曲面及其方程 .pptx
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1、定义定义1.如果曲面 S 与方程 F(x,y,z)=0 有下述关系:(1)曲面 S 上的任意点的坐标都满足此方程;则 F(x,y,z)=0 叫做曲面曲面 S 的的方程方程,曲面 S 叫做方程 F(x,y,z)=0 的图形图形.两个基本问题两个基本问题 :(1)已知动点按照某种规律运动,求运动(2)坐标满足方程的点都在曲面 S 上,轨迹所产生的曲面方程.(2)已知方程时,研究它所表示的几何图形(必要时需作图).机动 目录 上页 下页 返回 结束 第1页/共31页故所求方程为例例1.求动点到定点求动点到定点方程.特别,当M0在原点时,球面方程为解解:设轨迹上动点为即依题意距离为 R 的轨迹表示上(
2、下)球面.机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、球面及其方程一、球面及其方程第2页/共31页例例2.研究方程研究方程解解:配方得此方程表示:说明说明:如下形式的三元二次方程(A 0)都可通过配方研究它的图形.其图形可能是的曲面.表示怎样半径为的球面.球心为 一个球面球面,或点点,或虚轨迹虚轨迹.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第3页/共31页二、柱面二、柱面引例引例.分析方程表示怎样的曲面.的坐标也满足方程解解:在 xoy 面上,表示圆C,沿曲线C平行于 z 轴的一切直线所形成的曲面称为圆圆故在空间过此点作柱面柱面.对任意 z,平行 z 轴的直线 l,表示圆柱面圆柱面在圆C上任取一点 其
3、上所有点的坐标都满足此方程,机动 目录 上页 下页 返回 结束 第4页/共31页定义定义2.平行定直线并沿定曲线 C 移动的直线 l 形成的轨迹叫做柱面柱面.表示抛物柱面抛物柱面,母线平行于 z 轴;准线为xoy 面上的抛物线.z 轴的椭圆柱面椭圆柱面.z 轴的平面平面.表示母线平行于(且 z 轴在平面上)表示母线平行于C 叫做准线准线,l 叫做母线母线.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第5页/共31页一般地一般地,在三维空间在三维空间柱面,柱面,平行于 x 轴;平行于 y 轴;平行于 z 轴;准线 xoz 面上的曲线 l3.母线柱面,准线 xoy 面上的曲线 l1.母线准线 yoz 面上
4、的曲线 l2.母线机动 目录 上页 下页 返回 结束 第6页/共31页定义定义3.一条平面曲线三、旋转面三、旋转面 绕其平面上一条定直线定直线旋转一周所形成的曲面叫做旋转面旋转面.该定直线称为旋转旋转轴,曲线成为旋转面的母线轴,曲线成为旋转面的母线例如例如:机动 目录 上页 下页 返回 结束 第7页/共31页建立建立yoz面上曲线面上曲线C 绕绕 z 轴旋转所成曲面的轴旋转所成曲面的方程方程:故旋转曲面方程为当绕 z 轴旋转时,若点给定 yoz 面上曲线 C:则有则有该点转到机动 目录 上页 下页 返回 结束 第8页/共31页思考:思考:当曲线当曲线 C 绕绕 y 轴旋转时,方程如轴旋转时,方
5、程如何?何?机动 目录 上页 下页 返回 结束 第9页/共31页例例3.试试建建立立顶顶点点在在原原点点,旋旋转转轴轴为为z 轴轴,半半顶顶角为角为的圆锥面方程.解解:在yoz面上直线L 的方程为绕z 轴旋转时,圆锥面的方程为两边平方机动 目录 上页 下页 返回 结束 第10页/共31页例例4.求求坐坐标标面面 xoz 上上的的双双曲线曲线分别绕 x轴和 z 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程.解解:绕 x 轴旋转绕 z 轴旋转这两种曲面都叫做旋转双曲面.所成曲面方程为所成曲面方程为机动 目录 上页 下页 返回 结束 第11页/共31页总结总结(1)面上的曲线 和 面上的曲线 绕 轴旋转所形成的旋
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- 曲面及其方程 曲面 及其 方程
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