人教A版数学必修二教案2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系.pdf
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1、2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系一、教材分析空间中直线与直线的位置关系是立体几何中最基本的位置关系,直线的异面关系是本节的重点和难点.异面直线的定义与其他概念的定义不同,它是以否定形式给出的,因此它的证明方法也就与众不同.公理 4是空间等角定理的基础,而等角定理又是定义两异面直线所成角的基础,请注意知识之间的相互关系,准确把握两异面直线所成角的概念.二、教学目标1知识与技能(1)了解空间中两条直线的位置关系;(2)理解异面直线的概念、画法,培养学生的空间想象能力;(3)理解并掌握公理4;(4)理解并掌握等角公理;(5)异面直线所成角的定义、范围及应用。2过程与方法让学生在学习过程中不
2、断归纳整理所学知识.3情感、态度与价值让学生感受到掌握空间两直线关系的必要性,提高学生的学习兴趣.三、重点难点两直线异面的判定方法,以及两异面直线所成角的求法.四、课时安排1 课时五、教学设计(一)导入新课思路 1.(情境导入)在浩瀚的夜空,两颗流星飞逝而过(假设它们的轨迹为直线),请同学们讨论这两直线的位置关系.学生:有可能平行,有可能相交,还有一种位置关系不平行也不相交,就像教室内的日光灯管所在的直线与黑板的左右两侧所在的直线一样.教师:回答得很好,像这样的两直线的位置关系还可以举出很多,又如学校的旗杆所在的直线与其旁边公路所在的直线,它们既不相交,也不平行,即不能处在同一平面内.今天我们
3、讨论空间中直线与直线的位置关系.思路 2.(事例导入)观察长方体(图1),你能发现长方体ABCD A B C D中,线段 AB所在的直线与线段CC所在直线的位置关系如何?图 1(二)推进新课、新知探究、提出问题什么叫做异面直线?总结空间中直线与直线的位置关系.两异面直线的画法.在同一平面内,如果两直线都与第三条直线平行,那么这两条直线互相平行.在空间这个结论成立吗?什么是空间等角定理?什么叫做两异面直线所成的角?什么叫做两条直线互相垂直?活动:先让学生动手做题,再回答,经教师提示、点拨,对回答正确的学生及时表扬,对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路.讨论结果:异面直线是指不同在任何一个平面
4、内的两条直线.它是以否定的形式给出的,以否定形式给出的问题一般用反证法证明.空间两条直线的位置关系有且只有三种.结合长方体模型(图 1),引导学生得出空间的两条直线的三种位置关系:.,:;,:;,:没有公共点不同在任何一个平面内异面直线没有公共点同一平面内平行直线有且只有一个公共点同一平面内相交直线共面直线教师再次强调异面直线不共面的特点,作图时通常用一个或两个平面衬托,如图2.图 2 组织学生思考:长方体 ABCD ABCD中,如图1,BB AA,DD AA,BB与 DD 平行吗?通过观察得出结论:BB 与 DD 平行.再联系其他相应实例归纳出公理4.公理 4:平行于同一条直线的两条直线互相
5、平行.符号表示为:ab,bcac.强调:公理4 实质上是说平行具有传递性,在平面、空间这个性质都适用.公理 4是:判断空间两条直线平行的依据,不必证明,可直接应用.等角定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补.怎么定义两条异面直线所成的角呢?能否转化为用共面直线所成的角来表示呢?可以把异面直线所成角转化为平面内两直线所成角来表示.如图 3,异面直线a、b,在空间中任取一点O,过点 O 分别引 aa,b b,则 a,b所成的锐角(或直角)叫做两条异面直线所成的角.图 3 针对这个定义,我们来思考两个问题.问题 1:这样定义两条异面直线所成的角,是否合理?对空间中的任一点O
6、 有无限制条件?答:在这个定义中,空间中的一点是任意取的.若在空间中,再取一点O(图 4),过点 O 作 a a,b b,根据等角定理,a 与 b 所成的锐角(或直角)和a与 b 所成的锐角(或直角)相等,即过空间任意一点引两条直线分别平行于两条异面直线,它们所成的锐角(或直角)都是相等的,值是唯一的、确定的,而与所取的点位置无关,这表明这样定义两条异面直线所成角的合理性.注意:有时,为了方便,可将点O 取在 a 或 b 上(如图3).图 4 问题 2:这个定义与平面内两相交直线所成角是否矛盾?答:没有矛盾.当 a、b 相交时,此定义仍适用,表明此定义与平面内两相交直线所成角的概念没有矛盾,是
7、相交直线所成角概念的推广.在定义中,两条异面直线所成角的范围是(0,90,若两条异面直线所成的角是直角,我们就说这两条异面直线互相垂直.例如,正方体上的任一条棱和不平行于它的八条棱都是相互垂直的,其中有的和这条棱相交,有的和这条棱异面(图5).图 5(三)应用示例思路 1例 1 如图 6,空间四边形ABCD 中,E、F、G、H 分别是 AB、BC、CD、DA 的中点.图 6 求证:四边形EFGH 是平行四边形.证明:连接 EH,因为 EH 是ABD 的中位线,所以EHBD,且 EH=BD21.同理,FGBD,且 FG=BD21.所以 EH FG,且 EH=FG.所以四边形EFGH 为平行四边形
8、.变式训练1.如图 6,空间四边形ABCD 中,E、F、G、H 分别是 AB、BC、CD、DA 的中点且AC=BD.求证:四边形EFGH 是菱形.证明:连接 EH,因为 EH 是ABD 的中位线,所以EHBD,且 EH=BD21.同理,FGBD,EFAC,且 FG=BD21,EF=AC21.所以 EH FG,且 EH=FG.所以四边形EFGH 为平行四边形.因为 AC=BD,所以 EF=EH.所以四边形EFGH 为菱形.2.如图 6,空间四边形ABCD 中,E、F、G、H 分别是 AB、BC、CD、DA 的中点且AC=BD,AC BD.求证:四边形EFGH 是正方形.证明:连接 EH,因为 E
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- 人教 数学 必修 教案 2.1 空间 直线 之间 位置 关系
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