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1、1.4 1.4 标量场的梯度标量场的梯度标量场的梯度标量场的梯度一、等值面一、等值面1 1、等值面、等值面标量场标量场:用一个标量函数来表示,在直角坐标系中表示为:用一个标量函数来表示,在直角坐标系中表示为:标量场中量值相等的点构成的面,称为标量场的等值面。标量场中量值相等的点构成的面,称为标量场的等值面。例如,在温度场中,由温度相同的点构成等温面;在电位场中,例如,在温度场中,由温度相同的点构成等温面;在电位场中,由电位相同的点构成等位面。由电位相同的点构成等位面。2 2、等值面方程、等值面方程 常数常数C取一系列不同的值,就得到一系列不同的等值面,形成取一系列不同的值,就得到一系列不同的等
2、值面,形成等值面族,等值面族充满整个场空间,且不同的等值面互不相交。等值面族,等值面族充满整个场空间,且不同的等值面互不相交。二、方向导数二、方向导数 1 1、方向导数的定义、方向导数的定义 考虑标量场中两个等值面考虑标量场中两个等值面 标量函数标量函数 沿给定方向沿给定方向 的变化率:的变化率:称为标量函数称为标量函数 在在P沿方向沿方向 的方向导数。的方向导数。2 2、方向导数在直角坐标系中的表示、方向导数在直角坐标系中的表示 其中,其中,是是 的方向余弦:的方向余弦:3 3、方向导数的性质、方向导数的性质 方向导数是标量场在点方向导数是标量场在点P处沿方向处沿方向对距离的变化率。对距离的
3、变化率。标量场中,在给定点标量场中,在给定点P处沿不同方向处沿不同方向的方向导数不相同。的方向导数不相同。二、梯度二、梯度 1 1、梯度的定义、梯度的定义 标量场标量场 的梯度的梯度:是一个矢量,其方向为标量场:是一个矢量,其方向为标量场 变化率最大的方向、大小则等于其最大变化率,即变化率最大的方向、大小则等于其最大变化率,即 2 2、梯度在坐标系下的表示、梯度在坐标系下的表示 记为记为 在直角坐标系中的表示在直角坐标系中的表示在圆柱坐标系中的表示在圆柱坐标系中的表示在球坐标系中的表示在球坐标系中的表示3 3、梯度的性质、梯度的性质 标量场的梯度是一个矢量场。标量场的梯度是一个矢量场。标量场在
4、给定点处沿某方向的方向导数等于梯度在该方向上的投影。标量场在给定点处沿某方向的方向导数等于梯度在该方向上的投影。标量场中某点处的梯度,垂直于过该点的等值面,且指向标量场中某点处的梯度,垂直于过该点的等值面,且指向增加的方向。增加的方向。4 4、梯度运算的基本公式、梯度运算的基本公式 【例题例题1】求证求证【证明证明】在球坐标系下:在球坐标系下:所以所以【例题例题2】求无界空间中的点电荷求无界空间中的点电荷q所产生的电位的梯度。所产生的电位的梯度。【解解】无界空间中的点电荷无界空间中的点电荷q所产生的电位为:所产生的电位为:所以所以【例题例题3】求数量场求数量场=(x+y)2-z 通过点通过点M
5、(1,0,1)的等值面方程。的等值面方程。【解解】点点M的坐标是的坐标是 x0=1,y0=0,z0=1,则该点的数量场值为,则该点的数量场值为=(x0+y0)2-z0=0。其等值面方程为。其等值面方程为【解解】l方向的方向余弦为方向的方向余弦为 【例例题题4】求求数数量量场场 在在点点M(1,1,2)处处沿沿l=ex+2ey+2ez方向的方向导数。方向的方向导数。而而 数量场在数量场在l方向的方向导数为方向的方向导数为 在点在点M处沿处沿l方向的方向导数方向的方向导数 【例题例题5】设标量函数设标量函数r是动点是动点M(x,y,z)的矢量的矢量r=xex+yey+zez的模,即的模,即 ,证明:证明:【证证】因为因为 同理同理 所以所以 【例例题题6】求求r在在M(1,0,1)处处沿沿l=ex+2ey+2ez方方向向的的方方向向导导数。数。【解解】点点M处的坐标为处的坐标为x=1,y=0,z=1,所以所以r在在M点点处的梯度为处的梯度为 r在在M点沿点沿l方向的方向导数为方向的方向导数为 而而 所以所以
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