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1、实际问题与二次函数实际问题与二次函数利润最大利润最大(小小)值问题值问题说题教师:冼云彤某宾馆有50个房间供游客居住,当每个房间每天的定价为180元时,房间会全部住满;当每个房间每天的定价每增加10元时,就会有一个房间空闲。如果游客居住房间,宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用,房价定为多少时,宾馆利润最大?一、题目分析一、题目分析二、解题过程二、解题过程三、总结提升三、总结提升四、自我评价四、自我评价一、题目分析一、题目分析(1)题目背景(2)学情分析(3)题目重点、难点(4)教法分析(1)题目背景)题目背景1、本题涉及的知识点是二次函数的图、本题涉及的知识点是二次函数的图像和性质,既是
2、学习一次函数及其应用后的像和性质,既是学习一次函数及其应用后的巩固与延伸,又为高中乃至以后学习更多函巩固与延伸,又为高中乃至以后学习更多函数打下坚实的理论和思想方法基础。数打下坚实的理论和思想方法基础。2、本题作为学习探究、本题作为学习探究2(商品涨价降价,如(商品涨价降价,如何定价能使利润最大)的对应练习,它有别何定价能使利润最大)的对应练习,它有别于学习中的探索活动,更不是课堂上教师的于学习中的探索活动,更不是课堂上教师的直接讲授,而是需要学生尝试从实际问题中直接讲授,而是需要学生尝试从实际问题中分析变量之间的关系,建立函数模型,并借分析变量之间的关系,建立函数模型,并借助二次函数的图像和
3、性质解决问题。助二次函数的图像和性质解决问题。3、新课标中要求学生能通过对实际问题的情、新课标中要求学生能通过对实际问题的情境的分析确定二次函数的表达式,体会其意义,境的分析确定二次函数的表达式,体会其意义,能根据图象的性质解决简单的实际问题,而最能根据图象的性质解决简单的实际问题,而最值问题又是生活中利用二次函数知识解决最常值问题又是生活中利用二次函数知识解决最常见、最有实际应用价值的问题之一,通过本题见、最有实际应用价值的问题之一,通过本题的学习,希望学生能初步形成解决二次函数实的学习,希望学生能初步形成解决二次函数实际问题的解题模式。际问题的解题模式。(2)学情分析)学情分析一、题目分析
4、一、题目分析(1)题目背景(2)学情分析(3)题目重点、难点(4)教法分析 学生已经掌握了二次函数的最值问题的学生已经掌握了二次函数的最值问题的解题方法,但本题信息量大,已知条件复杂,解题方法,但本题信息量大,已知条件复杂,彼此交错影响,理不出头绪,容易生出畏难彼此交错影响,理不出头绪,容易生出畏难情绪。情绪。在解题过程中将数学模型的思想逐步细在解题过程中将数学模型的思想逐步细化,体会运用函数观点解决实际问题的作用,化,体会运用函数观点解决实际问题的作用,初步体验建立函数模型的过程和方法初步体验建立函数模型的过程和方法(3)题目重点、难点)题目重点、难点一、题目分析一、题目分析(1)题目背景(
5、2)学情分析(3)题目重点、难点(4)教法分析重点:重点:从实际问题中抽象出二次函数从实际问题中抽象出二次函数 运用二次函数的性质解决最大运用二次函数的性质解决最大(小)值的问题(小)值的问题难点:难点:将实际问题转化为二次函数问将实际问题转化为二次函数问题题一、题目分析一、题目分析(1)题目背景(2)学情分析(3)题目重点、难点(4)教法分析(4)教法分析)教法分析教学方法:教学方法:采用问题式教学法,结合以学生分组讨采用问题式教学法,结合以学生分组讨论的学习方法论的学习方法突出重点方法:突出重点方法:关注学生在解题活动中的参与程度关注学生在解题活动中的参与程度 和思维水平,及时引导和归纳,
6、帮助学生积累研究和思维水平,及时引导和归纳,帮助学生积累研究函数实际问题的步骤和方法。函数实际问题的步骤和方法。难点突破方法:难点突破方法:将学生难以理解,难以理清的知识,将学生难以理解,难以理清的知识,进行拆分,由简及深的以问题启发学生。进行拆分,由简及深的以问题启发学生。二、解题过程二、解题过程 本题是以文字信息形式出现,求最大利本题是以文字信息形式出现,求最大利润的实际应用问题,要抓住题目中的关键词润的实际应用问题,要抓住题目中的关键词来审题,对信息进行梳理、分析来审题,对信息进行梳理、分析。某宾馆有某宾馆有50个房间供游客居住,当每个个房间供游客居住,当每个房间每天的定价为房间每天的定
7、价为180元时,房间会全部住元时,房间会全部住满;当每个房间每天的定价每增加满;当每个房间每天的定价每增加10元时,元时,就会有一个房间空闲。如果游客居住房间,就会有一个房间空闲。如果游客居住房间,宾馆需对每个房间每天支出宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费元的各种费用。房价定为多少时,宾馆利润最大?用。房价定为多少时,宾馆利润最大?二、解题过程二、解题过程问题一:题目研究的是哪两个变量的关系?问题一:题目研究的是哪两个变量的关系?问题二:能根据题意列出等量关系吗?问题二:能根据题意列出等量关系吗?问题三:等量关系中各数据关系是什么?问题三:等量关系中各数据关系是什么?(利润随房价的变化而变
8、化)(利润随房价的变化而变化)(利润(利润=房价房价入住数量入住数量支出)支出)房价房价=180+涨涨价价入住数量入住数量=涨涨10元空一元空一间间支出支出=20 0 入住数量入住数量 二、解题过程二、解题过程涨价空房数入住数房价123494847180+10 180+20 180+3010203000 当时(检验)解:设房租涨价解:设房租涨价10 x10 x元,则利润为元,则利润为y y元,元,利润=房价入住数量支出即房价为180+170=350时,利润 有最大值。二、解题过程二、解题过程解法II (用配方的方法将关系式写出顶点式)当时(检验)即房价为180+170=350时,利润 有最大值
9、。二、解题过程二、解题过程解法III(用方程思想将函数的图像画出,数形结合得出结论)1650 xyO即房价为180+170=350时,利润 有最大值。时,两者的中间,当xxx17501621=-=当时(检验),有最大值。解:设房租涨价10 x元,则利润为y元,利润=房价入住数量支出在实际情况中求出最大在实际情况中求出最大(小小)值值。分析题目的两个变量分析题目的两个变量写出等量关系写出等量关系列表列表写出函数关系式写出函数关系式一、题目分析一、题目分析(1)题目背景(2)题目重点、难点(3)学情分析(4)题目的意义二、解题过程二、解题过程三、总结提升三、总结提升分析题目的两个变量写出等量关系列
10、表写出函数关系式在实际情况中求出最大(小)值。三、总结提升三、总结提升实际问题利用二次函数的图像和性质求解性质图象归纳抽象目标二次函数实际问题 的答案变式1 原条件不变,旅游局为了促进低碳环保,规定宾馆空房率不能超过20%,房价定为多少的时候,利润最大?(设计意图:体现数形结合的思想,呼应前面设计意图:体现数形结合的思想,呼应前面解法中检验,达到盘旋上升的效果解法中检验,达到盘旋上升的效果)1650 xy10O学生根据平时生活提出变式(分组合作求解):学生根据平时生活提出变式(分组合作求解):美名其曰美名其曰 营销策略;营销策略;变式2 房价九折,则如何定价能达到最大值?变式3 结账返回代金券
11、20%,则如何定价能达到最大值?变式4 “买十送一”每十人,免费一人,则如何定价能达到最大值?四、自我评价四、自我评价1、数学教育要使学生掌握、数学教育要使学生掌握现现代生活和学代生活和学习习中中所需要的数学知所需要的数学知识识与技能。与技能。题目的解决体现题目的解决体现了知识对日常生活的重大作用,学生对数学了知识对日常生活的重大作用,学生对数学知识实用性的有更深一层认识知识实用性的有更深一层认识。2.题目的解决过程以一主线一支线展开题目的解决过程以一主线一支线展开主线主线用以突出重点(解决实际问题),支线突破重点用以突出重点(解决实际问题),支线突破重点(抽象出二次函数)(抽象出二次函数)主主 线线1.实际问题实际问题2.数学模型数学模型3.利用函数图象性质求解利用函数图象性质求解4.实际问题的答案实际问题的答案定变量定变量列表列表等量关系等量关系支线支线设涨设涨价价元,利元,利润为润为元元.当当时时,利,利润润y 有最大有最大值值。三、总结提升三、总结提升主线支线1.实际问题2.建立数学模型等量关系 3.解决问题定变量列表主主 线线 图图一、题目分析一、题目分析(1)题目背景(2)题目重点、难点(3)学情分析(4)题目的意义二、解题过程二、解题过程分析题目的两个变量写出等量关系列表写出函数关系式在实际情况中求出最大(小)值。
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