1,42(5 分)(2011大纲版)函数 y(x0)的反函数为()Ay(xR)(x0)Cy4x2(xR)Dy4x2(x0)3(5 分)(2011大纲版)设向量 、 满足| | |1, ,| +2 |()A. B C、 D.4(5 分)(2011大纲版)若变量 x、y 满足约束条件,则 z2x+3y 的最小值为()A17B14C5D35(5 分)(2011大纲版)
2、下面四个条件中,使 ab 成立的充分而不必要的条件是()Aab+1Bab1Ca2b2Da3b36(5 分)(2011大纲版)设 Sn 为等差数列an的前 n 项和,若 a11,公差 d2,Sk+2Sk24,则 k()A8B7C6D57(5 分)(2011大纲版)设函数 f(x)cosx(0),将 yf(x)的图象向右平移个单位长度后,所得的图象与原图象重合,则的最小值等于()A B3C6D98(5 分)(2011大纲版)已知直二面角l,点 A,ACl,C 为垂足,点 B,BDl,D 为垂足,若 AB2,ACBD1,则 CD()A2 C D19(5 分)(2011大纲版)4 位同学每人从甲、乙、
3、丙 3 门课程中选修 1 门,则恰有 2 人选修课程甲的不同选法共有()A12 种B24 种C30 种D36 种10(5 分)(2011大纲版)设 f(x)是周期为 2 的奇函数,当 0x1 时,f(x)2x(1x),则()A B C D11(5 分)(2011大纲版)设两圆 C1、C2 都和两坐标轴相切,且都过点(4,1),则两圆心的距离|C1C2|()A4 C8D12(5 分)(2011大纲版)已知平面截一球面得圆 M,过圆心 M 且与成 60二面角的平面截该球面得圆 N,若该球的半径为 4,圆 M 的面积为 4,则圆 N 的面积为( ) A7B9C11D13二、填空题(共 4 小题,每小
4、题 5 分,满分 20 分)13(5 分)(2011大纲版)(1x)10 的二项展开式中,x 的系数与 x9 的系数之差为:14(5 分)(2011大纲版)已知 a(,),tan2,则 cos 15(5 分)(2011大纲版)已知正方体 ABCDA1B1C1D1 中,E 为 C1D1 的中点,则异面直线 AE 与 BC 所成的角的余弦值为 16(5 分)(2011大纲版)已知 F1、F2 分别为双曲线 C:的左、右焦点,点 AC,点 M 的坐标为(2,0),AM 为F1AF2 的平分线,则|AF2| 三、解答题(共 6 小题,满分 70 分)17(10 分)(2011大纲版)设等比数列an的前
5、 n 项和为 Sn,已知 a26,6a1+a330,求 an 和 Sn18(12 分)(2011大纲版)ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c已知 asinA+csinCasinCbsinB,()求 B;()若 A75,b2,求 a,c19(12 分)(2011大纲版)根据以往统计资料,某地车主购买甲种保险的概率为 0.5,购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为 0.3,设各车主购买保险相互独立()求该地 1 位车主至少购买甲、乙两种保险中的 1 种的概率;()求该地的 3 位车主中恰有 1 位车主甲、乙两种保险都不购买的概率20(12 分)(2011大纲版)如图,四棱锥 SABC
6、D 中,ABCD,BCCD,侧面 SAB 为等边三角形,ABBC2,CDSD1()证明:SD平面 SAB;()求 AB 与平面 SBC 所成的角的大小21(12 分)(2011大纲版)已知函数 f(x)x3+3ax2+(36a)x+12a4(aR)()证明:曲线 yf(x)在 x0 处的切线过点(2,2);()若 f(x)在 xx0 处取得极小值,x0(1,3),求 a 的取值范围22(12 分)(2011大纲版)已知 O 为坐标原点,F 为椭圆 C:在 y 轴正半轴上 的焦点,过 F 且斜率为的直线 l 与 C 交于 A、B 两点,点 P 满()证明:点 P 在 C 上;()设点 P 关于点
7、 O 的对称点为 Q,证明:A、P、B、Q 四点在同一圆上2011 年全国统一高考数学试卷(文科)(大纲版)参考答案与试题解析一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分)1(5 分)(2011大纲版)设集合 U1,2,3,4,M1,2,3,N2,3,4,则U(MN)()A1,2B2,3C2,4D1,4【分析】先根据交集的定义求出 MN,再依据补集的定义求出U(MN)【解答】解:M1,2,3,N2,3,4,MN2,3,则U(MN)1,4,故选:D【点评】本题考查两个集合的交集、补集的定义,以及求两个集合的交集、补集的方法2(5 分)(2011大纲版)函数 y(x0)的反函数为()
8、Ay(xR)(x0)Cy4x2(xR)Dy4x2(x0)【分析】由原函数的解析式解出自变量 x 的解析式,再把 x 和 y 交换位置,注明反函数的定义域(即原函数的值域)【解答】解:y(x0),x,y0,故反函数为 y(x0) 故选:B【点评】本题考查函数与反函数的定义,求反函数的方法和步骤,注意反函数的定义域是原函数的值域3(5 分)(2011大纲版)设向量 、 满足| | |1, ,| +2 |()A. B C、 D.【分析】由 +2|,代入已知可求【解答】解 |1, ,|+2| 故选:B【点评】本题主要考查了向量的数量积性质的基本应用,属于基础试题4(5 分)(2011大纲版)若变量 x
9、、y 满足约束条件,则 z2x+3y 的最小值为()A17B14C5D3【分析】我们先画出满足约束条件的平面区域,然后求出平面区域内各个顶点的坐标,再将各个顶点的坐标代入目标函数,比较后即可得到目标函数的最值【解答】解:约束条件的平面区域如图所示:由图可知,当 x1,y1 时,目标函数 z2x+3y 有最小值为 5故选:C【点评】本题考查的知识点是线性规划,其中画出满足约束条件的平面区域是解答本题的关键5(5 分)(2011大纲版)下面四个条件中,使 ab 成立的充分而不必要的条件是()Aab+1Bab1Ca2b2Da3b3【分析】利用不等式的性质得到 ab+1ab;反之,通过举反例判断出 a
10、b 推不出 ab+1;利用条件的定义判断出选项【解答】解:ab+1ab;反之,例如 a2,b1 满足 ab,但 ab+1 即 ab 推不出 ab+1, 故 ab+1 是 ab 成立的充分而不必要的条件故选:A【点评】本题考查不等式的性质、考查通过举反例说明某命题不成立是常用方法6(5 分)(2011大纲版)设 Sn 为等差数列an的前 n 项和,若 a11,公差 d2,Sk+2Sk24,则 k()A8B7C6D5【分析】先由等差数列前 n 项和公式求得 Sk+2,Sk,将 Sk+2Sk24 转化为关于 k 的方程求解【解答】解:根据题意:Sk+2(k+2)2,Skk2Sk+2Sk24 转化为:
11、(k+2)2k224k5故选:D【点评】本题主要考查等差数列的前 n 项和公式及其应用,同时还考查了方程思想,属中档题7(5 分)(2011大纲版)设函数 f(x)cosx(0),将 yf(x)的图象向右平移个单位长度后,所得的图象与原图象重合,则的最小值等于()A B3C6D9【分析】函数图象平 个单位长度后,所得的图象与原图象重合,说明函数平移整数 个周期,容易得到结果【解答】解:f(x)的周期 ,函数图象平 个单位长度后,所得的图象与原 图象重合,说明函数平移整数个周期,所 ,kZ令 k1,可得6 故选:C【点评】本题是基础题,考查三角函数的图象的平移,三角函数的周期定义的理解,考查技术
12、能力,常考题型8(5 分)(2011大纲版)已知直二面角l,点 A,ACl,C 为垂足,点 B,BDl,D 为垂足,若 AB2,ACBD1,则 CD()A2 C D1【分析】根据线面垂直的判定与性质,可得 ACCB,ACB 为直角三角形,利用勾股定理可得 BC 的值;进而在 RtBCD 中,由勾股定理可得 CD 的值,即可得答案【解答】解:根据题意,直二面角l,点 A,ACl,可得 AC面, 则 ACCB,ACB 为 Rt,且 AB2,AC1,由勾股定理可得 ;在 RtBCD 中 ,BD1, 由勾股定理可得 ;故选:C【点评】本题考查两点间距离的计算,计算时,一般要把空间图形转化为平面图形,进
13、而构造直角三角形,在直角三角形中,利用勾股定理计算求解9(5 分)(2011大纲版)4 位同学每人从甲、乙、丙 3 门课程中选修 1 门,则恰有 2 人选修课程甲的不同选法共有()A12 种B24 种C30 种D36 种【分析】本题是一个分步计数问题,恰有 2 人选修课程甲,共有 C42 种结果,余下的两个人各有两种选法,共有 22 种结果,根据分步计数原理得到结果【解答】解:由题意知本题是一个分步计数问题,恰有 2 人选修课程甲,共有 C426 种结果,余下的两个人各有两种选法,共有 224 种结果, 根据分步计数原理知共有 6424 种结果故选:B【点评】本题考查分步计数问题,解题时注意本
14、题需要分步来解,观察做完这件事一共有几步,每一步包括几种方法,这样看清楚把结果数相乘得到结果10(5 分)(2011大纲版)设 f(x)是周期为 2 的奇函数,当 0x1 时,f(x)2x(1x),则()A B C D【分析】由题意得f( )f(),代入已知条件进行运算【解答】解:f(x)是周期为 2 的奇函数,当 0x1 时,f(x)2x(1x),f( )f()2 (1 ), 故选:A【点评】本题考查函数的周期性和奇偶性的应用,以及求函数的值11(5 分)(2011大纲版)设两圆 C1、C2 都和两坐标轴相切,且都过点(4,1),则两圆心的距离|C1C2|( )A4 C8D【分析】圆在第一象
15、限内,设圆心的坐标为(a,a),(b,b),利用条件可得 a 和 b 分别为 x2 10x+17 0 的两个实数根, 再利用韦达定理求得两圆心的距离|C1C2| 的值【解答】解:两圆 C1、C2 都和两坐标轴相切,且都过点(4,1),故圆在第一象限内,设两个圆的圆心的坐标分别为(a,a),(b,b),由于两圆都过点(4,1),则 |a|,|b|, 故 a 和 b 分别为(x4)2+(x1)2x2 的两个实数根,即 a 和 b 分别为 x210x+170的两个实数根,a+b10,ab17,(ab)2(a+b)24ab32,两圆心的距离 8, 故选:C【点评】本题考查直线和圆相切的性质,两点间的距
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