《微积分》(下)复习大纲.doc
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1、微积分(下)教案第六章 定积分教学目的和要求:1、了解定积分的概念及存在定理,理解定积分的基本性质和中值定理2、掌握牛顿-莱布尼兹公式,掌握定积分的换元法和分部积分法3、理解两种广义积分的概念并掌握它们的求法4、理解定积分的应用并掌握它们的求法重点:1、 牛顿-莱布尼兹公式2、 定积分的换元法和分部积分法难点:1、 定积分的概念2、 积分上限函数的概念与应用3、 定积分的换元法和分部积分法中的技巧第一节 定积分的概念和性质教学目的和要求: 1、通过曲边梯形的面积以及变速直线运动的路程实例引入定积分的概念,从中领会从有限到无限、特殊到一般的数学思想,从而培养学生的数学意识和利用数学解决实际问题的
2、能力。2、使学生掌握定积分的概念和存在定理,并通过例题使学生学会如何处理和解决相应的数学问题。3、理解定积分的基本性质和中值定理重点:定积分的概念教学过程:一、问题的提出1、 几何上,曲边梯形的面积(1)曲边梯形的特征(2)面积的计算方法2、物理上,变速直线运动的路程注:让学生比较两个问题的共性 (1)解决问题步骤相同 (2)所求量的结构式相同二、定积分的定义1、定义注意问题 (1)在定义中,区间的划分和点选取的任意性 (2)所划分的区间长度的最大值趋于零和所分区间无穷多之间的关系(3)定积分的值只与被积函数和积分区间有关,与积分变量的写法无关 (4) 定积分的实质是特殊和式的极限2、定积分存
3、在的条件3、定积分的几何意义四、小结教学目的和要求:1、理解定积分的基本性质和中值定理2、使学生能用定积分的性质进行估值、比较大小重点:定积分的基本性质教学过程:一、定积分的性质 1、线性性质(1)2、线性性质(2)3、区间可加性4、用定积分求矩行面积的公式5、定积分的不等式性质6、定积分的估值不等式7、定积分的中值定理注意问题: (1)可以把理解为在上的平均值二、例题分析例1:估计积分的值注:本题考察估值不等式性质例2:估计积分的值注:本题在考察估值不等式性质的同时,复习了求最值的方法例3:比较和的值 注:本题考察不等式性质三、小结第一节微积分基本定理教学目的和要求:1、掌握积分上限函数的定
4、义及其性质2、掌握微积分基本公式(牛顿-莱布尼茨公式),会用这个公式求一些函数的定积分重点:1、积分上限函数的定义及其性质2、牛顿-莱布尼茨公式教学过程:一、问题的引入 1、变速直线运动中位置函数与速度函数之间的关系二、积分上限函数的定义及其性质1、积分上限函数的定义2、积分上限函数的性质注意问题 (1)积分上限函数的导数公式的几种重要变形 3、原函数存在定理注意问题 (1)定理的一个意义在于肯定了连续函数的原函数是存在的 (2)定理的另一意义在于揭示了定积分与原函数之间的关系三、牛顿-莱布尼茨公式注意问题 (1)求定积分实际上转化为求原函数的问题四、例题分析例1:求下列定积分 (1) (2)
5、注:本题考察牛顿-莱布尼兹公式例2:求下列函数的导数 注:本题考察积分上限函数的性质例3:计算曲线y=sinx在上与x轴所围成的平面图形的面积 注:本题考察牛顿-莱布尼兹公式的应用,并同时考察定积分的几何意义例4: ,求注:本题考察定积分的区间可加性例5:求注:本题考察积分上限函数的导数和洛必达法则例6:设在内连续,且,求证:函数在内为单调增加函数注:本题考察商的导数,积分上限函数导数,单增函数的判定,引导学生将所学知识有机结合五、小结第一节定积分的换元法教学目的和要求:1、使学生掌握定积分的换元法重点:1、定积分的换元法教学过程:一、定积分的换元法注:(1)第一类换元积分法:新变量不必明显引
6、入,不涉及到积分限的问题(2)第二类换元积分法:需引入新的变量,而且换元要换限 二、例题分析例1:计算注:本题考察定积分换元法,可以不必引入新变量例2:计算注:本题考察定积分换元法,不必引入新变量,由于开方加绝对值,还要应用区间可加性例3:计算 注:本题考察定积分换元法,需要引入新变量,换元要换限例4:当f(x)在上连续,且f(x)为偶函数,则f(x)为奇函数,则注:本题结果可以作为结论使用,但要注意必须满足三个条件:连续、奇偶函数、对称区间例5:计算注:例3的应用例6:若在上连续,证明(1)(2),由此计算 注:本题可作为结论用四、小结 定积分的分部积分法教学目的和要求:1、使学生掌握定积分
7、的分部积分法重点:1、定积分的分部积分法教学过程:一、定积分的分部积分法注:定积分分部积分法与不定积分的分部积分法之区别 二、例题分析例1:计算注:本题考察定积分分部积分法例2:计算注:本题考察定积分分部积分法,要进行适当变形例3:计算注:本题可以采用两种方法,一是运用分部积分法;一是运用换元法,可以比较选用例4:证明定积分公式 注:本题结果可以作为结论使用例5:设 求注:本题考察分部积分法和积分上限函数性质三、小结第一节 广义积分教学目的和要求:1、使学生理解广义积分实际上是普通定积分的极限,并会求解广义积分2、培养学生对广义积分尤其是无界函数广义积分的识别能力重点:1、广义积分的识别与计算
8、教学过程:一、广义积分的计算1、无穷限的广义积分2、无界函数的广义积分 二、例题分析例1:计算广义积分注:本题考察无穷限广义积分计算例2:计算广义积分注:本题考察无穷限广义积分计算和分部积分法例3:证明广义积分当时收敛,时发散注:本题考察无穷限广义积分的定义和计算例4:计算广义积分 注:本题考察无界函数广义积分的定义和计算例5:计算广义积分注:本题考察无界函数广义积分的计算和分部积分法例6:证明广义积分当时收敛,当时发散注:本题考察无界函数广义积分的定义和计算三、小结第一节定积分的应用教学目的和要求:1. 理解定积分应用于几何、物理问题时,元素法中的面积元素、体积元素、功元素等元素在坐标系中的
9、表达式,是列出积分式的关键。2. 学习用定积分的知识求解一些实际问题,同时可以对定积分有更充分的理解。3. 掌握(直角坐标系、极坐标系)面积,体积,弧长,变力作功的计算方法。重点:在直角坐标系中列出所求问题的积分式难点:建立合适的坐标系,元素的表示。 定积分的元素法教学目的和要求: 回顾定积分的引出和定义,理解被积表达式就是元素。定积分概念的巩固,对元素法的运用有利。重点:搭建出元素法的基本框架教学过程: 从讨论过的曲边梯形的面积开始,分割大化小,乘积常代变,近似求和,再取极限。 注意:突出面积元素是所分割面积元的近似值,是积分式中的被积表达式。以曲边梯形的面积为例,说明函数在坐标系中有确切的
10、位置和形状,面积 元的分割法与坐标系有关,积分限与闭区间有关。 面积还符合一个条件:具有可加性。 定积分在几何学上的应用教学目的和要求:1. 通过平面面积的计算,领会坐标系是为计算方便服务的。面积形状各不相同,但采用面积元素法的方法是相同的。同时掌握积分上、下限的确定(直角坐标系、极坐标系)。2. 通过旋转体体积的求法,学会体积元素的确定(两种:薄圆片和薄圆筒)。已知横截面积求体积的思想应掌握,以后二重积分还要用到。3. 通过计算平面光滑曲线弧长(虽然积分式繁一点,但是理解起来很直观),进一步体会微积分是个很有用的工具。4.掌握面积、体积、弧长的计算方法。重点:直角坐标系中面积、体积、弧长的求
11、法,极坐标系中面积的求法。分割元素,如何列式是重 点,积分方法是前一章的知识。难点:极坐标系中求面积,弧长。直角坐标系中选薄圆筒为旋转体体积的体积元素教学过程:通过例题分析介绍元素法一、 平面图形的面积 1.直角坐标系 例1:计算由两条抛物线:所围成图形的面积。 注:求两条抛物线的交点,确定图形范围,就是确定面积元素的范围,从而确定积分上、下限。 窄长条与坐标轴平行,让学生确定它的长和宽。如果面积元素与坐标轴不平行,行不行? 分别以x和y为自变量,方法与式子结构完全一样。积分上、下限是自变量的变化范围。 例2.:计算抛物线与直线 所围成图形的面积。 注:分别以x和y为自变量列式求解,比较它们的
12、不同。 本题当以x为自变量时,面积元素不能用一个表达式来表示,须分别求两块面积,再求和。 例3:求椭圆 所围成图形的面积。 注:利用对称性,利用椭圆的参数方程进行定积分换元法,可以使求解过程简捷。 再按直角坐标系找出y的显函数,列出积分式,比较繁与简。 例4:求摆线 的一拱与X轴所围成平面图形的面积。 其中(a0) 注:介绍摆线(旋轮线),一拱对应。巩固前面的方法。 2. 极坐标系 当面积的边界曲线用极坐标形式表示时,把它放在极坐标系中计算比较方便。 画图,利用扇形面积公式,写出中心角为的曲边扇形(面积元素)的面积近似表 达式,的变化范围对应积分限。 例5:计算双纽线 所围成图形的面积。(a0
13、) 例6:计算心形线 所围成图形的面积。(a0) 例7:计算阿基米德螺线 所围成图形的面积。(a0) 注:让学生学会抓住列定积分式的关键。二、 体积1. 旋转体的体积 一般情况,闭区间a,b上连续曲线构成的曲边梯形绕X轴旋转一周而成的立 体,叫旋转体。用垂直于旋转轴的平行平面切割,得到的薄圆片就是体积元素, 用圆柱体体积公式近似。画图。例8:原点O,点P(h,r),得直线OP,与X轴、围成三角形,绕X轴一周成 圆锥体,其半径为r,高为h,计算该圆锥体的体积。注:强调体积元素就是被积表达式。例9:计算摆线 的一拱,直线y=0所围图形分别绕 X轴、Y轴旋转一周而成的旋转体的体积。 注:求绕Y轴旋转
14、时,可以介绍两种分割体积元素的方法方法一:用垂直Y轴的平行平面切割,薄片的厚度,薄片的面积是个圆环。 或者看成两个旋转体积相减,列出式子基本相同。说明体积具有可加性。方法二:把旋转体看成由一系列高度不同,以Y轴为旋转轴的薄壁圆筒嵌套而成,每个圆筒 是体积元素。或者解释为,平面一拱上宽度为的面积元素,绕Y轴一周扫过的体 积,说明圆筒壁厚为。体积元素复杂一点,积分过程有可能简单一点。2. 平行截面面积为已知的立体的体积 在a,b内任一x处,已知立体的垂直于X轴的截面面积,就是已知面积函数A(x)。 同上面旋转体体积元素表示方法一样,每片的厚度,x处体积元素, 按给定区间积分。例10:一平面经过半径
15、为R的圆柱体底面直径,与底面交角a,计算这平面截圆柱体之 立体体积.例11:求半径为R的圆作底,平行且等于圆直径的线段为顶,高为h的正劈锥体的体 积. 注:元素法基本明白了.这里,在哪个方向取平行截面,利于找到面积函数上升为主要矛盾.原则是这 个立体放在坐标系里不能太任意,自变量沿坐标轴方向,垂直于该轴的任一截面面积应易于表示.三、 平面曲线的弧长平面光滑曲线对应具有一阶导数的函数,可以用直角坐标方程,参数方程或极坐标 方程来表示。若求给定区间内弧线长度,取任一微小弧段作为弧长元素,基本思想仍 是“以直代曲”自变量对应的微小弧段上的弦长代替该弧长,然后求和(积分) 即可。下面一种方程配一道例题
16、,1.直角坐标方程 画图,推导弧长元素微分表达式,列出定积分式。 例12:计算曲线 上,x从a到b的一段弧的长度。2.参数方程 推导弧长元素的参数形式微分表达式,列出定积分式。例13:求星形线 的全长。3. 极坐标方程 推导弧长元素极坐标形式微分表达式,列出定积分式。例14:求阿基米德螺线 相应于从0到的弧长。注:三种方程推出的公式不大一样,似乎比较繁,但是指导思想是直观的,清晰的。关键是抓住弧长元素。四、小结:五、练习题:七、无穷级数 常数项级数的概念与性质教学目标:1、理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念.2、掌握级数的基本性质及收敛的必要条件,掌握几何级数收敛和发散的条件.重点
17、难点:级数概念及其敛散性教学活动:一 问题的提出1、计算圆的面积(正多边形的面积)2、二 级数的概念1、级数的定义2、级数的收敛与发散即 常数项级数收敛(发散)存在(不存在)3、例题例1 讨论等比级数(几何级数)的收敛性.例2 判别无穷级数的收敛性.例3 判别无穷级数的收敛性.例4 试把循环小数表示成分数的形式.例5 求级数的和.三 基本性质1、级数的每一项同乘一个不为零的常数,敛散性不变.2、收敛级数可以逐项相加与逐项相减.3、级数前面加上有限项不影响级数的敛散性.4、收敛级数加括弧后所成的级数仍然收敛于原来的和.5、收敛的必要条件例6. 判断下列级数的敛散性, 若收敛求其和:四 小结(基本
18、审敛法)1、由定义,若,则级数收敛;2、当,则级数发散;3、基本性质. 常数项级数的审敛法教学目标:1、掌握正项级数的比较审敛法、比值审敛法,会用根值审敛法.2、掌握p级数的收敛与发散条件.3、掌握交错级数的莱布尼兹审敛法,掌握绝对收敛与条件收敛的概念及性质.重点难点:常数项级数的审敛法教学活动:一 正项级数及其审敛法1、正项级数的定义2、正项级数收敛的充要条件:3、比较审敛法(极限审敛法)4、比值审敛法(达朗贝尔DAlembert判别法)5、根值审敛法 (柯西判别法)6、例题例1 讨论P-级数的收敛性. 例2 判别下列级数的敛散性.例3 设则下列结论哪一个正确例4 例5 判定下列级数的敛散性
19、:(1) ; (2) ;(3)例6 判别下列级数的收敛性:(1); (2); (3).例7 判别下列级数的敛散性二 交错级数及其审敛法1、定义2、莱布尼茨定理 如果交错级数满足条件:();(),则级数收敛,且其和,其余项的绝对值.3、例题例1 判别下列级数的敛散性例2 判别级数的收敛性.三 绝对收敛与条件收敛1、定义2、定理3、例题例1 判别下列级数是否收敛,若收敛,是绝对收敛还是条件收敛?例2 判别级数的收敛性.例3 判别下列级数的敛散性例4 四 小结 幂级数教学目标:1、了解幂级数收敛域的结构及幂级数的和函数的概念.2、掌握一些幂级数的收敛半径和收敛区间的求法,会求一些简单幂级数的和函数.
20、 3、了解函数展开为幂级数的充分必要条件,掌握, 的麦克劳林展开式,并利用它们将一些简单函数间接展开为幂级数.重点:幂级数的收敛半径和收敛区间及幂级数的和函数难点:函数展开为幂级数教学活动:一 函数项级数的一般概念1、定义2、收敛点、收敛域3、和函数二 幂级数及其收敛性1、定义2、收敛性定理3、例题例1 求级数的收敛域.例2 求下列幂级数的收敛区间:例3 求幂级数的收敛区间.例4 三 幂级数的运算性质四 幂级数的和函数1、幂级数的和函数在收敛区间内连续,在端点收敛,则在端点单侧连续.2、幂级数的和函数在收敛区间内可积,且对可逐项积分.3、幂级数的和函数在收敛区间内可导, 并可逐项求导任意次.4
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