矩阵论标准形精选PPT.ppt
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1、关于矩阵论标准形第1页,讲稿共98张,创作于星期二机动 目录 上页 下页 返回 结束 1.3 Jordan标准形标准形 一、一、-矩阵矩阵二、二、Jordan标准形标准形 三、三、Jordan标准形标准形简单应用简单应用目标:目标:发展一个所有方阵都能与之相似的矩阵结构发展一个所有方阵都能与之相似的矩阵结构-Jordan-Jordan矩阵。矩阵。第2页,讲稿共98张,创作于星期二1.定义定义设设 P 是一个数域,是一个数域,是一个文字,作多项式环是一个文字,作多项式环P .一个矩阵,如果它的元素是一个矩阵,如果它的元素是 的多项式,即的多项式,即P 的元素的元素,就称为就称为 -矩阵矩阵.讨论
2、讨论 -矩阵的一些性质,并用这些性质来证明上矩阵的一些性质,并用这些性质来证明上关于若尔当标准形的主要定理关于若尔当标准形的主要定理.因为数域因为数域 P 中的数也是中的数也是 P 的元素,所以在的元素,所以在 -矩阵中也包括以数为元素的矩阵矩阵中也包括以数为元素的矩阵.一、一、-矩阵矩阵第3页,讲稿共98张,创作于星期二矩阵称为矩阵称为数字矩阵数字矩阵.以下用以下用 A(),B(),等等表示表示 -矩阵矩阵 .我们知道,我们知道,P 中的元素可以作加、减、乘中的元素可以作加、减、乘三种运算三种运算,并且它们与数的运算有相同的运算规律并且它们与数的运算有相同的运算规律.而矩阵加法与乘法的定义只
3、是用到其中元素的加法而矩阵加法与乘法的定义只是用到其中元素的加法与乘法,因此,我们可以同样定义与乘法,因此,我们可以同样定义 -矩阵的加法矩阵的加法与乘法与乘法,它们与数字矩阵的运算有相同的运算规律它们与数字矩阵的运算有相同的运算规律.把以数域把以数域 P 中的数为元素的中的数为元素的第4页,讲稿共98张,创作于星期二行列式的定义也只用到其中元素的加法与乘法行列式的定义也只用到其中元素的加法与乘法,因此因此,同样可以定义一个同样可以定义一个 n n 的的 -矩阵的行列式矩阵的行列式.一般地,一般地,-矩阵的行列式是矩阵的行列式是 的一个多项式的一个多项式,它与它与数字矩阵的行列式有相同的性质数
4、字矩阵的行列式有相同的性质.例如例如,对于对于 -矩阵的行列式,矩阵乘积的行列式矩阵的行列式,矩阵乘积的行列式等于行列式的乘积,等于行列式的乘积,这一结论,显然是对的这一结论,显然是对的.既然有行列式,也就有既然有行列式,也就有 -矩阵的子式的概念矩阵的子式的概念.利用这个概念,我们有利用这个概念,我们有秩秩和和可逆矩阵可逆矩阵等。等。第5页,讲稿共98张,创作于星期二秩秩 如果如果 -矩阵矩阵 A()中有一个中有一个 r(r 1)级子式不为零,而所有级子式不为零,而所有 r r +1 +1 级子式级子式 (如果有的话如果有的话如果有的话如果有的话)全为零,则称全为零,则称 A()的秩为的秩为
5、 r.零矩阵的秩规定为零。零矩阵的秩规定为零。可逆矩阵可逆矩阵 一个一个 n n 的的 -矩阵矩阵 A()称为可逆称为可逆的,如果有一个的,如果有一个 n n 的的 -矩阵矩阵 使使A()B()=B()A()=E,(1)这里这里 E 是是 n 级单位矩阵级单位矩阵.适合适合(1)的矩阵的矩阵 B()(它它是唯一的是唯一的)称为称为 A()的逆矩阵,记为的逆矩阵,记为 A-1().第6页,讲稿共98张,创作于星期二定理定理 1 1 一个一个 n n 的的 -矩阵矩阵 A()是可逆的是可逆的 充分必要条件是行列式充分必要条件是行列式|A()|是一个非零数是一个非零数.证明证明证明证明先证先证充分性
6、充分性充分性充分性.设设d=|A()|是一个非零的数是一个非零的数.A*()是是 A()的伴随矩阵,它也的伴随矩阵,它也是一个是一个 -矩阵矩阵 ,而,而因此,因此,A()可逆可逆.第7页,讲稿共98张,创作于星期二再证再证必要性必要性必要性必要性.设设 A()可逆,则有可逆,则有A()B()=B()A()=E,上式两边取行列式,得上式两边取行列式,得|A()|B()|=|E|=1.因为因为|A()|与与|B()|都是都是 的多项式,所以由它的多项式,所以由它们的乘积是们的乘积是 1 可以推知,它们都是零次多项式,可以推知,它们都是零次多项式,也就是非零的数也就是非零的数 .证毕证毕第8页,讲
7、稿共98张,创作于星期二例例1 1 求下列求下列 -矩阵的秩矩阵的秩秩为3秩为2第9页,讲稿共98张,创作于星期二例例2 2 下列下列 -矩阵中,哪些是可逆的?若可矩阵中,哪些是可逆的?若可逆求其逆矩阵逆求其逆矩阵.第10页,讲稿共98张,创作于星期二初等变换的定义初等变换的定义初等变换的定义初等变换的定义定义定义 下面的三种变换叫做下面的三种变换叫做 -矩阵的初等矩阵的初等变换:变换:(1)(1)矩阵的两行矩阵的两行(列列)互换位置;互换位置;(2)(2)矩阵的某一行矩阵的某一行(列列)乘以非零常数乘以非零常数 c;(3)(3)矩阵的某一行矩阵的某一行(列列)加另一行加另一行(列列)的的 (
8、)倍,倍,()是一个多项式是一个多项式.和数字矩阵的初等变换一样,可以引进初等矩阵和数字矩阵的初等变换一样,可以引进初等矩阵.2.-矩阵的矩阵的Smith标准形标准形第11页,讲稿共98张,创作于星期二三种初等变换对应三个三种初等变换对应三个初等矩阵初等矩阵 i 行行 j 行行 i 列列 j 列列第12页,讲稿共98张,创作于星期二 i 行行 j 行行 i 列列 j 列列第13页,讲稿共98张,创作于星期二 i 行行 i 列列第14页,讲稿共98张,创作于星期二同样地,对一个同样地,对一个 s n 的的 -矩阵矩阵 A()作一次作一次初等行变换就相当于在初等行变换就相当于在 A()的左边乘上相
9、应的的左边乘上相应的 s s 初等矩阵;初等矩阵;对对 A()作一次作一次初等列变换就相当于在初等列变换就相当于在 A()的右边乘上相应的的右边乘上相应的 n n 的初等矩阵的初等矩阵.初等矩阵都是可逆的,并且有初等矩阵都是可逆的,并且有P(i,j)-1=P(i,j),P(i(c)-1=P(i(c-1),P(i,j()-1=P(i,j(-).第15页,讲稿共98张,创作于星期二由此得出初等变换具有可逆性:由此得出初等变换具有可逆性:设设 -矩阵矩阵 A()用用初等变换变成初等变换变成 B(),这相当于对,这相当于对 A()左乘或右乘左乘或右乘 一个初等矩阵一个初等矩阵.再用此初等矩阵的逆矩阵来
10、乘再用此初等矩阵的逆矩阵来乘 B()就就变回变回 A(),而这逆矩阵仍是初等矩阵,因而由,而这逆矩阵仍是初等矩阵,因而由B()可用初等变换变回可用初等变换变回 A().我们还可以看出在第我们还可以看出在第二种初等变换中,规定只能乘以一个非零常数,这二种初等变换中,规定只能乘以一个非零常数,这也是为了使也是为了使 P(i(c)可逆的缘故可逆的缘故.第16页,讲稿共98张,创作于星期二 -矩阵的矩阵的等价等价定义定义 -矩阵矩阵 A()称为与称为与 B()等价,等价,可以经过一系列初等变换将可以经过一系列初等变换将 A()化为化为 B().等价的性质等价的性质:等价是等价是 -矩阵之间的一种等价关
11、系。矩阵之间的一种等价关系。如果如果 -矩阵等价的条件:矩阵等价的条件:矩阵矩阵 A()与与 B()等价的充分必要条件是有一等价的充分必要条件是有一系列初等矩阵系列初等矩阵 P1,P2,Pl,Q1,Q2,Qs 使使A()=P1 P2 Pl B()Q1Q2 Qs.第17页,讲稿共98张,创作于星期二 -矩阵的标准形矩阵的标准形本段主要是证明任意一个本段主要是证明任意一个 -矩阵矩阵可以经过可以经过初等变换化为初等变换化为SmithSmith标准形标准形.引理引理设设 -矩阵矩阵A()的左上角元素的左上角元素 a11()0,并且并且 A()中至少有一个元素不能被它除尽,那么中至少有一个元素不能被它
12、除尽,那么一定可以找到一个与一定可以找到一个与 A()等价的矩阵等价的矩阵 B(),它的它的左上角元素也不为零左上角元素也不为零,但是次数比但是次数比 a11()的次数低的次数低.第18页,讲稿共98张,创作于星期二证明证明根据根据 A()中不能被中不能被 a11()除尽的元素除尽的元素所在的位置,分三种情况来讨论:所在的位置,分三种情况来讨论:1)1)若若 A()的第一列中有一个元素的第一列中有一个元素 ai1()不能不能被被 a11()除尽,则有除尽,则有 ai1()=a11()q()+r(),其中余式其中余式 r()0,且次数比,且次数比 a11()的次数低的次数低.对对 A()作初等行
13、变换作初等行变换.把把 A()的第的第 i 行减去行减去第第 1 行的行的 q()倍,得:倍,得:第19页,讲稿共98张,创作于星期二再将此矩阵的第再将此矩阵的第 1 行与第行与第 i 行互换,得:行互换,得:B()左上角元素左上角元素 r()符合引理的要求,故符合引理的要求,故 B()即为所求的矩阵即为所求的矩阵.第20页,讲稿共98张,创作于星期二2)2)在在 A()的第一行中有一个元素的第一行中有一个元素 a1i()不能不能被被 a11()除尽,这种情况的证明与除尽,这种情况的证明与 1)类似,但是类似,但是对对 A()进行的是初等列变换进行的是初等列变换.3)3)A()的第一行与第一列
14、中的元素都可以被的第一行与第一列中的元素都可以被a11()除尽,但除尽,但 A()中有另一个元素中有另一个元素 aij()(i 1,j 1)不能被不能被 a11()除尽除尽.设设ai 1()=a11()().对对 A()作下述初等行变换:作下述初等行变换:第21页,讲稿共98张,创作于星期二第22页,讲稿共98张,创作于星期二=A1().矩阵矩阵 A1()的第一行中,有一个元素的第一行中,有一个元素ai j()+(1-()a1j()不能被左上角元素不能被左上角元素 a11()除尽,这就化为已经证除尽,这就化为已经证明了的情况明了的情况 2).证毕证毕第23页,讲稿共98张,创作于星期二定理定理
15、2 2 任意一个非零的任意一个非零的 s n 的的 -矩阵矩阵A()都等价于下列形式的矩阵都等价于下列形式的矩阵其中其中 r 1,di()(i=1,2,r-1)是首项系数为是首项系数为 1的的多项式,且多项式,且di()|di+1()(i=1,2,r-1).第24页,讲稿共98张,创作于星期二证明证明经过行列调动之后,可以使得经过行列调动之后,可以使得 A()的的 左上角元素左上角元素 a11()0,如果,如果 a11()不能除尽不能除尽 A()的全部元素,的全部元素,由由可以找到与可以找到与 A()等价的等价的B1(),它的左上角元素,它的左上角元素 b1()0,并且次数比,并且次数比a11
16、()低低.如果如果 b1()还不能除尽还不能除尽 B1()的全部元素的全部元素,由引理,又可以找到与由引理,又可以找到与 B1()等价的等价的 B2(),它的,它的左上角元素左上角元素 b2()0,并且次数比,并且次数比 b1()低低.如此如此下去,将得到一系列彼此等价的下去,将得到一系列彼此等价的 -矩阵矩阵 A(),B1(),B2(),.它们的左上角元素皆不为零,而它们的左上角元素皆不为零,而第25页,讲稿共98张,创作于星期二且次数越来越低且次数越来越低.但次数是非负整数,不可能无止但次数是非负整数,不可能无止境地降低境地降低.因此在有限步以后,我们将终止于一个因此在有限步以后,我们将终
17、止于一个 -矩阵矩阵 Bs(),它的左上角元素,它的左上角元素 bs()0,而且,而且可以除尽可以除尽 Bs()的全部元素的全部元素 bij(),bij()=bs()qij(),对对 Bs()作初等变换:作初等变换:即即第26页,讲稿共98张,创作于星期二在右下角的在右下角的 -矩阵矩阵 A1()中,全部元素都是可以中,全部元素都是可以被被 bs()除尽的除尽的,因为它们都是因为它们都是 Bs()中元素的组合中元素的组合.如果如果 A1()O,则对于,则对于A1()可以重复上述过可以重复上述过程,进而把矩阵化成程,进而把矩阵化成第27页,讲稿共98张,创作于星期二其中其中 d1()与与 d2(
18、)都是首项系数为都是首项系数为 1 的多项式的多项式(d1()与与 bs()只差一个常数倍数只差一个常数倍数),而且,而且d1()|d2(),d2()能除尽能除尽 A2()的全部元素的全部元素.如此下去,如此下去,A()最后就化成了所要求的形式最后就化成了所要求的形式.证毕证毕最后化成的这个矩阵称为最后化成的这个矩阵称为 A()的的标准形标准形.第28页,讲稿共98张,创作于星期二例例3 3 用初等变换把下列用初等变换把下列 -矩阵化为标准形矩阵化为标准形.第29页,讲稿共98张,创作于星期二行列式因子行列式因子在上一段,我们讨论了在上一段,我们讨论了 -矩阵的标准形,其矩阵的标准形,其主要结
19、论是:任何主要结论是:任何 -矩阵都能化成标准形矩阵都能化成标准形.但是但是矩阵的标准形是否唯一呢?矩阵的标准形是否唯一呢?答案是肯定的答案是肯定的.为了证为了证明唯一性,要引入明唯一性,要引入矩阵的行列式因子矩阵的行列式因子的概念的概念.3.3.行列式因子与不变因子行列式因子与不变因子不变因子不变因子第30页,讲稿共98张,创作于星期二设设 -矩阵矩阵 A()的秩为的秩为 r,对于正整对于正整数数 k,1 k r,A()中必有非零的中必有非零的 k 级子式级子式.A()中全部中全部 k 级子式的首项系数为级子式的首项系数为 1 的最大公因式的最大公因式Dk()称为称为 A()的的 k 级级行
20、列式因子行列式因子.由定义可知,对于秩为由定义可知,对于秩为 r 的的 -矩阵,行列式矩阵,行列式因子一共有因子一共有 r 个个.行列式因子的意义就在于,它在行列式因子的意义就在于,它在初等变换下是不变的初等变换下是不变的.行列式因子行列式因子行列式因子行列式因子第31页,讲稿共98张,创作于星期二性质性质定理定理3 3 等价的等价的 -矩阵具有相同的秩与相同矩阵具有相同的秩与相同的各级的各级行列式因子行列式因子.证明证明我们只要证明,我们只要证明,-矩阵经过一次初等矩阵经过一次初等行变换,秩与行列式因子是不变的行变换,秩与行列式因子是不变的.设设 -矩阵矩阵 A()经过一次初等行变换变成经过
21、一次初等行变换变成 B(),f()与与 g()分别是分别是 A()与与 B()的的 k 级行列式因子级行列式因子.我们证明我们证明 f()=g().下面分三种情形讨论下面分三种情形讨论.第32页,讲稿共98张,创作于星期二1)1)A()经初等行变换经初等行变换(1)变成变成 B().这时这时 B()的每个的每个 k 级子式或者等于级子式或者等于 A()的某个的某个 k 级子式级子式,者与者与 A()的某一个的某一个 k 级子式反号级子式反号,因此因此 f()是是B()的的 k 级子式的公因式,从而级子式的公因式,从而 f()|g().2)2)A()经初等行变换经初等行变换(2)变成变成 B()
22、.这时这时 B()的每个的每个 k 级子式或者等于级子式或者等于 A()的某个的某个 k 级子式级子式,者等于者等于 A()的某一个的某一个 k 级子的级子的 c 倍倍,因此因此 f()是是B()的的 k 级子式的公因式,从而级子式的公因式,从而 f()|g().或或或或第33页,讲稿共98张,创作于星期二3)A()经初等行变换经初等行变换(3)变成变成 B().这时这时 B()中那些包含中那些包含 i 行与行与 j 行的行的 k 级子式和那些不包含级子式和那些不包含i 行行的的 k 级子式都等于级子式都等于 A()中对应的中对应的 k 级子式;级子式;B()中中那些包含那些包含 i 行但不包
23、含行但不包含 j 行的行的 k 级子式,按级子式,按 i 行分行分成两部分,而等于成两部分,而等于 A()的一个的一个 k 级子式与另一个级子式与另一个k 级子式的级子式的 ()倍的和,也就是倍的和,也就是 A()的两个的两个 k级子式的组合级子式的组合.因此因此 f()是是 B()的的 k 级子式的公级子式的公因式,从而因式,从而 f()|g().第34页,讲稿共98张,创作于星期二对于列变换,可以完全一样地讨论对于列变换,可以完全一样地讨论.总之,如总之,如果果 A()经一次初等变换变成经一次初等变换变成 B(),那么,那么f()|g().但由于初等变换是可逆的,但由于初等变换是可逆的,B
24、()也可以经一次初也可以经一次初等变换变成等变换变成 A().由上讨论,同样应有由上讨论,同样应有g()|f().于是于是 f()=g().当当 A()的全部的全部 k 级子式为零时,级子式为零时,B()的全部的全部k 级子式也就为零;级子式也就为零;反之亦然反之亦然.因此,因此,A()与与 B()既有相同的各级行列式因既有相同的各级行列式因子,又有相同的秩子,又有相同的秩.证毕证毕第35页,讲稿共98张,创作于星期二标准形的唯一性标准形的唯一性标准形的行列式因子标准形的行列式因子设标准形为设标准形为其中其中 d1(),d2(),dr()是首项系数为是首项系数为1 1的多项的多项式,且式,且
25、di()|di+1()(i=1,2,r-1).不难证明不难证明,第36页,讲稿共98张,创作于星期二在这种形式的矩阵中,如果一个在这种形式的矩阵中,如果一个 k 级子式包含的行级子式包含的行与列的标号不完全相同,那么这个与列的标号不完全相同,那么这个 k 级子式一定为级子式一定为零零.因此,为了计算因此,为了计算 k 级行列式因子,只要看由级行列式因子,只要看由i1,i2,ik 行与行与 i1,i2,ik 列列(1 i1 i2 ik r)组成的组成的 k 级子式就行了级子式就行了,而这个而这个k 级子式等于级子式等于显然,这种显然,这种 k 级子式的最大公因式就是级子式的最大公因式就是第37页
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