概率论与数理统计期末考试'预习复习资料.doc
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1、 第第1 1章章 随随机机事事件件 及及其其概概率率 (1) 排列 组合 公式从m个人中挑出n个人进行排列的可能数。)!(! nmmPn m从m个人中挑出n个人进行组合的可能数。)!( ! nmnmCn m(2) 加法 和乘 法原理加加法法原原理理(两两种种方方法法均均能能完完成成此此事事): m m+ +n n 某件事由两种方法来完成,第一种方法可由 m种方法完成,第二种 方 法可由n种方法来完成,则这件事可由 m+n 种方法来完成。 乘乘法法原原理理(两两个个步步骤骤分分别别不不能能完完成成这这件件事事):m mn n 某件事由两个步骤来完成,第一个步骤可由 m种方法完成,第二个 步 骤可
2、由n 种方法来完成,则这件事可由 mn 种方法来完成。 (3) 一些 常见 排列重复排列和非重复排列(有序) 对立事件(至少有一个) 顺序问题(4) 随机 试验 和随 机事件如果一个试验在相同条件下可以重复进行,而每次试验的可能结果不 止一个,但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果,则称这 种试验为随机试验。 试验的可能结果称为随机事件。(5) 基本 事件、 样本 空间 和事件在一个试验下,不管事件有多少个,总可以从其中找出这样一组事件, 它具有如下性质: 每进行一次试验,必须发生且只能发生这一组中的一个事件; 任何事件,都是由这一组中的部分事件组成的。 这样一组事件中的每一个事件称为基
3、本事件,用来表示。基本事件的全体,称为试验的样本空间,用表示。 一个事件就是由 中的部分点(基本事件 )组成的集合。通常用 大写字母A,B,C,表示事件,它们是 的子集。 为必然事件, 为不可能事件。 不可能事件( )的概率为零,而概率为零的事件不一定是不可能事 件;同理,必然事件( )的概率为1,而概率为1的事件也不一 定 是必然事件。(6) 事件 的关 系与 运算关系: 如果事件A的组成部分也是事件B的组成部分,(A发生必有事件B 发生):BA 如果同时有,则称事件A与事件B等价,或称A等BA AB 于B:A=B。 A、B中至少有一个发生的事件:AB,或者A+B。属于A而不属于B的部分所构
4、成的事件,称为A与B的差,记为A- B,也可表示为A-AB或者,它表示A发生而B不发生的事件。BA A、B同时发生:AB,或者AB。AB=,则表示A与B不可能同时 发生,称事件A与事件B互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。-A称为事件A的逆事件,或称A的对立事件,记为A。它表示A不 发生的事件。互斥未必对立。 运算:结合率: A(BC)=(AB)C A(BC)=(AB)C分配率: (AB)C=(AC)(BC) (AB)C=(AC)(BC)德摩根率:11iiiiAA,BABABABA(7) 概率 的公 理化 定义设为样本空间,A为事件,对每一个事件A都有一个实数P(A), 若满足下列三个条件
5、: 1 0P(A)1, 2 P() =1 3 对于两两互不相容的事件1A,2A,有 11)(iiiiAPAP常称为可列(完全)可加性。 则称P(A)为事件A的概率。(8) 古典 概型1 ,n21,2 。nPPPn1)()()(21设任一事件A,它是由组成的,则有m21,P(A)= =)()()(21m)()()(21mPPPnm基本事件总数所包含的基本事件数A(9) 几何 概型若随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的可能性均匀,同 时样本空间中的每一个基本事件可以使用一个有界区域来描述,则称 此随机试验为几何概型。对任一事件 A,。其中L为几何度量(长度、面积、体积)。)()()(LAL
6、AP(10 )加 法公式P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) 当P(AB)0时,P(A+B)=P(A)+P(B)(11 )减 法公式P(A-B)=P(A)-P(AB) 当BA时,P(A-B)=P(A)-P(B) 当A=时,P()=1- P(B)B(12 )条 件概率定义 设A、B是两个事件,且P(A)0,则称为事件A发生条件)()( APABP下,事件B发生的条件概率,记为。)/(ABP)()( APABP条件概率是概率的一种,所有概率的性质都适合于条件概率。 例如P(/B)=1P(/A)=1-P(B/A)B (13 )乘 法公式乘法公式:)/()()(ABPAPABP更一般地,对事件
7、A1,A2,An,若P(A1A2An-1)0,则有21(AAP)nA)|()|()(213121AAAPAAPAP21|(AAAPn)1nA。(14 )独 立性两两个个事事件件的的独独立立性性 设事件A、B满足)()()(BPAPABP,则称事件A、B是相互独立 的。 若事件A、B相互独立,且0)(AP,则有)()()()( )()()|(BPAPBPAP APABPABP若事件A、B相互独立,则可得到A与B、A与B、A与B也都相 互独立。 必然事件和不可能事件与任何事件都相互独立。 与任何事件都互斥。 多多个个事事件件的的独独立立性性 设ABC是三个事件,如果满足两两独立的条件, P(AB)
8、=P(A)P(B);P(BC)=P(B)P(C);P(CA)=P(C)P(A) 并且同时满足P(ABC)=P(A)P(B)P(C) 那么A、B、C相互独立。 对于n个事件类似。(15 )全 概公式设事件nBBB,21满足 1nBBB,21两两互不相容,), 2 , 1(0)(niBPi,2niiBA1, 则有 )|()()|()()|()()(2211nnBAPBPBAPBPBAPBPAP。(16 )贝 叶斯 公式设事件1B,2B,nB及A满足 1 1B,2B,nB两两互不相容, )(BiP0,i1,2,n,2 niiBA1,0)(AP, 则,i=1,2,n。 njjjii i BAPBPBA
9、PBPABP1)/()()/()()/(此公式即为贝叶斯公式。 , (1i,2,n) ,通常叫先验概率。)(iBP, (1i,2,n) ,通常称为后验概率。贝叶斯公式反 映)/(ABPi 了“因果”的概率规律,并作出了 “由果朔因 ”的推断。(17 )伯 努利 概型我们作了n次试验,且满足 每次试验只有两种可能结果,A发生或A不发生; n次试验是重复进行的,即A发生的概率每次均一样; 每次试验是独立的,即每次试验A发生与否与其他次试验A发 生与否是互不影响的。 这种试验称为伯努利概型,或称为n重伯努利试验。 用p表示每次试验A发生的概率,则A发生的概率为qp 1,用 )(kPn表示n重伯努利试
10、验中A出现)0(nkk次的概率,knkknnqpkPC)(,nk, 2 , 1 , 0。 第第二二章章 随随机机变变量量及及其其分分布布 (1)离 散型随 机变量 的分布 律设离散型随机变量X的可能取值为Xk(k=1,2,)且取各个 值的概率,即事件 (X=Xk)的概率为 P(X=xk)=pk,k=1,2,, 则称上式为离散型随机变量X的概率分布或分布律。有时 也用分布列的形式给出: ,|)(2121kkkpppxxx xXPX 。 显然分布律应满足下列条件:(1)0kp,, 2 , 1k, (2)11kkp。 (2)连 续型随 机变量 的分布 密度设)(xF是随机变量X的分布函数,若存在非负
11、函数)(xf,对任 意实数x,有xdxxfxF)()(, 则称X为连续型随机变量。)(xf称为X的概率密度函数或密度 函数,简称概率密度。 密度函数具有下面4个性质: 1 0)(xf。2 1)(dxxf。 (3)离 散与连 续型随 机变量 的关系dxxfdxxXxPxXP)()()( 积分元在连续型随机变量理论中所起的作用与dxxf)(kkpxXP)(在离散型随机变量理论中所起的作用相类似。(4)分 布函数设为随机变量, 是任意实数,则函数Xx)()(xXPxF 称为随机变量X的分布函数,本质上是一个累积函数。可以得到X落入区间的概率。)()()(aFbFbXaP,(ba分布函数表示随机变量落
12、入区间( ,x内的概率。)(xF分布函数具有如下性质: 1 ;, 1)(0xFx2 是单调不减的函数,即时,有 )(xF21xx )(1xF;)(2xF3 , ;0)(lim)( xFF x1)(lim)( xFF x 4 ,即是右连续的;)()0(xFxF)(xF5 。)0()()(xFxFxXP对于离散型随机变量,; xxkkpxF)(对于连续型随机变量, 。 x dxxfxF)()( 0-1分布P(X=1)=p, P(X=0)=q二项分布在 重贝努里试验中,设事件 发生的概率为 。nAp事件 发生的次数是随机变量,设为 ,则可能AXX 取值为。n, 2 , 1 , 0, 其中knkk n
13、nqpCkPkXP)()( ,nkppq, 2 , 1 , 0, 10 ,1则称随机变量 服从参数为 , 的二项分布。记Xnp为。),(pnBX当时,这就是( 0-1nkkqpkXP1)(1 . 0k1)分布,所以( 0-1)分布是二项分布的特例。 泊松分布设随机变量 的分布律为X,ekkXPk!)(02 , 1 , 0k 则称随机变量 服从参数为 的泊松分布,记为X 或者P( )。)(X泊松分布为二项分布的极限分布( np=,n) 。 超几何分 布),min(,2 , 1 , 0,)(nMllkCCCkXPn Nkn MNk M 随机变量X服从参数为n,N,M的超几何分布,记为 H(n,N,
14、M)。(5)八 大分布几何分布,其中p0,q=1-p。, 3 , 2 , 1,)(1kpqkXPk随机变量X服从参数为p的几何分布,记为G(p)。 均匀分布设随机变量X的值只落在 a,b内,其密度函数)(xf在a,b上为常数,即ab 1其他, , 0,1 )(abxf则称随机变量X在a,b上服从均匀分布,记为 XU(a,b)。 分布函数为xdxxfxF)()(当ax1b。axb)(xf,xe0x,0, 0x,)(xF,1xe0x, 0xx1时,有F(x2,y)F(x1,y);当y2y1时,有F(x,y2) F(x,y1); (3)F(x,y)分别对x和y是右连续的,即 );0,(),(), 0
15、(),(yxFyxFyxFyxF (4). 1),(, 0),(),(),(FxFyFF(5)对于,2121yyxx.0)()()()(11211222yxFyxFyxFyxF,(4)离 散型与连 续型的 关系dxdyyxfdyyYydxxXxPyYxXP)()()(,离散型X的边缘分布为;), 2 , 1,()(jipxXPPij jiiY的边缘分布为。), 2 , 1,()(jipyYPPij ijj(5)边 缘分布连续型X的边缘分布密度为 ;dyyxfxfX),()(Y的边缘分布密度为.),()(dxyxfyfY离散型在已知X=xi的条件下, Y取值的条件分布为;iij ijppxXyY
16、P)|(在已知Y=yj的条件下, X取值的条件分布为,)|(jij jippyYxXP(6)条 件分布连续型在已知Y=y的条件下, X的条件分布密度为;)(),()|(yfyxfyxfY在已知X=x的条件下, Y的条件分布密度为)(),()|(xfyxfxyfX(7)独一般型F(X,Y)=FX(x)FY(y) 离散型jiijppp有零不独立 连续型f(x,y)=fX(x)fY(y) 直接判断,充要条件: 可分离变量 正概率密度区间为矩形 二维正态 分布, 121),(2222121211 221)(2)1(212 yyxxeyxf0立性随机变量 的函数若X1,X2,Xm,Xm+1,Xn相互独立
17、, h,g为连续函 数,则: h(X1,X2,Xm)和g(Xm+1,Xn)相互独立。 特例:若X与Y独立,则: h(X)和g(Y)独立。例如:若X与Y独立,则: 3X+1和5Y-2独立。 (8)二 维均匀分 布设随机向量( X,Y)的分布密度函数为 其他, 0),(1),(DyxS yxfD其中SD为区域D的面积,则称( X,Y)服从D上的均匀分布, 记为(X,Y)U(D) 。 例如图3.1、图3.2和图3.3。 y 1D1 O 1 x图3.1y 1O 2 x图3.2y dc O a b x 图3.3D21D3 (9)二 维正态分 布设随机向量( X,Y)的分布密度函数为, 121),(222
18、2121211 221)(2)1(212 yyxxeyxf其中是5个参数,则称( X,Y)服从1| , 0, 0,21, 21二维正态分布,记为(X,Y)N().,2 22 1, 21由边缘密度的计算公式,可以推出二维正态分布的两个边缘分 布仍为正态分布,即XN().(),2 2, 22 11NY但是若XN(,(X,Y)未必是二维正态分)(),2 2, 22 11NY布。 Z=X+Y根据定义计算:)()()(zYXPzZPzFZ对于连续型, fZ(z)dxxzxf ),(两个独立的正态分布的和仍为正态分布( ) 。2 22 121,n个相互独立的正态分布的线性组合,仍服从正态 分布。, iii
19、CiiiC222(10)函 数分布Z=max,mi n(X1,X2, Xn)若相互独立,其分布函数分别为nXXX21,,则Z=max,min(X1,X2,Xn)()()( 21xFxFxF nxxx,的分布函数为: )()()()( 21maxxFxFxFxF nxxx)(1 )(1 )(1 1)( 21minxFxFxFxF nxxx 分布2设n个随机变量相互独立,且服从标nXXX,21准正态分布,可以证明它们的平方和 niiXW12的分布密度为 . 0, 0, 0221)(2122uueu nufunn我们称随机变量W服从自由度为n的分布,记2为W,其中)(2n.2012dxexnxn 所
20、谓自由度是指独立正态随机变量的个数,它 是随机变量分布中的一个重要参数。 分布满足可加性:设2),(2 iinY 则).(21 12 kkiinnnYZt分布设X,Y是两个相互独立的随机变量,且 ),(),1 , 0(2nYNX 可以证明函数nYXT /的概率密度为21 2 1221)( nnt nnntf ).(t 我们称随机变量T服从自由度为n的t分布,记 为Tt(n)。 )()(1ntnt F分布设,且X与Y独立,可以证)(),(22 12nYnX明的概率密度函数为21 / nYnXF 0, 00,1222 )(22112221212121 11yyynnynn nnnnyfnn nn我
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