(最新)立体几何(向量法)—建系难.pdf
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1、立体几何(向量法)建系难例 1(2013 年普通高等学校招生统一考试重庆数学(理)试题(含答案)如图,四棱锥PABCD中,PAABCD底面,2,4,3BCCDACACBACD,F为PC的中点,AFPB.(1)求PA的长;(2)求二面角BAFD的正弦值.【答案】解:(1)如图,联结BD交AC于O,因为BCCD,即BCD为等腰三角形,又AC平分BCD,故ACBD.以O为坐标原点,OB,OC,AP的方向分别为x轴,y轴,z轴的正方向,建立空间直角坐标系Oxyz,则OCCDcos31,而AC4,得AOACOC 3.又ODCDsin33,故A(0,3,0),B(3,0,0),C(0,1,0),D(3,0
2、,0)因PA底面ABCD,可设P(0,3,z),由F为PC边中点,得F0,1,z2,又AF0,2,z2,PB(3,3,z),因AFPB,故AFPB0,即 6z22 0,z2 3(舍去2 3),所以|PA|2 3.(2)由(1)知AD(3,3,0),AB(3,3,0),AF(0,2,3)设平面FAD的法向量为1(x1,y1,z1),平面FAB的法向量为2(x2,y2,z2)由1AD0,1AF0,得3x13y1 0,2y13z10,因此可取1(3,3,2)由2AB0,2AF0,得3x23y20,2y23z20,故可取2(3,3,2)从而向量1,2的夹角的余弦值为cos1,2n1n2|n1|n2|1
3、8.故二面角BAFD的正弦值为3 78.例 2(2013 年普通高等学校招生统一考试大纲版数学(理)WORD 版含答案(已校对)如图,四棱锥PABCD中,902,ABCBADBCADPAB,与PAD都是等边三角形.(I)证明:;PBCD (II)求二面角APDC的大小.【答案】解:(1)取BC的中点E,联结DE,则四边形ABED为正方形过P作PO平面ABCD,垂足为O.联结OA,OB,OD,OE.由PAB和PAD都是等边三角形知PAPBPD,所以OAOBOD,即点O为正方形ABED对角线的交点,故OEBD,从而PBOE.因为O是BD的中点,E是BC的中点,所以OECD.因此PBCD.(2)解法
4、一:由(1)知CDPB,CDPO,PBPOP,故CD平面PBD.又PD?平面PBD,所以CDPD.取PD的中点F,PC的中点G,连FG.则FGCD,FGPD.联结AF,由APD为等边三角形可得AFPD.所以AFG为二面角APDC的平面角联结AG,EG,则EGPB.又PBAE,所以EGAE.设AB2,则AE2 2,EG12PB1,故AGAE2EG23,在AFG中,FG12CD2,AF3,AG3.所以 cosAFGFG2AF2AG22FGAF63.因此二面角APDC的大小为 arccos63.解法二:由(1)知,OE,OB,OP两两垂直以O为坐标原点,OE的方向为x轴的正方向建立如图所示的空间直角
5、坐标系Oxyz.设|AB|2,则A(2,0,0),D(0,2,0),C(2 2,2,0),P(0,0,2),PC(2 2,2,2),PD(0,2,2),AP(2,0,2),AD(2,2,0)设平面PCD的法向量为1(x,y,z),则1PC(x,y,z)(2 2,2,2)0,1PD(x,y,z)(0,2,2)0,可得 2xyz0,yz0.取y 1,得x0,z1,故1(0,1,1)设平面PAD的法向量为2(m,p,q),则2AP(m,p,q)(2,0,2)0,2AD(m,p,q)(2,2,0)0,可得mq 0,mp0.取m1,得p1,q 1,故2(1,1,1)于是 cos,2n1n2|n1|n2|
6、63.由于,2等于二面角APDC的平面角,所以二面角APDC的大小为arccos63.例 3(2012 高考真题重庆理19)(本小题满分12 分如图,在直三棱柱111CBAABC中,AB=4,AC=BC=3,D为 AB的中点()求点C到平面11ABBA的距离;()若11ABAC求二面角的平面角的余弦值.【答案】解:(1)由 AC BC,D为 AB的中点,得 CD AB.又 CD AA1,故 CD 面 A1ABB1,所以点 C到平面 A1ABB1的距离为CD BC2BD25.(2)解法一:如图,取 D1为 A1B1的中点,连结 DD1,则 DD1AA1CC1.又由(1)知CD面A1ABB1,故C
7、DA1D,CDDD1,所以A1DD1为所求的二面角A1CDC1的平面角因 A1D为 A1C在面 A1ABB1上的射影,又已知 AB1A1C,由三垂线定理的逆定理得 AB1A1D,从而 A1AB1、A1DA都与 B1AB互余,因此 A1AB1A1DA,所以RtA1AD RtB1A1A.因此AA1ADA1B1AA1,即 AA21AD A1B18,得 AA122.从而 A1D AA21AD22 3.所以,在 RtA1DD1中,cosA1DD1DD1A1DAA1A1D63.解法二:如图,过 D作 DD1AA1交 A1B1于点 D1,在直三棱柱中,易知 DB,DC,DD1两两垂直以 D为原点,射线 DB
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